第01讲直线的方程

第八章《平面解析几何》第01讲直线的方程1．直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用一．直线的倾斜角与斜率例1．（1）下列命题中正确的是（

）．A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为C．平行于x轴的直线的倾斜角为D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为【答案】D【分析】根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案.【详解】对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确；对于B，当时，斜率为，倾斜角为，故B不正确；对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为，故C不正确；对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为是正确的.故选：D（2）过点的直线的倾斜角为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】过A、B的斜率为，则该直线的倾斜角为，故选：A．（3）直线的倾斜角是（

）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】A【分析】先求得直线的斜率，进而求得倾斜角.【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：A（4）如图，直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接由斜率的定义判断大小即可.【详解】由斜率的定义知，.故选：D.（5）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得直线的斜率以及倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率.【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，所以直线的倾斜角为，所以的斜率为，故选：D.【复习指导】：斜率的两种求法：定义法、斜率公式法．=1\*GB3①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．=2\*GB3②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关．（6）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.【详解】因为直线的斜率为，且，，因为，.故选：A.（7）设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（

）A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】如图，求出可得斜率的取值范围.【详解】由题设可得，因为直线与线段相交，则或，故选：D.【复习指导】：(1)倾斜角和斜率的应用=1\*GB3①倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．=2\*GB3②涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tanα的单调性．二．求直线的方程例2．（1）过点且倾斜角为150°的直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解.【详解】依题意，直线l的斜率，故直线l的方程为，即，故选：B.【复习指导】：求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．（2）直线l的倾斜角是，在y轴上的截距是-2，则直线l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程.【详解】因为直线l的倾斜角是，所以直线的斜率为，又直线在y轴上的截距是-2，所以直线的方程为.故选：A.【复习指导】：求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．（3）已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0【答案】D【详解】设直线l的倾斜角为α，则tanα＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(2＋1,1－2×1)＝－3，又点M(2,0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.（4）已知，则线段AB的垂直平分线的一般方程为______.【答案】【分析】先求出直线AB的斜率与AB的中点坐标，由点斜式方程求解即可.【详解】因为，所以直线AB的斜率为，所以AB的垂直平分线的斜率为，AB的中点坐标为，故线段AB的垂直平分线的方程为：，化为一般式为：.故答案为：.（5）分别求满足下列条件的直线的方程：(=1\*romani)直线过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．(=2\*romanii)直线过点和，求的两点式方程；(=3\*romaniii)直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的点斜式方程；(=4\*romaniv)直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般式方程.【答案】(=1\*romani)x＝2或y－2＝eq\f(1,2)(x－2)(=2\*romanii)(=3\*romaniii)(=4\*romaniv)或【详解】(=1\*romani)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.令y＝0得，x＝eq\f(2k－2,k)，由三角形的面积为2，得eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2k－2,k)))×2＝2.解得k＝eq\f(1,2).可得直线l的方程为y－2＝eq\f(1,2)(x－2)，综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝eq\f(1,2)(x－2)．(=2\*romanii)的两点式方程为；(=3\*romaniii)由题意得：，又，所以，故，所以的斜率为，的点斜式方程为；(=4\*romaniv)当直线在两坐标轴上的截距为0时，设，将代入得：，解得：，故直线的方程为，化为一般式方程为；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设，将代入得：，解得：，故直线的方程为，化为一般式方程为；故直线的方程为或．【复习指导】：利用两点式求直线的方程(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．(2)若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．【复习指导】：截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．【复习指导】：(1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用．三．直线方程的综合应用命题点1直线过定点问题例3．（1）直线，当变动时，所有直线都通过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线过定点问题分析运算.