高中必修四三角函数知识点总结

高中必修四三角函数知识点总结三角函数知识要点1.角度集合：①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合为：{β|β=k×360°+α,k∈Z}②终边在x轴上的角的集合为：{β|β=k×180°,k∈Z}③终边在y轴上的角的集合为：{β|β=k×180°+90,k∈Z}④终边在坐标轴上的角的集合为：{β|β=k×90°,k∈Z}⑤终边在y=x轴上的角的集合为：{β|β=k×180°+45°,k∈Z}⑥终边在y=−x轴上的角的集合为：{β|β=k×180°−45°,k∈Z}2.SIN/COS三角函数值大小关系图：1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域。3.角的对称性：⑦若角α与角β的终边关于x轴对称，则角α与角β的关系为：α=360°k−β⑧若角α与角β的终边关于y轴对称，则角α与角β的关系为：α=360°k+180°−β⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系为：α=180°k+β⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系为：α=360°k+β±90°4.角度与弧度的互换关系：360°=2π180°=π1°=0.01745≈57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。弧度与角度互换公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝π≈0.01745（rad）5.弧长公式与扇形面积公式：弧长公式为：l=|α|×r，扇形面积公式为：s=lr=|α|×r²6.三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P(x,y)，P与原点的距离为r，则：sinα=y/rcosα=x/rtanα=y/xcotα=x/ysecα=r/xcscα=r/y7.三角函数在各象限的符号：第一象限中正弦、余割为正，余弦、正割、正切、余切为正；第二象限中正弦、正割为正，余弦、余割、正切、余切为负；第三象限中正弦、余割为负，余弦、正割、正切、余切为负；第四象限中正弦、正割为负，余弦、余割、正切、余切为正。8.三角函数线：正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT。9.三角函数的定义域：三角函数是高中数学中的一个重要内容。在学习三角函数时，我们需要掌握函数的定义域、值域、基本关系式、诱导公式、三角函数的图像和性质等知识。三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。它们的定义域和值域各不相同，需要我们仔细区分。同时，我们还需要掌握它们之间的基本关系式，如sinx/cosx=tanx等。在计算三角函数时，我们可以利用诱导公式，把一个角的三角函数化为另一个角的三角函数，以便进行计算和化简。此外，我们还需要掌握三角函数的图像和性质，以便更好地理解和应用它们。在学习三角函数时，我们还需要掌握一些常见的公式，如基本关系式、诱导公式、和角公式、差角公式等。这些公式在计算和证明恒等式时非常有用。最后，我们还需要掌握角度制和弧度制的转换，以及已知三角函数值求角度的方法。掌握这些知识，可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。公式组一：$$\cot(\pi+x)=\cotx$$$$\cot(2\pi-x)=-\cotx$$$$\cot(\pi-x)=-\cotx$$公式组二：$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$$$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$$$\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$$公式组三：$$\frac{1}{\sin\alpha\cos\beta}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin(\alpha+\beta)}+\frac{1}{\sin(\alpha-\beta)}\right)$$$$\cos(\pi-\alpha)=\sin\alpha$$$$\sin\alpha=\cos\alpha\tan\frac{\alpha}{2}$$$$\sin\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{2\cos\alpha}$$$$\cos\beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}$$$$\tan(\pi-\alpha)=\cot\alpha$$$$\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$公式组四：$$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$$$$\sin(\alpha-\beta)=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$$$\tan(\pi+\alpha)=-\tan\alpha$$$$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$$$$\cos(\alpha+\beta)=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$$$\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$公式组五：$$\sin15^\circ=\cos75^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$$$\sin75^\circ=\cos15^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$$$\tan15^\circ=\cot75^\circ=2-\sqrt{3}$$$$\tan75^\circ=\cot15^\circ=2+\sqrt{3}$$小结：本文介绍了三角函数中的角与角之间的互换，包括两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式。同时，还给出了一些常见角度的正弦、余弦、正切值。这些公式和数值对于解决三角函数相关的数学问题非常有用。