南京理工大学概率与统计(A)期末试卷及答案汇编

南京理工大学概率与统计(A)期末试卷及答案汇编期末考试必备南京理工大学课程考试试卷(学生考试用)课程名称：概率与统计(A)学分：3教学大纲编号：11022601试卷编号：考试方式：闭卷满分分值：100考试时间：120分钟组卷日期：2015年5月28日组卷教师(签字)：审定人(签字)：5.（15分）设总体的概率密度函数为其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，样本均值记为。求参数的矩估计量；判断是否是的无偏估计量，并说明理由。6.（15分）设单位有200台分机，每台使用外线通话的概率为15%，若每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位至少需要装多少条外线，才能以95%的概率保证每台分机能随时接通外线电话。7．（15分）已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试验件做横纹抗压力的实验数据如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,496（单位：公斤/平方厘米），（1）试以95%的置信度估计该木材的横纹抗压力的置信区间；(2)设，在显著性水平为0.05的条件下是否可以认为平均横纹抗压力为445？，，，，，1.（15分）某人从南京到北京出差，他乘火车，汽车，飞机的概率分别是0.5,0.3,0.2,如果乘火车去正点到达的概率是0.95，乘汽车去正点的概率是0.9，乘飞机去肯定正点到达，则：（1）求他正点到达北京的概率；（2）如果他正点到北京，乘火车去的概率是多少？2.（10分）设为标准正态分布的概率密度函数，为上的均匀分布的概率密度函数，若为概率密度函数，求应该满足的等价条件。3.（15分）设随机变量的概率密度函数为，令，是随机变量的分布函数。求;（2）求的协方差；（3）求4.（15分）随机变量的概率密度为求：(1);(2)判断X与Y是否相互独立？并说明理由南京理工大学课程考试试卷答案(学生考试用)课程名称：概率与统计(A)答案学分：3教学大纲编号：11022601试卷编号：考试方式：闭卷满分分值：100考试时间：120分钟组卷日期：2015年5月28日组卷教师(签字)：审定人(签字)：………………….3分（2）………………….2分…………………3分所以………………….1分（3）……………….2分…………….2分4.（15分）随机变量的概率密度为求：(1);(2)判断X与Y是否相互独立？并说明理由解（1）…………….3分…………….3分（2）当时，当时或时，，故……………….3分当；当，时……………….3分因为，所以X与Y不独立。……….3分6.（15分）设单位有200台分机，每台使用外线通话的概率为15%，若每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位至少需要装多少条外线，才能以95%的概率保证每台分机能随时接通外线电话。解：设表示在时刻t使用的外线数，则…………….3分此时有…………….3分设表示安装的外线数，则分机数应该满足，由中心极限定理得…………….3分查表得，…………….3分即：所以可取N=39,可以有95%的把握保证分机可以使用外线。…………….3分7．（15分）已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试验件做横纹抗压力的实验数据如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,496（单位：公斤/平方厘米），（1）试以95%的置信度估计该木材的横纹抗压力的置信区间；(2)设，在显著性水平为0.05的条件下是否可以认为平均横纹抗压力为445？解（1）样本均值标准差查表……………….2分95%的平均横纹抗压力……3分即，…….1分故置信区间为（433.6042,486.7958）…….1分（2）……2分检验的拒绝域为，……2分由题意，…….2分可以认为平均横纹抗压力为445…….2分1.（15分）某人从南京到北京出差，他乘火车，汽车，飞机的概率分别是0.5,0.3,0.2,如果乘火车去正点到达的概率是0.95，乘汽车去正点的概率是0.9，乘飞机去肯定正点到达，则：（1）求他正点到达北京的概率；（2）如果他正点到北京，乘火车去的概率是多少？解：（1）设分别表示该人乘火车，乘汽车，和乘飞机，表示他正点到达北京。