柔性耗能防变器外钢围环的稳定性分析

柔性耗能防变器外钢围环的稳定性分析

船舶碰撞造成的桥梁严重破坏和坍塌，给运输、生物财产和社会环境造成重大经济损失。设计既能保护桥梁又不导致船舶受到严重损坏的防撞装置受到广泛重视。陈国虞等设计的柔性吸能防撞装置,具有大幅消减船舶撞击力,同时保护桥梁和船舶的功效,已在湛江海湾大桥主桥墩成功采用。为评估大型柔性吸能防撞装置的防撞效果,全尺度、动态、非线性数值模拟不可缺少。但由于一个完全的非线性动态数值模拟计算量庞大,希望发展一个桥墩防船撞系统的简化动力学分析方法,对“船舶-防撞装置-桥墩”的撞击过程进行预估并准确计算装置的等效弹性系数。针对以柔性防撞圈为核心元件设计的大型柔性防撞装置,郭丽娜等建立了一种理想化同心圆桥墩防撞装置模型,假设外钢围为刚性,通过理论分析得到了防撞装置的等效弹性系数。本文改进提出的模型,考虑外钢围弯曲变形特征,建立一个弹性基础上的封闭曲梁分析模型,将经典的曲梁理论和弹性基础梁理论结合,分别研究同心圆形状的桥墩防撞装置模型在静态集中力作用下的等效刚度和动态冲击载荷作用下的动态力学响应特性,为初步了解大型柔性防撞装置的冲击变形特征和整体优化设计提供指导性意见。1防护装置的动态特性新型柔性防撞装置由外钢围、内钢围和内外钢围之间分布的柔性吸能钢丝绳圈构成,如图1(a)所示。其中内钢围直接构筑在桥墩上,不可变形,外钢围承受船舶撞击,钢丝绳圈起缓冲消能作用。为评估防撞装置的等效刚度和动态响应特性,在如图1(b)所示的简化模型中,将内外钢围看成圆形封闭型曲梁,内外钢围之间的分布柔性防撞圈等效为弹性基础。根据对称性取防撞装置一半进行分析,如图1(c)所示。2模型中静态等效刚性的解决方案和分析2.1曲梁微元回归系数n,keir2,2d3vd3+2+v曲梁微元回归系数n,ndp3,5+2d3vd3,5+2d3vd3+2+v在外力和弹性地基支撑力qy=-kv/R(比例系数k量纲为[力]/[长度])作用下,外钢围发生弯曲变形。小变形情况下,外钢围的弯曲变形以钢围各点的径向运动为主,切向运动与转动可忽略。在极坐标系下,设θ点钢围的径向位移为v(θ),将曲梁(模型)中的一段微元(图2)(θ～θ+dθ)所有力沿周向s和径向y方向投影,得到曲梁微元的力和力矩平衡方程组根据曲梁弯矩和转角关系式Μ=-EΙR2(d2vdθ2+v)M=−EIR2(d2vdθ2+v)(2)经整理得控制方程d5vdθ5+2d3vdθ3+(1+λ2)dvdθ=0d5vdθ5+2d3vdθ3+(1+λ2)dvdθ=0(3)式中λ2=kR3/EI,反映出柔性基础(即分布柔性防撞圈)的刚度与外刚围弯曲刚度比。控制方程(3)是五阶常系数常微分方程,设α=√(√1+λ2-1)/2,β=√(√1+λ2+1)/2α=(1+λ2−−−−−√−1)/2−−−−−−−−−−−−−√,β=(1+λ2−−−−−√+1)/2−−−−−−−−−−−−−√,则方程(3)的通解为v=c1+c2e(α+iβ)θ+c3e(α-iβ)θ+c4e-(α+iβ)θ+c5e-(α-iβ)θ(4)其中c1～c5为待定常数,通过边界条件来确定。