2022-2023学年福建省泉州科技中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat17页2022-2023学年福建省泉州科技中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．复数的共轭复数为A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：，故共轭复数为【解析】复数运算2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为A． B． C． D．【答案】A【分析】由轴截面是面积为1的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积.【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由题可知，r=h=，则，∴侧面积为故选A【点睛】本题考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面积的应用．3．直线y-2=mx+m经过一定点，则该点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：直线y﹣2=mx+m的方程可化为m（x+1）﹣y+2=0，根据x=﹣1，y=2时方程恒成立，可直线过定点的坐标．解：直线y﹣2=mx+m的方程可化为m（x+1）﹣y+2=0当x=﹣1，y=2时方程恒成立故直线y﹣2=mx+m恒过定点（﹣1，2），故选C．【解析】恒过定点的直线．4．若圆：与圆：外切，则（

）A．22 B．18 C．26 D．【答案】C【解析】若两圆相外切，则圆心距等于半径之和，即可求解.【详解】由得圆心，，由得，圆心，，因为两圆向外切，所以，即，可得，解得：，故选：C5．若和分别为空间中的直线和平面，则“”是“垂直内无数条直线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的意义判断作答.【详解】若，则垂直内所有直线，因此，命题“若，则垂直内无数条直线”正确，垂直内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线可以在平面内，即不能推出，所以“”是“垂直内无数条直线”的充分不必要条件.故选：A6．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点P是两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】设，，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得和，再由余弦定理可得与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算即可求解【详解】设，，点P是两曲线在第一象限的一个公共点，由椭圆和双曲线的定义可得，，解得：，在中，，由余弦定理可得：，整理可得：，两边同时除以得，即，因为，可得，故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键点是设，，由椭圆和双曲线的定义解方程可得，在中，，利用余弦定理列方程化简后可得，，两边同时除以可得和的关系.7．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令由，整理得则，则，由，可得则有，即，则双曲线的离心率故选：D8．已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由可得在的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得为的内心，再由内心的向量表示，推得，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.【详解】因为，所以是的角平分线，又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点，则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心，如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得，，，可知为的重心，设，，，由重心性质可得，即，又为的内心，所以，因为，所以，，则，所以双曲线的离心率.故选：C.【点睛】三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：设的角，，所对边分别为，，，则（1）的重心满足；（2）的内心满足；（3）的外心满足.二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．截距相等的直线都可以用方程表示B．方程能表示平行y轴的直线C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．经过两点的直线方程为【答案】BD【分析】利用直线的方程与斜率逐一进行判断．【详解】解：对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程表示，故错误；对于B，当时，方程表示平行y轴的直线，故正确；对于C，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，故错误；对于D，，直线的斜率存在，可写成，故正确；故选：BD．10．在空间直角坐标系中，已知，，，若存在一点，使得平面，则点坐标可能为（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】设，由平面，可得，，即，可得，将四个选项代入检验即可得正确选项.【详解】设，则，，，若平面，则，，所以，即，将代入满足方程组，所以选项A正确；将代入不满足方程组，所以选项B不正确；将代入不满足方程组，所以选项C不正确；将代入满足方程组，所以选项D正确；故选：AD11．下列命题正确的有（

）A．若方程表示圆，则的取值范围是B．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是C．已知点在圆C：上，的最大值为1D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为【答案】BD【解析】将圆的一般式方程化为标准方程即可得圆心坐标，可判断选项A，设利用圆心到直线的距离等于半径可求圆心坐标，即可得圆的方程，可判断选项B，表示圆上的点与原点连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求出的值，可得的最值，即可判断选项C，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，利用弦心距、弦长的一半、半径构成直角三角形即可求出弦长，即可判断选项D，进而得出正确选项.【详解】若方程表示圆，则，即，解得或，故选项A不正确；设圆心，则圆心到直线的距离为，解得，即圆心为，所以圆的标准方程是，故选项B正确；由可得，表示圆上的点与原点连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，则，显然不是方程的解，故的最大值不是1，故选项C不正确，将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，由得，可得圆心，，圆心到直线的距离所以弦长为，所以公共弦长为，故选项D正确，故选：BD【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.12．四棱锥的顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，设分别是的中点，则（