…………….2分…………….3分（2）…………….2分…………….3分2.（10分）设为标准正态分布的概率密度函数，为上的均匀分布的概率密度函数，若为概率密度函数，求应该满足的等价条件。解：（1）为概率密度函数，应该满足非负性，所以….3分（2），….3分概率密度应该满足归一性….…………2分所以有：1=………………….2分即3.（15分）设随机变量的概率密度函数为，令，是随机变量的分布函数。求;（2）求的协方差；（3）求解：（1）…………….2分5.（15分）设总体的概率密度函数为其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，样本均值记为。求参数的矩估计量；判断是否是的无偏估计量，并说明理由。解：（1）总体期望：…………….3分……….3分令=，解得。………….2分参数的矩估计量。（2）……………….2分……….2分因为……………….2分所以，不是的无偏估计量…………….1分南京理工大学课程考试试卷(学生考试用)课程名称：概率与统计(B)学分：3教学大纲编号：11022601试卷编号：考试方式：闭卷满分分值：100考试时间：120分钟组卷日期：2015年5月28日组卷教师(签字)：审定人(签字)：6.（15分）某电视节目的收视率在M市的收视率为0.15，在一次收视的调查中，从该市居民中随机抽取5000户，并以收视频率作为收视率，试求两者之差小于0.01的概率。7.（15分）某校进行教学改革，设一学科学生成绩服从正态分布，均未知，现抽测19人的成绩如下：70,80,67,86,61,96,92,87,62,51,81,99,76,86,93,79,81,62,47问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70？()，，，，，，，，（10分）有两批相同的产品，第一批12件，第二批10件，在每批中各有一件次品，任意从第一件中抽取一件混入第二批中，然后，再从第二批中抽取一件产品。（1）求第二件产品中抽取次品的概率；（2）若从第二批产品中抽取的是次品，求从第一批中也抽到的是次品的概率。（15分）设随机变量的概率密度（1）求的分布函数；（2）求3.（15分）设随机变量的概率密度为已知，，求（1）的值；（2）4.（15分）设随机变量与独立同分布，且的概率分布为X12P1/32/3记求的分布律；求与的协方差5.（15分）总体X的分布函数为，其中未知参数为，为来自总体的简单随机样本。求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。南京理工大学课程考试试卷答案(学生考试用)课程名称：概率与统计(B)答案学分：3教学大纲编号：11022601试卷编号：考试方式：闭卷满分分值：100考试时间：120分钟组卷日期：2015年5月28日组卷教师(签字)：审定人(签字)：（3）…4分3.（15分）设随机变量的概率密度为已知，，求（1）的值；（2）解：（1）…2分…2分…4分…4分解以上的方程组得（2）…3分4.（15分）设随机变量与独立同分布，且的概率分布为X12P1/32/3记求的分布律；求与的协方差解：与的联合分布为UV1211/901/924/94/98/95/94/96.（15分）某电视节目的收视率在M市的收视率为0.15，在一次收视的调查中，从该市居民中随机抽取5000户，并以收视频率作为收视率，试求两者之差小于0.01的概率。解设为5000户中收看该节目的户数，则，………………4分由中心极限定理，从而………………4分………………4分==0.9523………………3分7.（15分）某校进行教学改革，设一学科学生成绩服从正态分布，均未知，现抽测19人的成绩如下：70,80,67,86,61,96,92,87,62,51,81,99,76,86,93,79,81,62,47问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70？解：检验………………4分统计量………………4分由题意：从而………………4分故拒绝，认为平均成绩大于对照组的平均成绩70.………………3分（10分）有两批相同的产品，第一批12件，第二批10件，在每批中各有一件次品，任意从第一件中抽取一件混入第二批中，然后，再从第二批中抽取一件产品。求第二件产品中抽取次品的概率；若从第二批产品中抽取的是次品，求从第一批中也抽到的是次品的概率。