2.2钢架内剪力边界条件根据实际问题,确定以下边界条件a)对称边界条件:在θ=0处和θ=π处截面转角为0,即dvdθ|θ=0=0,dvdθ|θ=π=0dvdθ∣∣θ=0=0,dvdθ∣∣θ=π=0(5-1)b)剪力边界条件:在集中力作用点θ=0,梁的内部剪力大小为外载荷的一半-F/2(考虑方向,见图2),在θ=π处剪力为0,即Q|θ=0=-F2,Q|θ=π=0Q|θ=0=−F2,Q|θ=π=0(5-2)c)补充边界条件:由于梁的圆周方向的抗压缩刚度很大,从0到π范围内对应的圆弧的圆周周向总变形量近似为0,即∫π0v(θ)dθ=0(5-3)将上述边界条件(5)代入通解(4),可解得v(θ)的表达式为2.3面形:双形情况下d根据(6),计算外钢围半径为5,右端点受到单位集中载荷(F=1)作用时,具有不同“弯曲刚度/基础刚度比”(λ-1)的梁的变形情况,如图3所示。可以看出,在外力作用下圆形曲梁同时发生向左方的平移和弯曲变形,曲梁的弯曲变形程度受刚度比值大小的影响:对于λ-1=√EΙ/kR3λ−1=EI/kR3−−−−−−−√较低的情况,梁的弯曲变形更加集中于施加载荷区域,这表明相对于基础(防撞圈)的支撑刚性而言,梁(外钢围)的抗弯刚度较弱,防撞装置不能够发挥变形同一性;对于λ-1较大情况,梁的弯曲变形很小,在外力作用下主要发生整体平动。2.4粘弹性体非线性动力系统的简化缩略令封闭曲梁半径R→+∞,问题等价于弹性基础上无限长梁,将弧长坐标s=θR用直角坐标x代替,封闭曲梁沿径向位移v(x)就是直梁的横向挠度。将公式(6)改写为v(θ)=Ρ8EΙ(αR)(βR)(α2R2+β2R2)[-4αβR(α2+β2)π+(αRi+βR)eα+iβRθRe2(α+iβ)π-1-(αRi-βR)eα-iβRθRe2(α-iβ)π-1+(αRi+βR)e-α+iβRθR1-e-2(α+iβ)π-(αRi-βR)e-α-iβRθR1-e-2(α-iβ)π]注意到R→+∞时,α→+∞,β→+∞,令ψ=limR→+∞αR=limR→+∞βR=4√k4REΙ,则上式简化缩略为无限长弹性基础上直梁的位移表达式v(x)=limR→+∞v(θR)=Ρe-ψx8EΙψ3[sin(ψx)+cos(ψx)](7)令Κ=kR(即为单位长度的分布弹簧的刚度)统一量纲,(7)结果与高等材料力学教材给出的弹性基础上无限长梁的结果完全一致,可见封闭环形地基梁的结果(6)可以退化成弹性地基直梁问题,从侧面验证了所得结论的正确性。2.5实行外钢围等效刚度的必要性由公式(6),令F=1,载荷作用点(θ=0)处位移即相当于防撞装置的等效柔度CC=λ28αβk(α2+β2)[-4αβ(α2+β2)π+(αi+β)e-(α+iβ)πe(α+iβ)π-e-(α+iβ)π-(αi-β)e-(α-iβ)πe(α-iβ)π-e-(α-iβ)π+(αi+β)e(α+iβ)πe(α+iβ)π-e-(α+iβ)π-(αi-β)e(α-iβ)πe(α-iβ)π-e-(α-iβ)π](8)柔度的倒数即为防撞装置的等效刚度,其无量纲化数值为ˉk=C-1/2πk,根据(8)可计算得到ˉk=C-1/2πk随λ-1=√EΙ/kR3的变形情况,如图4所示:在给定半径R和弹性系数k的情况下,图4横坐标表征外钢围抗弯曲刚度的大小,而纵坐标表征防撞装置的等效刚度,可见:1)防撞装置的等效刚度数值取决于防撞装置外钢围刚度与钢丝绳圈刚性系数和分布密度的比值,在λ-1=√EΙ/kR3值取较小数值的范围内(λ-1=0～1),装置的等效刚度随外钢围刚度增大而增大。2)当外钢围刚度趋向无穷大时(即外钢围为刚性),装置等效刚度系数近似为一定值0.5。该值表明,当外钢围刚度极大时,装置的等效刚度恰为全部钢丝绳圈并联时的刚性系数的一半。