苏科版数学七年级下册期末复习考点串讲+题型专训专题03 幂的运算（原卷版）

专题03幂的运算一、同底数幂的乘法性质（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.二、幂的乘方（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.三、积的乘方（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：四、同底数幂的除法（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.（5）底数SKIPIF1<0不能为0，SKIPIF1<0无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.（6）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的倒数，SKIPIF1<0可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.五、科学记数法SKIPIF1<0，SKIPIF1<0拓展方法：同底数幂的新定义初级：以模仿为主，难度偏低中级：理解题意，根据学过的知识举一反三高级：自己能创造题目，给出定义同底数幂中比较大小比较355，444，533的大小．方法:55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小．解:∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．积的乘方凑整SKIPIF1<0方法：1.化为同指——SKIPIF1<0将SKIPIF1<0凑整，再求解4.同底数幂除法逆用已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的值.方法：1.同底数幂相除，底数相同，指数相减——SKIPIF1<0SKIPIF1<0=962.把SKIPIF1<0当成整体转化成一元一次方程，求解即可5.同底数幂归纳演绎推理求l+2+22+23+24+…+22019的值．方法：设S=l+2+22+23+24+…+22018+22019…①则2S=2+22+23+24+25+…+22019+22020…②②-①，得2S﹣S=22020-l即S=22020-l∴1+2+22+23+24+…+22019=22020-l【专题过关】类型一、幂的简单运算【解惑】（2022秋·吉林长春·八年级校考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的值；(3)直接写出字母SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的数量关系为______．【融会贯通】1．（2021秋·福建泉州·八年级统考期中）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）计算SKIPIF1<0的结果是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022春·广东揭阳·七年级校考期中）下列运算正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）下列运算正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022春·山东济南·七年级校考期中）计算：SKIPIF1<0_____．6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）（1）SKIPIF1<0

（2）SKIPIF1<07．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）计算：SKIPIF1<0．类型二、科学记数法【解惑】空气的密度是SKIPIF1<0，用小数把它表示出来．【融会贯通】1．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）细胞是一切生物体结构和功能的基本单位，细胞的结构主要有细胞膜、细胞质和细胞核三个部分．在电子显微镜下观察细胞，可以区分为膜相结构和非膜相结构．细胞膜是细胞表面的一层薄膜，它的厚度大约是SKIPIF1<0纳米（即SKIPIF1<0米）．将SKIPIF1<0用科学记数法表示应写成（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）据《经济日报》报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到SKIPIF1<0，主流生产线的技术水平为SKIPIF1<0，中国大陆集成电路生产技术水平最高为SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0用科学记数法可表示为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）某物质的密度a用科学记数法表示为SKIPIF1<0，则数a用小数表示为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2023春·江苏·七年级专题练习）某微生物的直径为SKIPIF1<0，则原数为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023秋·辽宁鞍山·八年级统考期末）用科学记数法表示SKIPIF1<0是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为SKIPIF1<0克，将SKIPIF1<0用科学记数法表示为______．7．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）两年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.0000011米．将0.0000011用科学记数法表示为_____．类型三、积的乘方【解惑】（2022春·陕西西安·七年级统考期中）计算：SKIPIF1<0．【融会贯通】1．（2022春·安徽马鞍山·七年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022春·安徽合肥·七年级统考期中）已知SKIPIF1<0，则x、y、z三者之间关系正确的是（