解：设分别表示任第一批产品和第二批产品中抽到次品，则（1）…3分…2分（2）…3分…2分（15分）设随机变量的概率密度确定常数；（2）求的分布函数；（3）求解：（1）由归一性，，则：…3分（2）…5分所以…3分…每空1分的概率分布律为Z=UV124P1/94/94/9,…7分所以5.（15分）总体X的分布函数为，其中未知参数为，为来自总体的简单随机样本。求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。解：（1）首先可以求出X的概率密度为，…2分…3分令，解得，所以参数的矩估计为…2分（2）似然函数为…2分…2分两边对求导，得出…2分…2分得参数的极大似然估计，从而参数的极大似然估计为南京理工大学课程考试标准答案课程名称：概率与统计（A）学分：3教学大纲编号：试卷编号：A卷考试方式：笔试，闭卷满分分值：100考试时间：120分钟1、（15分）老板有一个不很负责的秘书.当要秘书通知张经理5h后见面时，秘书马上办理，但是只用某种方式通知一次.设秘书用传真通知的概率是0.3，用短信通知的概率是0.2，用电子邮件通知的概率是0.5，而张经理在5h内能收到传真的概率是0.8，能看到短信的概率是0.9，能看到电子邮件的概率是0.4.(1)计算张经理收到通知的概率；(2)如果收到通知的张经理也有5%的概率不能前来见老板，计算老板不能按时见到张经理的概率.解设A表示张经理收到通知，A1表示秘书用传真通知，A2表示用短信通知，A3表示用电子邮件通知；B表示老板不能按时见到张经理。……（3分）（1）由全概率公式可得……（6分）（2）由全概率公式可知……（6分）注：基本题，考察全概率公式。2、（15分））设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布，其概率密度为，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，她就离开.她一个月要到银行5次.以Y表示一个月内她未等到服务而离开窗口的次数.写出Y的分布律，并求.解该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为……（3分）因此，即……（6分）……（6分）注：基础题，考察重要分布和分布函数求解。3、（15分）设随机变量(X,Y)具有密度函数，求（1）求X与Y的相关系数；（2）问X与Y是否不相关；（3）X与Y是否独立，为什么？解(1)……（3分）所以.……（3分）(2)X与Y不相关；……（2分）(3)X的边缘概率密度为……（3分）Y的边缘概率密度为……（3分）由此可见所以X与Y不独立.……（1分）注：综合题，考察随机变量函数的数字特征与独立性。4、（15分）设随机变量X的概率密度为，令随机变量(1)求Y的分布函数；(2)求概率解(1)由题设条件知,.记Y的分布函数为，则当时，……（3分）当时，……（4分）当时，……（3分）所以Y的分布函数为(2)……（5分）注：提高题，考察随机变量函数的分布。5、（10分）一位职工每天乘公交车上班.如果每天用于等车的时间服从均值为5min的指数分布，估算他在303个工作日中用于上班的等车时间之和大于24h的概率.解设表第i个工作日用于等车的时间(单位：分钟)，由题意知，且相互独立同分布，……(2分)……(2分)由独立同分布的中心极限定理可得……(6分)注：基本题，考察中心极限定理。6、（15分）设总体X的概率分布为X0123P其中(0<<0.5)未知,利用总体X的如下样本观察值:3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估计值与极大似然估计值.解，……(3分)令即，解得的矩估计值为.……(4分)对于给定的样本值，似然函数为……(2分)……(1分)……(2分)令解得……(2分)因不合题意，则的最大似然估计值为.……(1分)注：提高题，考察矩估计与极大似然估计.7、(15分)某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620(kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为:10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否与过去生产的合金线抗拉强度有明显不同?解：，：……(3分)检验统计量为，的拒绝域为……(3分)计算得，，……(3分)对自由度-1=9，查t-分布表，得因为……(3分)所以接受H0，新生产与过去生产的抗拉强度无明显不同.