【详解】直线可以为，表示过点，斜率为的直线，所以所有直线都通过定点为.故选：A.（2）已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量垂直可得数量积为0，得出轨迹方程即可求出轨迹过定点.【详解】，，即，所以点的轨迹方程为，显然不论取何值，总有满足方程，即点的轨迹过定点，故选：A（3）直线与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】A【分析】判断出直线的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系.【详解】已知直线过定点，将点代入圆的方程可得，可知点在圆内，所以直线与圆相交.故选：A.（4）已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标：(=1\*romani)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点；(=2\*romanii)若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点；(=3\*romaniii)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点．【答案】(=1\*romani)(0,3)(=2\*romanii)(－3,0)(=3\*romaniii)(3,0)【详解】(=1\*romani)当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0,3)．(=2\*romanii)直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3,0)．(=3\*romaniii)当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3,0)．【复习指导】：解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．命题点2与直线有关的多边形面积的最值例4．（1）已知直线(=1\*romani)若直线的倾斜角，求实数m的取值范围；(=2\*romanii)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最小值及此时直线l的方程．【答案】(=1\*romani))(=2\*romanii)最小值为2，直线l方程为：．【分析】(=1\*romani)由直线的斜率和倾斜角的范围可得的不等式，解不等式可得；(=2\*romanii)由题意可得点和点，可得，由基本不等式求最值可得．【详解】(=1\*romani)解：由题意可知当时，倾斜角为，符合题意当时，直线l的斜率∵倾斜角，∴．故m的范围：．(=2\*romanii)解：在直线l中：令x＝0时，即，令y＝0时x＝m，即由题意可知：得即当且仅当时取等号，故最小值为2，此时直线l方程为：．（2）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．【详解】方法一设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)．∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)>0，,1－2k>0))⇒kS△AOB＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\f(2k－1,k)·(1－2k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,k)－4k))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋2\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))·－4k)))＝4.当且仅当－eq\f(1,k)＝－4k，即k＝－eq\f(1,2)时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.方法二设所求直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1.又∵eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(2,ab))⇒eq\f(1,2)ab≥4，当且仅当eq\f(2,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝eq\f(1,2)ab有最小值为4.此时，直线l的方程是eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1.（3）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．【详解】方法一设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)(k<0)．∴|MA|·|MB|＝eq\r(\f(1,k2)＋1)·eq\r(4＋4k2)＝2eq\f(1＋k2,|k|)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－k＋\f(1,－k)))≥4.当且仅当－k＝－eq\f(1,k)，即k＝－1时取等号．此时直线l的方程为x＋y－3＝0.方法二设所求直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，易知A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1.∴|MA|·|MB|＝|eq\o(MA,\s\up6(→))|·|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝－eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.【复习指导】：(1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标．(2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．1．已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围.【详解】解：直线l的斜率为k，且，∴，.∴.故选：B.2．若过点的直线与以点为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先在直角坐标系中作出三点，再求出的斜率，进而求出对应的倾斜角，结合图象可知直线的倾斜角的取值范围.【详解】如图所示，设的倾斜角为，的倾斜角为，则所求直线的倾斜角的取值范围为，易得，，又因为，所以，所以所求直线的倾斜角的取值范围为.故选：A..3．如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为、、，则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判断三条直线的倾斜角，进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..【详解】由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，当倾斜角为锐角时，斜率为正，即，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即，又因为倾斜角为时，倾斜角越大，斜率越大，即；所以.故选：B.4．已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（