该结论与郭丽娜等人在中研究杭州湾跨海大桥柔性防撞装置时,假设外钢围是刚性,通过理论推导得到的一种理想同心圆桥墩防撞装置模型的等效平动弹性系数一致。3梁式振动的动态响应3.1惯性力的确定对于封闭曲梁的动态响应,考虑在t=0时刻,对外钢围施加一个冲击载荷F(t)=qH(t),其中H(t)为阶跃函数,如图5所示和静态情况不同,此时径向位移是与时间相关的函数,外钢围径向除受基础力外,还需要考虑单位弧长惯性力-ρl(∂2v/∂t2)(ρl为外钢围的线密度,∂2v/∂t2表径向位移引起的加速度,负号表示惯性力向外)。设t时刻θ外钢围的径向位移记为v(θ,t),根据图2,曲梁径向力qs=-kv/R-ρld2vdt2|t=tx。将其代入方程组(1),以(θ,t)为空间和时间坐标,得到曲梁微元的力和力矩平衡方程组{∂Ν(θ,t)∂θ=Q(θ,t)∂Q(θ,t)∂θ+Ν(θ,t)=kv(θ,t)+ρlR∂2v(θ,t)∂t2∂Μ(θ,t)∂θ=Q(θ,t)R整理得到曲梁的动力学控制方程为∂5v∂θ5+2∂3v∂θ3+(1+λ2)∂v∂θ+ρlR4EΙ∂3v∂t2∂θ=0(9)3.2初始条件和边界条件类似曲梁静态载荷下边界条件(5),确定动态载荷作用下边界条件如下(a)对称边界条件∂v∂θ|θ=0=∂v∂θ|θ=π=0(10)(b)剪力边界条件Q(π,t)=0,Q(0,t)=-q2Η(t)(11)(c)补充边界条件∫π0v(θ,t)dθ=0(12)附加初始条件:在t=0时刻,外钢围各点的位移和速度均为零,即v(θ,0)=∂v∂t(θ,0)=0(13)由此可知,弹性基础上封闭型梁在冲击载荷作用下动态响应是一个确定的初边值问题,其最终控制方程组包括偏微分方程(9)、边界条件(10～12)和初始条件(13)。3.3钢围laplace变换域的解析确定采用Laplace变换方法求解初边值问题(10～13)。记L[v(t,θ),t→p]=F(p,θ),p为变换域参数。引入变量a1=1λ2=EΙ/kR3(外钢围抗弯刚度与弹性基础刚度之比),a2=k/Rρl(单位弧长弹簧刚度k/R与线密度ρl之比),a3=kR/q(无量纲化外载荷),对(9)和边界条件(10～12)进行Laplace变换有解方程组(14)得到F(p,θ)的解为其中α′,β′均为p的已知函数。α′=√(√1+1a1+p2a1a2-1)/2β′=√(√1+1a1+p2a1a2+1)/2定义无量纲化位移ˉv(θ,t)≡v(θ,t)/R,Laplace变换为ˉF(p,θ)=L[ˉv(p,θ),t→p]=F(p,θ)/R,则ˉv(θ,t)=L-1[ˉF(p,θ),p→t]。由(15),ˉF(p,θ)的表达式为虽然在Laplace变换域,外钢围的位移的变换解可以用解析方程表达(15或16),但是这些解的形式过于复杂,难以通过解析方法得到反变换。为此采用J.Abate和P.P.Valko给出的固定Talbot(FT)的多精度Laplace数值逆变换算法。类似,直接调用FT算法的MATHEMATICA函数,对(16)解进行数值逆变换,即得无量纲化位移ˉv(θ,t)的具体数值。3.4对结果的分析与讨论3.4.1外钢围振动分析本文研究θ=0,θ=π/4,θ=π/2,θ=3π/4,θ=π五个特殊点处的振动情况,通过它们来反应整个模型的冲击动力学特征。由前面分析知道,反映外钢围(即模型)特性及载荷的参数有:a1=1λ2=EΙ/kR3,a2=k/ρlR,a3=kR/q。