……(3分)注：基本题，考察假设检验的基本内容。南京理工大学课程考试标准答案课程名称：概率与统计（B）学分：3教学大纲编号：试卷编号：B卷考试方式：笔试，闭卷满分分值：100考试时间：120分钟1、（10分）有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，(1)问此球是红球的概率？(2)若从乙袋中取到一个红球,则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少?解设A——从甲袋放入乙袋的是白球；B——从乙袋中任取一球是红球；……（2分）（1）由全概率公式可得……（4分）（2）由贝叶斯公式可知……（4分）注：基本题，考察全概率公式和贝叶斯公式。2、（15分）设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有的二次方程为求有实根的概率.解（1）X的概率密度为……（2分）Y的概率密度为且知X,Y相互独立，于是（X，Y）的联合密度为……（4分）（2）由于a有实根，从而判别式……（3分）即：记……（6分）注：基础题，考察重要分布和联合概率密度。3、(10)随机变量X与Y的联合概率密度为，(1)求(2)判断X与Y是否独立.解(1);……（6分）(2)X的边缘概率密度为……（2分）Y的边缘概率密度为由此可见所以X与Y不独立.……（2分）注：基础题，考察二维随机变量的概率求解与独立性。4、（15分）设总体X的概率密度为，其中为未知参数且大于零.为来自总体X的简单随机样本.求的矩估计量；求的最大似然估计量.解(1).……（3分）所以的矩估计量为.……（3分）(2)设为样本观测值，似然函数为……（3分）当时，.……（3分）令，得的最大似然估计值为……（3分）注：提高题，考察矩估计与极大似然估计.5、15分)已知(X,Y)的概率密度为(1)求X与Y的相关系数；(2)试判断X与Y的独立性.解(1),……（3分）所以……（2分），……（2分）所以……（3分）故.……（2分）(2)因为，所以X与Y不独立.……（3分）6、（10分）某学校学生上课的出勤率是97%，全校有5000名学生上课时，求出勤人数少于4880的概率.解令由题意知，且相互独立同分布，……(2分)……(2分)由独立同分布的中心极限定理可得……(6分)注：基本题，考察中心极限定理。7、（15分）设是来自指数分布总体：的样本，求参数的极大似然估计；求参数的极大似然估计;若有X的观察值：0.1,2.9,1,1.4,0.23，求参数的极大似然估计值.解(1)设是的样本观察值，那么样本的似然函数为，就有，……(3分)于是，似然方程为.……(3分)从而，可得，所以.……(3分)(2),……(2分)则.……(2分)若有X的观察值：0.1,2.9,1,1.4,0.23，则参数的极大似然估计值为，参数的极大似然估计值为.……(2分)注：提高题，考察极大似然估计.8、（10分）用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度,重复测量7次，测得温度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某种精确办法测得温度为112.6(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差(设温度测量值X服从正态分布,取a=0.05)?解：，：……(2分)检验统计量为，的拒绝域为……(2分)计算得，，……(2分)对自由度-1=6，查t-分布表，得因为……(2分)所以接受，热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差……(2分)注：基本题，考察假设检验的基本内容。南京理工大学课程考试试卷(学生考试用)课程名称：概率与统计(B)学分：3教学大纲编号：试卷编号：考试方式：笔试，闭卷满分分值：100考试时间：120分钟组卷日期：2014年5月组卷教师(签字)：审定人(签字)：7、（15分）设是来自指数分布总体：的样本，求参数的极大似然估计；求参数的极大似然估计;若有X的观察值：0.1,2.9,1,1.4,0.23，求参数的极大似然估计值.8、（10分）用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度,重复测量7次，测得温度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某种精确办法测得温度为112.6(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差(设温度测量值X服从正态分布,取a=0.05)?