2015年湖北高考数学试卷(理科)及详细答案Word版

./绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试〔卷数学〔理工类本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前,先将自己的、号填写在试题卷和答题卡上,并将号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2．选择题的作答：每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5．考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．为虚数单位,的共轭复数为A．B．C．1D．2．我国古代数学名著《数书九章》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷28粒,则这批米夹谷约为A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为A．B．C．D．4．设,,这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A．B．C．对任意正数,第4题图D．对任意正数,第4题图5．设,.若p：成等比数列；q：,则A．p是q的充分条件,但不是q的必要条件B．p是q的必要条件,但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6．已知符号函数是上的增函数,,则A．B．C．D．7．在区间上随机取两个数,记为事件""的概率,为事件""的概率,为事件""的概率,则A．B．C．D．8．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度,得到离心率为的双曲线,则A．对任意的,B．当时,；当时,C．对任意的,D．当时,；当时,9．已知集合,,定义集合,则中元素的个数为A．77B．49C．45D．10．设,表示不超过的最大整数.若存在实数,使得,,…,同时成立,则正整数的最大值是A．3B．4C．5D．二、填空题：本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置,书写不清,模棱两可均不得分．〔一必考题〔11—14题11．已知向量,,则．12．函数的零点个数为．第13题图第14题图xOyTCNAMB13．如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶第13题图第14题图xOyTCNAMB14．如图,圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点〔B在A的上方,且．〔Ⅰ圆的标准方程为；〔Ⅱ过点任作一条直线与圆相交于两点,下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的序号是.〔写出所有正确结论的序号〔二选考题〔请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选,则按第15题作答结果计分．第15题图15．〔选修4-1：几何证明选讲第15题图如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且,则.16．〔选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为,曲线C的参数方程为<t为参数>,l与C相交于AB两点,则.三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔本小题满分11分某同学用"五点法"画函数在某一个周期的图象时,列表并填入了部分数据,如下表：0050〔Ⅰ请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解析式；〔Ⅱ将图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到的图象.若图象的一个对称中心为,求的最小值.18．〔本小题满分12分设等差数列的公差为d,前n项和为,等比数列的公比为q．已知,,,．〔Ⅰ求数列,的通项公式；〔Ⅱ当时,记,求数列的前n项和．19．〔本小题满分12分第19题图《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．第19题图如图,在阳马中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接〔Ⅰ证明：．试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角〔只需写出结论；若不是,说明理由；〔Ⅱ若面与面所成二面角的大小为,求的值．20．〔本小题满分12分某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍,设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W〔单位：吨是一个随机变量,其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利〔单位：元是一个随机变量．〔Ⅰ求的分布列和均值；〔Ⅱ若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．〔本小题满分14分一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且,．当栓子D在滑槽AB作往复运动时,带动N绕转动一周〔D不动时,N也不动,M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．〔Ⅰ求曲线C的方程；〔Ⅱ设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点,试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在,求出该最小值；若不存在,说明理由．xxDOMNy第21第21题图2第21题图122．〔本小题满分14分已知数列的各项均为正数,,e为自然对数的底数．〔Ⅰ求函数的单调区间,并比较与e的大小；〔Ⅱ计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明；〔Ⅲ令,数列,的前项和分别记为,,证明：.绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试〔卷数学〔理工类试题参考答案一、选择题〔本大题共10小题,每小题5分,共50分1．A2．B3．D4．C5．A6．B7．B8．D9．C10．B二、填空题〔本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分11．912．213．14．〔Ⅰ；〔Ⅱ①②③15．16．三、解答题〔本大题共6小题,共75分17．〔11分〔Ⅰ根据表中已知数据,解得.数据补全如下表：00500且函数表达式为.〔Ⅱ由〔Ⅰ知,得.因为的对称中心为,.令,解得,.由于函数的图象关于点成中心对称,令,解得,.由可知,当时,取得最小值.18．〔12分〔Ⅰ由题意有,即解得或故或〔Ⅱ由,知,,故,于是,①.②①-②可得,故.19．〔12分〔解法1〔Ⅰ因为底面,所以,由底面为长方形,有,而,所以.而,所以.又因为,点是的中点,所以.而,所以平面.而,所以.又,,所以平面.由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.〔Ⅱ如图1,在面,延长与交于点,则是平面与平面的交线.由〔Ⅰ知,,所以.又因为底面,所以.而,所以.故是面与面所成二面角的平面角,设,,有,在Rt△PDB中,由,得,则,解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时,.〔解法2〔Ⅰ如图2,以为原点,射线分别为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设,,则,,点是的中点,所以,,于是,即.又已知,而,所以.因,,则,所以.由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,第19题解答图2第19题解答图1第19题解答图2第19题解答图1〔Ⅱ由,所以是平面的一个法向量；由〔Ⅰ知,,所以是平面的一个法向量.若面与面所成二面角的大小为,则,解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时,.20．〔12分〔Ⅰ设每天两种产品的生产数量分别为,相应的获利为,则有〔1第20题解答图1第20题解答图2第20题解答图3目标函数为第20题解答图1第20题解答图2第20题解答图3．将变形为,当时,直线：在轴上的截距最大,最大获利．．将变形为,当时,直线：在轴上的截距最大,最大获利．当时,〔1表示的平面区域如图3,四个顶点分别为.将变形为,当时,直线：在轴上的截距最大,最大获利．故最大获利的分布列为816010200108000.30.50.2因此,〔Ⅱ由〔Ⅰ知,一天最大获利超过10000元的概率,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为21．〔14分〔Ⅰ设点,,依题意,第21题解答图,且,第21题解答图所以,且即且由于当点不动时,点也不动,所以不恒等于0,于是,故,代入,可得,即所求的曲线的方程为〔Ⅱ〔1当直线的斜率不存在时,直线为或,都有.〔2当直线的斜率存在时,设直线,由消去,可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点,所以,即.①又由可得；同理可得.由原点到直线的距离为和,可得.②将①代入②得,.当时,；当时,.因,则,,所以,当且仅当时取等号.所以当时,的最小值为8.综合〔1〔2可知,当直线与椭圆在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.