( 线性代数)二次型与对称矩阵的标准形_第1页
( 线性代数)二次型与对称矩阵的标准形_第2页
( 线性代数)二次型与对称矩阵的标准形_第3页
( 线性代数)二次型与对称矩阵的标准形_第4页
( 线性代数)二次型与对称矩阵的标准形_第5页
已阅读5页，还剩7页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

二次型与对称矩阵的标准形(一)用配方法化二次型为标准形(二)用初等变换法化二次型为标准形(三)用正交变换法化二次型为标准形(四)二次型与对称矩阵的规范形(一)用配方法化二次型为标准形定理5

1

任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标准形

定理5

2

对任意一个对称矩阵A

存在一个非奇异矩阵C

使CTAC为对角形(称这个对角矩阵为A的标准形)

即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同

(二)用初等变换法化二次型为标准形

当C是非奇异矩阵

且CTAC为对角矩阵时

则有

C

I

P1P2

Ps(其中Pi(i

1

2

s)是初等矩阵)

CTAC

PsT

P2TP1TA

P1P2

Ps

A变为对角矩阵

单位矩阵I就变为所要求的非奇异矩阵C

例3求一非退化线性变换

化二次型2x1x2

2x1x3

4x2x3为标准形

此二次型的矩阵为

解

代入原二次型可得标准形

(三)用正交变换法化二次型为标准形定理5

3

对于二次型f(x)

xTAx

一定存在正交矩阵Q

使得经过正交变换x

Qy后能够把它化为标准形其中

1

2

n是二次型f(x)的矩阵A的全部特征值

求得A的特征值为

求出使A相似于对角矩阵的正交矩阵因此

作正交变换x

Qy

就可以使二次型化为标准形

1

2

1

3

10

(四)二次型与对称矩阵的规范形

将二次型化为平方项的代数和的形式后

如果有必要

可重新安排变量的次序(这也是一个非退化线性变换)使这个标准形化为以下形状

其中di

0(i

1

2

r)

通过非退化线性替换二次型又化为这种形式的二次型称为原二次型的规范形

说明定理5

4

凡二次型都可通过非退化线性变换化为规范形

且规范形是由二次型本身决定的唯一形式

与所作的非退化线性变换无关

把规范形中正项的个数p称为二次型的正惯性指标

负项个数q

r

p称为二次型的负惯性指标

其中r是二次型的秩

正惯性指标和负惯性指标

二次型的正惯性指标也称为二次型矩阵的正惯性指标

二次型的负惯性指标也称为二次型矩阵的负惯性指标

定理5

5

A为任意对称矩阵

如果C

Q

|C|

0

|Q|

0

则p

t

定理5

4

凡二次型都可通过非退化线性变换化为规范形

且规范形是由二次型本身决定的唯一形式

与所作的非退化线性变换无关

把规范形中正项的个数p称为二次型的正惯性指标

负项个数q

r

p称为二次型的负惯性指标

其中r是二次型的秩

正惯性指标和负惯性指标

合同的对称矩阵具有相同的正惯性指标和秩

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论