附表：假设检验统计量拒绝域Z检验t检验检验1、（10分）有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，(1)问此球是红球的概率？(2)若从乙袋中取到一个红球,则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少?2、（15分）设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有的二次方程为求有实根的概率.3、(10)随机变量X与Y的联合概率密度为求(2)判断X与Y是否独立.4、（15分）设总体X的概率密度为，其中为未知参数且大于零.为来自总体X的简单随机样本.求的矩估计量；求的最大似然估计量.5、(15分)已知(X,Y)的概率密度为(1)求X与Y的相关系数；(2)试判断X与Y的独立性.6、（10分）某学校学生上课的出勤率是97%，全校有5000名学生上课时，求出勤人数少于4880的概率.第1页共1页第页共页考试方式：笔试，闭卷；平时成绩20%，闭卷考试80%。平时成绩由平时作业，课堂提问，平时成绩评定标准为：按时完成作业得12分，课堂抢答和网上抢答，作对一次加2分，每缺一次作业或旷课扣2分。（最高20分，最低0分）（1）试题分析本次考试试卷包括7个大题，覆盖了教学大纲的主要内容，主要考察学生对基本概念的掌握程度，适当兼顾灵活运用知识解决问题的能力。考试主要内容及相应试题如下：第1题：概率论基本概念，包括事件的关系,全概率公式，Bayes公式等知识点；第2题：一维随机变量及其分布，包括均匀分布，正态分布，一维连续型随机变量概率密度与分布函数的概念和性质等知识点；第3题：随机变量的数字特征：包括期望，方差，相关系数等概念；随机变量的关系:包括相关性和独立性.第4题：随机变量函数的分布；第5题：中心极限定理的应用；第6题：参数估计：包括矩估计与极大似然估计；第7题：假设检验，包括正态总体均值的检验。试卷结构如下：第1题为基本题，考核独立性，全概率公式和贝叶斯公式的应用，这道题90%以上学生作得很好。第2题为为基本题，考核一维连续型随机变量概率密度与分布函数的概念和性质。第3题为综合题，考察随机变量函数的数字特征与独立性。这道题大部分学生做得很好。第4题为为提高题，考察随机变量函数的分布。第5题为基本题，考核中心极限定理，其中要用到期望、方差等内容的应用，部分学生对概念还算清楚，很小一部分同学有计算错误。第6题为提高题，考察矩估计以及极大似然估计。第7题为基本题，考察T检验;大部分学生作得很好。（2）试卷分析本次考试内容包括事件的关系，独立性，全概率公式，二项分布，一维随机变量及其分布，包括二项分布，正态分布，一维连续型随机变量概率密度与分布函数的概念和性质，二维连续型随机变量概率密度的概念及基本性质，数字特征，中心极限定理的应用，参数估计，假设检验等知识点。卷面内容涉及面宽，可以讲基本涉及每一章要求重点掌握的内容。主要考察学生对基本概念的掌握程度，适当兼顾灵活运用知识解决问题的能力。从题目内容和难易程度看，各部分内容基本均等；其中基本题占60%，综合题占15%，提高题占25%。题型全是计算题。题型结构合理，难度适中。从学生总体得分情况来看，90-100分占%，80-89分占%，70-79分占%， 60-69分占%，不及格率为%。表明学生对知识掌握情况良好。南京理工大学课程考试试卷(学生考试用)课程名称：概率与统计(A)学分：3教学大纲编号：试卷编号：考试方式：笔试，闭卷满分分值：100考试时间：120分钟组卷日期：2013年12月31日组卷教师(签字)：审定人(签字)：5、（15分）已知二维随机变量，且，记 ，求与的相关系数。6、（10分）在次品率为的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用德莫佛一拉普照拉斯定理近似计算抽取的产品中次品数在40与60之间的概率。（注：＝0.939）7、（15分）设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中参数已知，但未知且,设,求的概率密度；设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量；证明为的无偏估计量。