）A．平面平面B．四棱锥外接球的半径为C．三点到平面的距离相等D．平面截球所得的截面面积为【答案】BCD【分析】由面面平行的性质判断A；由长方体的性质得出四棱锥外接球的半径；由分别是的中点得出三点到平面的距离相等；根据等体积法得出球心到平面的距离，再由截面圆的半径求出截面面积.【详解】对于A，取线段PC的中点O，则在梯形中，与不平行，若平面平面，由于平面平面，平面平面，则，这与与不平行相矛盾，故错误；对于B，由题意可将该四棱锥补形为一个长方体，易知球心为长方体的对角线的中点，即为的中点，故球的直径，所以，故B正确；对于C，点为的中点，则点两点到平面的距离相等，同理点为的中点，则点两点到平面的距离相等，故C正确；对于D，设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，由题意可知，球心到平面的距离等于点到平面的距离，在三棱锥中，由等体积法可得，即，解得，所以，所以截面圆的面积为，故D正确；故选：BCD三、填空题13．已知向量，，若，则的值为.【答案】【解析】利用可得，利用坐标求向量数量积即可求解.【详解】因为向量，，所以，解得：，所以，，故答案为：.14．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是．【答案】【分析】将方程化为标准形式，结合椭圆的几何性质求解即可.【详解】时不合题意，时，由可得，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.15．已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．【答案】【分析】根据题意，根据三点共线，求出直线的方程，联立双曲线方程，即可求得点坐标，则由即可容易求得.【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，∵，∴直线的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，∴=.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题.16．已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为.【答案】或1/1或【分析】先求得点的轨迹的方程，再利用的面积为2列出关于实数的方程，进而求得实数的值【详解】设，则有整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆点到直线的距离直线交于，两点，则则的面积解之得或故答案为：或1四、解答题17．已知等轴双曲线的一个焦点为.求等轴双曲线的标准方程；【答案】【分析】依题意设双曲线的标准方程为，即可求出，从而得解.【详解】由题意设双曲线的标准方程为，则，所以，则双曲线的标准方程为．18．已知点和（1）求直线AB的斜率和AB的中点M的坐标；（2）若圆C经过A，B两点，且圆心在直线上，求圆C的方程.【答案】（1）直线AB的斜率为1，AB的中点M的坐标为；（2）.【分析】（1）利用斜率公式和中点坐标公式即可计算出；（2）设圆心C为，半径为r，根据条件可计算出.【详解】（1）由点和，得，，，直线AB的斜率为1，AB的中点M的坐标为；（2）设圆心C为，半径为r，圆心在直线上，，则点C为，由题意可得，即，解得，，.圆C的标准方程为.【点睛】本题考查两点求斜率和中点坐标，考查圆的方程的求法，属于基础题.19．已知直线，.（1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；（2）若坐标原点到直线的距离为，判断与的位置关系.【答案】（1）或；（2）或【详解】试题分析：（1）联立解得与的交点为（-21，-9），当直线过原点时，直线的方程为；当直线不过原点时，设的方程为，将（-21，-9）代入得，解得所求直线方程（2）设原点到直线的距离为，则，解得：或，分情况根据斜率关系判断两直线的位置关系;试题解析：解：（1）联立解得即与的交点为（-21，-9）.当直线过原点时，直线的方程为；当直线不过原点时，设的方程为，将（-21，-9）代入得，所以直线的方程为，故满足条件的直线方程为或.（2）设原点到直线的距离为，则，解得：或，当时，直线的方程为，此时；当时，直线的方程为，此时.20．如图，在平面五边形中，为正三角形，，且.将沿翻折成如图所示的四棱锥，使得.，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)取的中点，连接，.可得面面，从而可证平面；(2)取的中点，连接，，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系,用向量法求解即可.【详解】（1）解：（1）证明：取的中点，连接，.则，.因为面，面，所以，面，面，因为，所以，面面，因为面，所以面.（2）（2）取的中点，连接，，因为为正三角形，，所以且，在直角梯形中，，，，所以，且，又因为，所以在中，，即，所以，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.因为，即，，所以，，所以，.设为平面的一个法向量，则，即，取.又平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，.21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，E为的中点，且．(1)求证：平面；(2)记的中点为N，若M在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】(1)证明见解析；(2)2或【分析】（1）连接，由勾股定理证得，由等腰三角形得性质证得，再结合线面垂直得判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，设，利用空间向量的夹角公式求出余弦值，进而列出方程，解之即可.【详解】（1）连接，∵，，∴且

∴四边形为平行四边形；

∵且E为的中点，∴，所以，

∴，∴，即，

又∵，∴平面（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,所以，设平面的法向量为，则，即，取

设，则，而，所以，∵平面的法向量为，设直线与平面所成的角为，则

化简得，解得：或，满足故线段的长度为2或．22．已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定