）．A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】根据直线与两坐标轴截得等腰三角形可得直线得斜率为1或-1，利用直线方程得点斜式即可求解.【详解】解：由题意可知，所求直线的倾斜角为或，即直线的斜率为1或-1，故直线方程为或，即或.故选：C.5．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．【详解】直线的斜率为，所以倾斜角．故选：D．6．若直线l经过第二､三､四象限，其倾斜角为，斜率为k，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题设，进而确定的范围，再判断的符号，即可确定答案.【详解】由题设，，而，则，所以，则，.故选：B7．已知直线与直线，若直线与直线的夹角是60°，则k的值为（

）A．或0 B．或0C． D．【答案】A【分析】先求出的倾斜角为120°，再求出直线的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k.【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为120°.要使直线与直线的夹角是60°，只需直线的倾斜角为0°或60°，所以k的值为0或.故选：A8．中，，，，则边上的高所在的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.【详解】设边上的高所在的直线为，由已知可得，，所以直线l的斜率.又过，所以的方程为，整理可得，.故选：A.9．已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（

）A． B．1 C． D．5【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率，又直线过点，所以直线方程为，即，令，得，所以在x轴上的截距为-1.故选：A10．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.故选：C.11．若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线在轴上的截距可求得，设直线的倾斜角为，求出即直线的斜率，即可求出.【详解】令，则，所以，设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，所以，故，则直线的斜率，所以.故选：D.12．已知直线.则下列结论正确的是（

）A．点在直线上 B．直线在轴上的截距为C．直线的倾斜角为 D．直线的一个方向向量为【答案】C【分析】根据点与直线位置关系、截距的定义、斜率和倾斜角关系以及方向向量定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，点不在直线上，A错误；对于B，，在轴上的截距为，B错误；对于C，由得：直线斜率，直线的倾斜角为，C正确；对于D，若直线的一个方向向量为，则其斜率，不合题意，D错误.故选：C.13．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果.【详解】对于直线，整理得，令，解得，故直线过定点.∵，则点在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选：A.14．如果且，那么直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】通过直线经过的点来判断象限.【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；令，得；令，得；所以直线不经过第三象限.故选：C.15．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（

）A．1 B． C．或1 D．2或1【答案】D【分析】对a分类讨论，由截距相等列方程解出的值.【详解】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.由，解得：.故的值是2或1.故选：D16．过两点和的直线在y轴上的截距为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直线方程，令x＝0，即可求出纵截距.【详解】由题可知直线方程为：，即，令x=0，则，故直线在y轴上的截距为.故选：C.17．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】设直线的斜率为，直线的斜率为，由条件得出，求出的值，再根据诱导公式即可得出答案．【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为，由直线得出斜率，因为直线与直线垂直，所以，即，解得，即，所以，故选：B．18．直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.【详解】由题意知,若a=0

,则倾斜角为,若,则,①当时，(当且仅当时，取“”)，②当时，(当且仅当时，取“”)，，故，综上，，故选：C.19．若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于()A．1±eq\r(2)或0 B．eq\f(2－\r(5),2)或0C．eq\f(2±\r(5),2) D．eq\f(2＋\r(5),2)或0【答案】A【详解】由题意知kAB＝kAC，即eq\f(a2＋a,2－1)＝eq\f(a3＋a,3－1)，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±eq\r(2).20．若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是()A．(－2,1) B．(－1,2)C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【答案】A【详解】由题意知eq\f(2a－1－a,3－1＋a)<0，即eq\f(a－1,2＋a)<0，解得－2<a<1.21．（多选）下列说法正确的是（

）A．直线必过定点B．直线在y轴上的截距为2C．直线的倾斜角为60°D．过点且平行于直线的直线方程为【答案】AC【分析】将直线方程化为，即可求出直线过定点坐标，从而判断A，令求出，即可判断B，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D；【详解】解：对于A，，即，令，即，所以直线必过定点，故A正确；对于B，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故B错误；对于C，直线，即，所以斜率，其倾斜角为，故C正确；对于D，过点且平行于直线的直线方程为：，即，故D错误，故选：AC．22．（多选）关于直线，下列说法正确的有（

）A．过点 B．斜率为C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1【答案】BC【分析】A.当时，，所以该选项错误；B.直线的斜率为，所以该选项正确；C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；

D.当时，，所以该选项错误.【详解】A.当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误；B.由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确；C.由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；

D.当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误.故选：BC23．（多选）下列说法正确的是（

）A．点斜式可以表示任何直线B．已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为．C．直线与直线相互垂直．D．直线在y轴上的截距为【答案】CD【分析】根据直线点斜式方程适用的条件即可判断A；分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断B；根据两直线垂直的公式即可判断C；根据直线的斜截式方程即可判断D.【详解】对于A，点斜式表示斜率存在的直线，故A错误；对于B，若直线过原点，则，所以直线方程为，若直线不过原点，设直线方程为，将点代入解得，所以直线方程为，综上，直线l的方程为或，故B错误；对于C，因为，所以直线与直线相互垂直，故C正确；对于D，直线在y轴上的截距为，故D正确.故选：CD.24．（多选）下列说法正确的是（