8、（10分）某厂生产一种金箔，根据长期正常生产积累的资料知道金箔厚度服从正态分布，厚度的数学期望为0.13毫米。采用技术革新后，为检查新技术的实际效果，某日的产品中，随机抽查10片，算得样本观察值的均值为0.146毫米，样本标准差为0.015毫米，如果假设技术革新前后产品厚度的方差不变，问技术革新后生产的金箔厚度与技术革新前是否有显著差异（显著水平α=0.05）？附表：假设检验统计量拒绝域Z检验t检验检验1、（10分）试卷中有一道选择题,共有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的.任一考生如果会解这道题,则一定能选出正确答案；如果他不会解这道题,则任选一个答案。设考生会解这道题的概率是0.8,求：(1)考生选出正确答案的概率；(2)已知某考生所选答案是正确的,则他确实会解这道题的概率。2、（15分）设连续型随机变量X的密度函数为，其中常数，为标准正态分布的概率密度函数为上均匀分布的概率密度函数，以表示标准正态分布的分布函数，求（1）常数；（2）随机变量X的分布函数；（3）.（注：）3、（10分）设随机变量X的概率密度为求的概率密度函数。4、（15分）设二维连续型随机变量（）的概率密度函数为求（1）常数；（2）随机变量X，Y的边缘概率密度函数，；（3）第1页共1页第页共页南京理工大学课程考试标准答案课程名称：概率与统计学分：3教学大纲编号：试卷编号：A卷考试方式：笔试，闭卷满分分值：100考试时间：120分钟1、（10分）试卷中有一道选择题,共有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的.任一考生如果会解这道题,则一定能选出正确答案；如果他不会解这道题,则不妨任选一个答案.设考生会解这道题的概率是0.8,求：(1)考生选出正确答案的概率；(2)已知某考生所选答案是正确的,则他确实会解这道题的概率.解设A表示考生会做此题，B表示考生选出正确答案。（1）由全概率公式可得……（5分）（2）由贝叶斯公式可知……（5分）注：基本题，考察全概率公式和贝叶斯公式。2、（15分）设连续型随机变量X的密度函数为，其中常数，为标准正态分布的概率密度函数为上均匀分布的概率密度函数，以表示标准正态分布的分布函数，求（1）；（2）X的分布函数；（3）解（1）……（2分）（2）注意到，……（2分）（3）注：综合题，考察重要分布和分布函数求解。3、（10分）设随机变量X的概率密度为令，求的概率密度函数。解在上严格单调递减，且，，……（3分）于是注：基本题，考察随机变量函数的分布。4、（15分）设随机变量（）的概率密度为试求（1）；（2），，（3）解（1），；……（3分）（2）……（5分）……（5分）（3）……（2分）注：基本题，考察边缘分布求解及其联合密度函数性质。5、（15分）设二维随机变量有：，记 ，求与的相关系数。解因为所以……（2分）所以……（2分）……（3分）……（3分）……（3分）因此，……（2分）注：基本题，考察随机变量数字特征的性质。6、（10分）在次品率为的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用德莫佛一拉普照拉斯定理近似计算抽取的产品中次品数在40与60之间的概率。（＝0.939）解设为抽取产品中的次品数，由题知由德莫佛一拉普照拉斯定理得注：基本题，考察中心极限定理。7、（15分）设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且,设,求的概率密度；设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量；证明为的无偏估计量。解（1）因为，且与相互独立，故，……（1分）所以，的概率密度为……（1分）（2）似然函数……（2分）……（2分）……（2分）解得最大似然估计值为，……（2分）最大似然估计量为……（2分）（3）…………（3分）故为的无偏估计量。注：提高题，考察正态分布性质和点估计的方法及其评价标准。8、（10分）某厂生产一种金箔，根据长期正常生产积累的资料知道金箔厚度服从正态分布，厚度的数学期望为0.13毫米。采用技术革新后，为检查新技术的实际效果，某日的产品中，随机抽查10片，算得样本观察值的均值为0.146毫米，样本标准差为0.015毫米，如果假设技术革新前后产品厚度的方差不变，问技术革新后生产的金箔厚度与技术革新前是否有显著差异（显著水平α=0.05）？