3.5 多维随机变量函数的分布

概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第三章多维随机变量及其分布第五节多维随机变量函数的分布二、多维连续随机变量函数的分布一、多维离散随机变量函数的分布三、小结一、多维离散随机变量函数的分布设(X,Y)是二维离散随机变量，其联合分布律为定理1：则Z=g(X,Y)也是离散随机变量，且Z的分布律为其中

g(x,y)是二元初等函数.注：以上定理的结论可以推广至多维随机变量的情形，同学们可尝试给出相应的形式．设X和Y是两个相互独立的、取值为非负整数值的离散随机变量，其中X的概率分布律为由题意，Z=X+Y也是取值非负的离散随机变量，利用独立性可得例1：Y的概率分布律为求Z=X+Y

的概率分布律.解：设有二项随机变量，且X与Y

相互独立，则称此公式为“离散卷积公式”.其中

n=0,1,2,...即练习：二项随机变量的“再生性”---由相互独立的二项随机变量求和可得新的二项随机变量.若Z1,Z2,…,Zm是相互独立的0-1随机变量，即Zi

~B(1,p)，i=1,2,…,n，则有注：若Xi

~B(ni,p)，i=1,2,…,m，且X1,X2,…,Xm相互独立，则有特别地，二、多维连续随机变量函数的分布设(X,Y)是二维连续随机变量，其联合概率密定理2：分布函数为其中

g(x,y)是二元初等函数.注：当Z=g(X,Y)为连续随机变量时，Z的密度函数为度函数为f(x,y)，则Z=g(X,Y)也是随机变量，且Z的利用分布函数法，可以计算两个连续随机变量之和、差、积、商的密度函数．设(X,Y)是二维连续随机变量，其联合概率密定理3：度函数为f(x,y)，则Z=X+Y

的概率密度函数fZ(z)为U=X-Y

的概率密度函数fU(u)为V=XY

的概率密度函数fV(v)为当X与Y相互独立时，其联合概率密度函数为f(x,y)=

fX(x)fY(y).此时，Z=X+Y的密度函数为W=X/Y

的概率密度函数fW(w)为称此公式为“连续卷积公式”，记为注：由题意，X与Y的概率密度函数分别为例2：证明：设

且X与Y相互独立，证明：令Z=X+Y，则当X与Y相互独立时，由卷积公式得经计算，上式中被积函数的指数部分可化为其中，则有，再令u=Ax-B，并利用，则上式可化为即注：由上例可见，两个相互独立的正态随机变量之和仍为正态随机变量，其参数是有关的参数相加．这说明正态分布也具有“再生性”，此结论可推广至多个正态随机变量的情形．接下来，不作证明，给出四条在数理统计中经常遇到的n维正态分布的重要性质：说明：（1）若X1,X2,…,Xn都是正态随机变量，且相互独立，则(X1,X2,…,Xn)是n维正态随机变量；反之，n维正态随机变量(X1,X2,…,Xn)的每一个分量Xi

(i=1,2,…,n)都是正态随机变量.（2）n维随机变量(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布的充要条件是X1,X2,…,Xn的任意线性组合服从一维正态分布.接下来，不作证明，给出四条在数理统计中经常遇到的n维正态分布的重要性质：说明：（3）若(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布，设Y1,Y2,…,Ym都是Xi

(i=1,2,…,n)的线性组合，则(Y1,Y2,…,Ym)服从m维正态分布（正态分布的线性变换不变性）.（4）

设(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布，则“X1,X2,…,Xn相互独立”与“X1,X2,…,Xn两两不相关”是等价的.在概率统计中，也经常需要求多个随机变量的最大值和最小值的分布．设X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量，其分定理4：则Xmax与Xmin也是随机变量，它们的分布函数分别为布函数分别为.令由分布函数定义及独立性，先求Xmax分布函数证明：再求Xmin的分布函数，

(1)如果X1,X2,…,Xn是独立同分布的随机变量，记它们的分布函数为F

(x)

，则有(2)如果X1,X2,…,Xn是独立同分布的连续随机变量，记它们的概率密度函数为f

(x)

，则有注：设X1,X2,…,Xn相互独立，且均服从指数分布，参数分别为

，证明：仍服从指数分布．例3：证明：由定理4，Xmin的分布函数为设X1,X2,…,Xn相互独立，且均服从指数分布，参数分别为