）A．直线在y轴上的截距为2B．直线必过定点（2,0）C．直线的倾斜角为D．过点且垂直于直线的直线方程为【答案】BD【分析】根据直线的截距式方程即可判断A，根据直线恒过定点的求法即可判断B，根据直线斜率的定义即可判断C，根据垂直直线斜率之积为-1，结合直线的点斜式方程即可判断D.【详解】A：直线在轴上的截距为，所以A不正确；B：由，得，令，解得：，所以该直线恒过定点，故B正确；C：设直线的倾斜角为，，斜率为，由，解得：，故C错误；D：由直线，得该直线的斜率为，所以过点且垂直于直线的直线斜率为，故其方程为，即，故D正确.故选：BD.25．（多选）对于直线：，下列说法错误的是（

）A．直线恒过定点B．直线斜率必定存在C．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为D．时直线的倾斜角为【答案】BD【分析】求出过的定点判断A；根据m的取值情况判断B；当时，求出直线的横纵截距计算判断C；当时，求出直线的斜率判断D作答.【详解】对于A，直线：恒过定点，A正确；对于B，当时，直线：垂直于x轴，倾斜角为，斜率不存在，B错误；对于C，当时，直线：与x轴、y轴分别交于点，此时直线与两坐标轴围成的三角形面积为，C正确；对于D，当时，直线：的斜率，因此倾斜角为，D错误.故选：BD26．（多选）已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是()A．直线的倾斜角是π－αB．无论α如何变化，直线不过原点C．直线的斜率一定存在D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1【答案】BD【详解】根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝eq\f(π,2)时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,－sinα)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,－cosα)))＝eq\f(1,|sin2α|)≥1，所以D正确．27．直线经过点，，，则直线倾斜角的取值范围是_____.【答案】【分析】根据两点间斜率公式可得斜率，再结合参数范围可得斜率取值范围，进而可得倾斜角范围.【详解】直线经过点，，，，，设直线的倾斜角为，则，得，故答案为：.28．直线与的夹角为________．【答案】/【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角.【详解】直线的斜率，即倾斜角满足，直线的斜率，即倾斜角满足，所以，所以，又两直线夹角的范围为，所以两直线夹角为，故答案为：.29．直线的倾斜角的取值范围是_______.【答案】【分析】根据直线斜率，可知，结合可求得结果.【详解】由知：直线斜率，设直线倾斜角为，则，又，.故答案为：.30．过点，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是______．【答案】或【分析】由题意，根据在坐标轴上的截距相等，分类讨论，即可求解所求直线方程.【详解】解：由题意，当直线过原点时，此时所求直线方程的斜率，所以直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，可得，所以直线方程为，故答案为：或.31．已知点，直线，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是__________．【答案】(答案不唯一)【分析】求出过且与不平行的方程即可.【详解】直线的斜率为，故只需所求直线方程斜率不是即可，可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为.故答案为：(答案不唯一).32．已知直线经过点，且的倾斜角为，直线l的方程为___________【答案】【分析】首先求直线的斜率，再根据点斜率方程，即可求解.【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率，且直线过点，所以直线的方程为，即.故答案为：33．直线过点，当原点到直线的距离最大时，直线的方程为___________.【答案】【分析】作图分析可知，当原点到直线的距离最大时，，求出的斜率，根据点斜式即可求出直线的方程.【详解】由题意知，，，所以直线的斜率，所以直线的方程为：，即.故答案为：.34．一直线过点，它的倾斜角等于直线的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程为______．【答案】【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合直线点斜式方程进行求解即可.【详解】直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为，所以所求直线的倾斜角为，斜率为，所以所求直线的点斜式方程为故答案为：.35．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______.【答案】【分析】把直线方程化为，令，求出，的值即可.【详解】因为直线可化为，令，解得，所以直线过定点，故答案为：.36．已知实数成等差数列，则直线必过定点______.【答案】【分析】由成等差数列，可得，即，故直线可得．