(一)图6反映的是参数a1(1λ2)(即外钢围刚度与柔性基础刚度相对大小)对模型动态响应的影响,固定a2=1,a3=1,分别取a1=2,1,0.5,观察以下三图发现:1.在理想情况下(即只考虑弹性),封闭型曲梁将发生无衰减的振动;2.从θ=0到θ=π,各点起振的时间不同,具有延时现象,反映了弯曲波在曲梁(外钢围)中的传播过程。由波动理论知,当刚度越大(即相对刚度a1越大)弯曲波传播的速度就越大,延时现象就越是不明显,以下三图外钢围的相对刚度依次降低,即延时现象越来越明显,这与图形显示情况符合;3.关于θ=π/2对称的各点振动情况基本相同(具有相同的振幅和频率),只是初相位(起振时间)不同。可知当两者相位差较小时,外钢围的变形更多的是平动。根据上面结论2,可推知外钢围相对刚度a1越大(越硬)变形越不明显,相对刚度越小变形越明显,有时将会在θ=0处发生塌陷;4.非对称点间振动的频率和振幅皆不同。本文考虑的是各点的径向振动情况,因此越接近顶部(θ=π/2)的地方抗变形的能力越强,振幅就越小。由图知a1值(外钢围相对刚度)越大,顶部(θ=π/2)的相对振幅越小,振动越不明显。同时,各非对称点间振动频率也随着a1减小而减小。图6-a中θ=π/2处频率将近是θ=0处的4倍,而图6-b中接近于3倍,图6-c中却是2倍;(二)图7反映的是参数a2(与单位弧长弹簧系数k/R成正比,与线密度ρl成反比)对模型动态响应的影响,固定a1=1,a3=1取a2=2,10,观察发现:a2越大外钢围整体的振动频率越大,而各点的振幅和振动相对频率却不变,和图(6-b)相同,θ=π/2处的频率是θ=0处的3倍。可知,a2的取值与外钢围整体振动频率相关,且取值越大整体的振动频率越大,而与外钢围的最大振幅和各点间的相对振动频率和相对振幅无关。(三)图8反映的是参数a3(与冲击载荷的大小和柔性基础刚度有关)对模型动态响应的影响,固定a1=1,a2=1取a3=5,10画出θ=0,θ=π/4,θ=π/2,θ=3π/4,θ=π五点处的位移-时间曲线,如图8所示。比较图(8-a)(8-b)(6-b)可发现:a3与各点振动的振幅成正比,当a3扩大5倍时,振幅缩小到原来的1/5,扩大10倍时,振幅缩小到原来的1/10,而外钢围的整体频率和其上各点的相对频率却不变。可见a3只与各点振幅相关,而与整体频率和各点的相对频率和相对振幅无关。3.4.2外钢围振动的频率和时间分析为了更好地研究外钢围的动态响应,取某几个时刻分析外钢围的整体位移。由3.4.1可知外钢围整体振动的周期约为6,故取t=0,t=1,t=2,t=3,t=4,t=5六个时刻分析外钢围的位置。画出a1=2,a2=1,a3=0.5三种情形下t=0,t=1,t=2,t=3,t=4,t=5六个时刻的位置如图9所示。从图9可以较直观的看到一个周期外钢围的振动情况,比较图9和图3可以看出,无论外钢围承受静态载荷还是动态载荷,变形过程中θ=0附近处都产生“凹陷”现象,发生弯曲变形。且随着外钢围刚度的增大,整体弯曲变形越不明显,发生平动。这和上文中对参数a1分析所得结论3对应。4外钢围的动态响应分析本文在柔性防撞装置的基础上,提出了弹性基础上封闭圆环形曲梁模型,利用曲梁理论研究了外钢围分别在静态集中力作用下和冲击载荷作用下的变形特征。分析得到:1)在静态集中力载荷作用下,一定范围内,随着外钢围刚度的增大,装置等效刚度线性增大。当外钢围刚度极大时,装置等效弹性系数为装置整体弹性地基系数的一半。该结果与郭丽娜等人在中