令$\alpha=\beta\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta\Rightarrow\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\Rightarrow2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\tan\alpha\pm\tan\beta\frac{1+\cos2\alpha}{1-\cos2\alpha}\Rightarrow\cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\tan\alpha\tan\beta),\sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-\tan\alpha\tan\beta),\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha},\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}$正弦定理：在$\triangleABC$中，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$（$R$为$\triangleABC$外接圆半径）。注意变形应用$\begin{cases}b=2R\sinB\\c=2R\sinC\end{cases}$。余弦定理：$\begin{cases}\cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\\cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\\cosC=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\end{cases}$。面积公式：$\begin{aligned}S_{\triangleABC}&=\dfrac{1}{2}ab\sinC=\dfrac{1}{2}ac\sinB=\dfrac{1}{2}bc\sinA\\&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\quad(s=\dfrac{a+b+c}{2})\end{aligned}$。正弦、余弦、正切、余切函数的图像的性质：$\begin{aligned}&\sinx\in[-1,1],\cosx\in[-1,1],\tanx\in(-\infty,+\infty),\cotx\in(-\infty,+\infty)\\&\sinx,\cosx$均为$2\pi$周期函数，$\tanx,\cotx$均为$\pi$周期函数\\&$\sin(-x)=-\sinx,\cos(-x)=\cosx,\tan(-x)=-\tanx,\cot(-x)=-\cotx$\\&$\sinx$为奇函数，$\cosx$为偶函数，$\tanx,\cotx$均为奇函数\\&$\sinx,\cosx$在$[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$上单调递增，$\tanx,\cotx$在$(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})$上单调递增\\&$\sinx,\cosx$在$[\pi,2\pi]$上单调递减，$\tanx,\cotx$在$(\pi,2\pi)$上单调递减\end{aligned}$。上为减函数（k∈Z）注意：①y=-sinx与y=sinx的单调性正好相反；y=-cosx与y=cosx的单调性也同样相反。一般地，若y=f(x)在[a,b]上递增（减），则y=-f(x)在[a,b]上递减（增）。②y=sinx与y=cosx的周期是π。③y=sin(ωx+φ)或y=cos(ωx+φ)（ω≠0）的周期T=2π/ω。y=tanx的周期为2π（T=π/ω，如图，翻折无效）。④y=sin(ωx+φ)的对称轴方程是x=kπ+π/2（k∈Z），对称中心（kπ，0）；y=cos(ωx+φ)的对称轴方程是x=kπ（k∈Z），对称中心（kπ+1/2π，0）；y=tan(ωx+φ)的对称中心（kπ/2，0）。2y=cos2x——原点对称——→y=-cos(-2x)=−cos2x⑤当tanα·tanβ=1，α+β=kπ+π/2（k∈Z）；tanα·tanβ=−1，α−β=kπ+π/2（k∈Z）。⑥函数y=cosx与y=sin(x+2kπ)是同一函数，而y=sin(ωx+φ)是偶函数，则y=sin(ωx+kπ+π/2)=±cos(ωx)/2。⑦函数y=tanx在R上为增函数。（×）[只能在某个单调区间单调递增。若在整个定义域，y=tanx为增函数，同样也是错误的]⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件。（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f(−x)=f(x)，奇函数：f(−x)=−f(x)）奇偶性的单调性：奇同偶反。例如：y=tanx是奇函数，y=tan(x+π)是非奇非偶。（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若∈x的定义域，则f(x)一定有f(−x)=0。（∉x的定义域，则无此性质）⑨y=sinx不是周期函数；y=sinx为周期函数（T=π）；y=cosx为周期函数（T=π）；y=cosx是周期函数（如图）。y=arctan(x)，其定义域为（-∞，+∞），值域为（-π/2，π/2）。函数y=ctgx在区间（0，π）的反函数称为反余切函数，记作y=arcctgx，其定义域为（-∞，+∞），值域为（0，π）。【竞赛知识要点】一、反三角函数1.反三角函数：⑴反正弦函数y=arcsinx是奇函数，因此arcsin(-x)=-arcsinx，其中x∈[-1,1]（需注明定义域）。若x∈(-∞,+∞)，则y=sinx没有反函数。注：sin(arcsinx)=x，其中x∈[-1,1]，arcsinx∈[-π/2,π/2]。⑵反余弦函数y=arccosx既非奇函数也非偶函数，但有arccos(-x)+arccos(x)=π+2kπ，其中x∈[-1,1]。注：①cos(arccosx)=x，其中x∈[-1,1]，arccosx∈[0,π]。②y=cosx是偶函数，y=arccosx既非奇函数也非偶函数，而y=sinx和y=arcsinx为奇函数。⑶反正切函数：y=arctanx，其定义域为(-∞,+∞)，值域为(-π/2，π/2)。因此arctan(-x)=-arctanx，其中x∈(-∞,+∞)。注：tan(arctanx)=x，其中x∈(-∞,+∞)。⑷反余切函数：y=arccotx，其定义域为(-∞,+∞)，值域为(0,π)。反余切函数既非奇函数也非偶函数，但满足arccot(-x)+arccot(x)=π+2kπ，其中x∈(-∞,+∞)。注：①cot(arccotx)=x，其中x∈(-∞,+∞)。②y=arcsinx与y=arcsin(1-x)互为奇函数，y=arctanx同理为奇函数，而y=arccosx与y=arccotx既非奇函数也非偶函数，但满足arccos(-x)+arccosx=π+2kπ，其中x∈[-1,1]；arccotx+arccot(-x)=π+2kπ，其中x∈[-1,1]。2.正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a的取值范围解集a的取值范围解集①sinx=a的解集②cosx=a的解集a>1∅a=1{x|x=2kπ+arcsina,k∈Z}-1<a<1{x|x=kπ+(-1)karcsina,k∈Z}a>1∅a=1{x|x=2kπ+arccosa,k∈Z}a<1{x|x=kπ±arccosa,k∈Z}tanx的解集为{x|x=kπ+arctana,k∈Z}，cotx的解集为{x|x=kπ+arccota,k∈Z}。下面是一些三角恒等式：组一：sin(2n+1)α/(n*cosα*cos2α*cos4α*...*cos2nα)=(n+1/2)*sinα