【详解】成等差数列，，，直线必过点．故答案为：．37．已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是___________.【答案】或；.【分析】分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.【详解】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，在中，令，得，令，得，依题意可得，即，解得或；直线的方程可化为，所以，所以，所以直线过定点，所以，由直线可得：，若不经过第三象限，则，故答案为：或；.38．一束光线由点出发沿x轴反方向射向抛物线上一点P，反射光线所在直线与抛物线交于另一点Q，则弦|PQ|的长为___________.【答案】【分析】根据题意可得，结合抛物线的性质可求得直线的方程，联立方程，利用韦达定理结合抛物线的定义运算求解.【详解】由题意可设，则，解得，即，由抛物线的性质：当光线平行抛物线的对称轴时，经抛物线反射后，光线过焦点.可得反射光线经过抛物线的焦点，故直线的斜率，则直线的方程为，设，联立方程，消去y可得，则，所以.故答案为：.39．已知P(－3,2),Q(3,4)及直线ax＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))的方向延长线段PQ与直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(1,3)))【详解】直线l：ax＋y＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a，易知PQ，QA，l的斜率分别为：kPQ＝eq\f(1,3)，kAQ＝eq\f(7,3)，kl＝－a.若l与PQ延长线相交，由图可知kPQ<kl<kAQ，解得－eq\f(7,3)<a<－eq\f(1,3).40．过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．【答案】【分析】作出图形，利用斜率公式分别求得，，根据题意得到或，即可求解.【详解】如图所示，因为，，，可得，，要使得直线与以、为端点的线段有交点，设直线的倾斜角为，其中，则满足或，解得或，即直线的倾斜角的取值范围.41．求适合下列条件的直线的方程：(1)直线在两坐标轴上的截距相等，且经过点；(2)直线经过点且与点和点的距离之比为.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）分别讨论截距存在和不存在两种情况，利用正比例函数和直线的截距式方程，带点求参即可得到直线方程；（2）分别讨论斜率存在和不存在两种情况，利用点斜式方程和点到直线的距离公式求解即可.【详解】（1）若直线过原点，设直线的方程为，代入点，可得，则直线的方程为，若直线不过原点，可设直线的方程为，代入点，可得，则直线的方程为，综上所述，直线的方程为或；（2）若直线的斜率不存在，直线的方程为，此时，点到直线的距离分别为，不合乎题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，即.由已知条件可得，整理得，解得或.综上所述，直线的方程为或，即或.42．根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式方程：(1)经过点，斜率为；(2)在x轴和y轴上的截距分别是，.【答案】(1)；(2).【分析】（1）写出直线的点斜式方程，再化成一般式方程；（2）写出直线的截距式方程，再化成一般式方程.【详解】（1）由点斜式可得，直线方程为，即.所以直线方程为.（2）由截距式可得，直线方程为，即.所以直线方程为.43．已知点，，：(1)若中点为，求过点与的直线方程；(2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先求出D点的坐标，再根据两点式方程求出直线AD的方程；（2）根据截距等于0和不等于0，运用截距式方程求解.【详解】（1）由题意，的中点，即，由两点式直线方程得直线AD的方程为：，即；（2）当过B点，且在x，y轴上的截距为0时，直线方程为，即；设当在x，y上截距m不等于0时直线方程为，将B点坐标代入得，即；综上，（1）AD直线方程为，（2）过B点并且在x，y轴上截距相等的直线方程为或.44．已知三角形三顶点，求：(1)边上的高所在的直线方程；(2)边的中线所在的直线方程.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据高与所在边垂直关系求斜率，再由点斜式写出直线方程；（2）中点公式写出中点坐标，应用两点式写出中线所在直线方程.【详解】（1）边所在直线的斜率为，边上的高所在的直线的斜率为2.边上的高所在的直线方程为，即.（2）易知边的中点为，则边的中线过点和.所以边的中线所在直线方程为，即.45．已知直线．(1)求直线过定点的坐标；(2)当直线时，求直线的方程；(3)若交轴正半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求最小值时直线的方程．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）直线可化为即可得解；（2）根据已知条件列式求出即可得解；（3）根据直线的方程，分别求出直线在轴，轴上的截距，再结合三角形的面积公式，以及基本不等式的公式即可求解.【详解