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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。大题规范满分练(四)立体几何综合问题1.如图所示,在四棱锥PABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,E是PB的中点,PD=2,PA=5,AB=AD=3,AHHD(1)证明:PH⊥平面ABCD.(2)若F是CD上的点,且FC=2FD=3,求二面角BEFC的正弦值.【解析】(1)因为AB⊥平面PAD,所以PH⊥AB.因为AD=3,AHHD所以AH=2,HD=1.设PH=x,由余弦定理可得:cos∠PHD=x2+Hcos∠PHA=x2+H因为cos∠PHD=cos∠PHA,⊥AD.因为AD∩AB=A,所以PH⊥平面ABCD.(2)以H为原点,HA方向为x轴,HP方向为z轴,过H作AB平行线方向为y轴,则B(2,3,0),P(0,0,1),E1,32,12,F1,32,0,C1,92,0,所以BF=3,32,0,BE=1,32,12,EF=2,0,12,FC=(0,3,0),设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),则BF·n=0,BE设平面EFC的法向量为m=(x,y,z),则EF·m取x=1,得m=(1,0,4),故cos<n,m>=n·m|n|·|设二面角BEFC的平面角为θ,则sinθ=2212.在多面体ABCDEF中,平面ABCD为正方形,AB=2,AE=3,DE=5,二面角EADC的余弦值为55,且EF∥(1)证明:平面ABCD⊥平面EDC.(2)求平面AEF与平面EDC所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)因为AB=AD=2,AE=3,DE=5,所以AD2+DE2=AE2,所以AD⊥DE.又因为在正方形ABCD中,AD⊥DC,且DE∩DC=D,所以AD⊥平面EDC,又因为AD平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面EDC.(2)由(1)知∠EDC是二面角EADC的平面角,作OE⊥CD于点O,则OD=DE·cos∠EDC=1,OE=2,且平面ABCD⊥平面EDC,平面ABCD∩平面EDC=CD,OE平面EDC,所以OE⊥平面ABCD,取AB中点M,连接OM,则OM⊥CD,如图,建立空间直角坐标系,则A(2,1,0),B(2,1,0),D(0,1,0),C(0,1,0),E(0,0,2),所以AE=(2,1,2),DB=(2,2,0),由EF∥BD,知EF的一个方向向量为(2,2,0),设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则n取x=2,得n=(2,2,3),因为平面EDC的一个法向量为m=(2,0,0),所以cos<n,m>=n·

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