）A．xy=2z B．x+y=2z C．x+2y=2z D．x+2y=z3．（2020春·浙江·七年级期中）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．4．（2020秋·山东德州·八年级统考期中）计算：SKIPIF1<0___________；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________．5．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）已知：SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；6．（2022秋·内蒙古通辽·八年级统考期中）计算(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；7．（2022秋·贵州遵义·八年级校考期中）计算：(1)SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0(3)先化简，再求值：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(4)已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．类型四、同底数幂新定义【解惑】（2023春·七年级课时练习）如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．(1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____，d（10-2）=______；(2)“劳格数”有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（SKIPIF1<0）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：SKIPIF1<0=________．（a为正数）(3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）．【融会贯通】1．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）定义运算：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____．2．（2023春·七年级课时练习）定义：如果一个数的平方等于SKIPIF1<0，记为SKIPIF1<0，那么这个数SKIPIF1<0叫做虚数单位，把形如SKIPIF1<0（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，SKIPIF1<0叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：SKIPIF1<0．根据以上信息，下列各式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0．其中正确的是______（填上所有正确答案的序号）．3．（2023春·七年级课时练习）阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)，那么SKIPIF1<0叫做以SKIPIF1<0为底SKIPIF1<0的对数，记作SKIPIF1<0，比如指数式SKIPIF1<0可以转化为对数式SKIPIF1<0，对数式SKIPIF1<0，可以转化为指数式SKIPIF1<0．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，理由如下：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由对数的定义得SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．请解决以下问题：(1)将指数式SKIPIF1<0转化为对数式_______；(2)求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；(3)拓展运用：计算SKIPIF1<0______．4．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）规定两数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的一种运算，记作SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0．我们叫SKIPIF1<0为“雅对”．例如：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．我们还可以利用“雅对”定义说明等式SKIPIF1<0成立．证明如下：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．(1)根据上述规定，填空：SKIPIF1<0_________；SKIPIF1<0_________；SKIPIF1<0_________．(2)计算SKIPIF1<0___________，并说明理由．(3)利用“雅对”定义证明：SKIPIF1<0，对于任意自然数SKIPIF1<0都成立．5．（2022秋·广东东莞·八年级东莞市东莞中学初中部校考期中）我们给出以下两个定义：①三角形；②3×3的方格图请你根据上面两个定义，解答下列问题：(1)填空：=__________(2)填空：=____________(3)若，求6．（2023春·七年级单元测试）数学活动在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作SKIPIF1<0．运算法则如下：SKIPIF1<0．解决问题根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：(1)填空：SKIPIF1<0___________，SKIPIF1<0___________；(2)如果SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值；(3)如果SKIPIF1<0，请直接写出SKIPIF1<0的值．类型五、同底数幂比较大小【解惑】（2022秋·四川达州·八年级校考期中）由幂的运算法则逆向思维可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果．请解决以下问题：(1)计算：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求m的值；(3)比较大小：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请确定a，b，c，d的大小关系．【融会贯通】1．（2023春·江苏·七年级校考周测）比较大小：SKIPIF1<0___________SKIPIF1<0（填“＜”或“>”或“=”）2．（2022春·山西晋城·八年级统考期末）比较大小：SKIPIF1<0________SKIPIF1<0．（填“SKIPIF1<0”“SKIPIF1<0”或“SKIPIF1<0”）3．（2023春·七年级课时练习）阅读：已知正整数SKIPIF1<0显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则有SKIPIF1<0，根据上述材料，回答下列问题．(1)比较大小：520420（填写＞、＜或＝）．(2)比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小（写出具体过程）．(3)已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．4．（2023春·湖南常德·七年级校考阶段练习）在比较SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小时，我们可以这样来处理：∵SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．你能类似地比较下列各组数的大小吗？(1)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0．5．（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当同底数相同时，指数越大值越大；②比较SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．可以将其先化为同指数，再比较大小，SKIPIF1<0指数相同时，底数越大值越大；根据上述材料，回答下列问题．(1)比较大小SKIPIF1<0____________SKIPIF1<0（填写>、<或=）；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试比较SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小．6．（2023春·七年级课时练习）阅读下面的材料：材料一：比较SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小解：因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0」小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，材料二：比较SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小．解：因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小解决下列问题：(1)比较SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小：(2)比较SKIPIF1<0的大小：(3)比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小．类型六、同底数幂归纳推理【解惑】（2023春·七年级课时练习）（1）填空SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明理由．（3）计算SKIPIF1<0；【融会贯通】1．（2023春·七年级课时练习）阅读材料：根据乘方的意义可得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．通过观察上面的计算过程，完成以下问题：(1)计算：SKIPIF1<0＝______；(2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）SKIPIF1<0＝；(3)用（2）的规律计算：SKIPIF1<02．（2023春·七年级课时练习）（1）填空：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立．（3）计算SKIPIF1<03．（2023春·七年级课时练习）阅读材料：SKIPIF1<0的末尾数字是3，SKIPIF1<0的末尾数字是9，SKIPIF1<0的末尾数字是7，SKIPIF1<0的末尾数字是1，SKIPIF1<0的末尾数字是3，......，观察规律，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的末尾数字是1，∴SKIPIF1<0的末尾数字是1，∴SKIPIF1<0