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文档简介

第二章

一元二次函数、方程和不等式习题课

不等式恒成立和存在性问题一、在R上恒成立问题解：当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意；当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y<0恒成立，∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}.例1

已知∀x∈R，不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围.转化为一元二次不等式解集为R的情况小结：跟踪训练1

已知∀x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围为_____________.{a|－6≤a≤2}解：原不等式可化为x2＋ax＋3－a≥0，∵函数y＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上，∴Δ＝a2－4(3－a)＝a2＋4a－12≤0，即(a－2)(a＋6)≤0，∴－6≤a≤2，∴实数a的取值范围为{a|－6≤a≤2}.二二、在给定范围上的恒成立问题例2

当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.解：令y＝x2＋mx＋4，∵y<0在1≤x≤2上恒成立，∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.解得m<－5，∴实数m的取值范围是{m|m<－5}.在给定范围上的恒成立问题(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.(2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.小结：跟踪训练2

命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是A.a≥4 B.a≥5C.a≤4 D.a≤5√解：因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题，所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，该命题为真命题的一个充分不必要条件是a≥5.三三、存在性成立问题例3

当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为_____________.{m|m>－5}解：记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.解决能成立问题的方法(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决.(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围.小结：跟踪训练3

若存在x∈R，使得

≥2成立，求实数m的取值范围.解：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，

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