解：，：……2分检验统计量为，的拒绝域为……2分计算得，，……2分对自由度-1=9，查t-分布表，得因为……2分所以拒绝H0，即可以认为该日生产的金箔厚度的数学期望与往日有显著差别。……2分注：基本题，考察假设检验的基本内容。南京理工大学课程考试试卷(学生考试用)课程名称：概率与统计(B)学分：3教学大纲编号：试卷编号：考试方式：笔试，闭卷满分分值：100考试时间：120分钟组卷日期：2013年12月31日组卷教师(签字)：审定人(签字)：七.（15分）设总体X的密度函数为其中未知参数为来自总体X的简单随机样本，求：（1）的矩估计量；（=2\*ROMAN2）的最大似然估计量.八.（15分）某玻璃纤维厂长期正常生产积累的资料表明，所生产的纤维强度服从正态分布，它的方差为。某日随机抽取5根纤维，测得其强度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44。问该日所生产得纤维强度的均方差是否有明显变化（取显著水平α=0.1）？附表：假设检验统计量拒绝域Z检验t检验检验=0.050.10.95(5)11.0719.2361.145(4)9.4887.7790.7112.01501.4759—2.01502.13181.5332—2.1318，，一.(10分)根据以往的临床记录，知道乙肝患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95，非乙肝患者对该试验呈阳性反应的概率为0.01，一个来自普通人群的被试者患有乙肝的概率为0.005，若已知此人试验结果呈阳性，求此人真正患有乙肝的概率。二.(10分)设随机变量X的概率密度为现对X进行n次独立重复观测，以Y表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量Y的概率分布列。三.（10分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求X的概率密度（2）四、（15分）若，求的概率密度。五．（15分）设A,B为随机事件，且，令求：（1）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（2）X和Y的相关系数六.（10分）一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，设排版与校对是两个独立的工序，求在校对后错误不多于15个的概率。第1页共1页南京理工大学课程考试答案及评分标准课程名称：概率与统计学分：3教学大纲编号：试卷编号：B卷考试方式：笔试，闭卷满分分值：100组卷日期：2013年12月31日一.（10分）解：设A={试验反应为阳性}，B={被试者患有乙肝}，则由已知条件可知……3分要求的是，由贝叶斯公式可得……2分……5分注：基本题，考察贝叶斯公式。二.(10分)解：……4分由题意知，，即……3分……3分注：基本题，考察连续型随机变量概率的计算以及二项分布。三.（10分）解：（1）……5分（2）……5分注：基本题，考察边缘密度和多维随机变量概率的计算。四．（15分）解的概率密度为先求的分布函数，当时，是不可能事件，因而………2分当时，………3分当时，故………3分对关于求导，得的概率密度为………2分五、解：（1）……（每项1分）于是……（每项1分）（2）……（每项1分）于是……（每项1分）……（每项2分）注：综合题，考察联合分布列的求解及其数字特征。六.（10分）解：令……2分因为排版与校对是两个独立的工序，因而……2分是独立同分布随机变量序列，，令，……2分其中，由中心极限定理有……2分其中，查分布表即可得，即在校对后错误不多于15个的概率。……2分注：综合题，考察中心极限定理。七.（15分）解：X的密度函数为（1），……3分所以的矩估计量为；……2分（2）设样本观察值为，那么似然函数为……3分对数似然函数为……3分于是由……2分得到的最大似然估计量为。……2分注：基本题，考察矩估计和极大似然估计。八．（15分）解：：，：……3分检验统计量为，的拒绝域为:……3分计算得，，……3分对，自由度n-1=4，查分布表，得……3分因为，所以拒绝H0，即可以认为该日的均方差与往常有显著差异。……3分注：基本题，考察检验。南京理工大学课程考试试卷(学生考试用)课程名称：概率与统计学分：3教学大纲编号：11022601试卷编号：考试方式：笔试，闭卷满分分值：80考试时间：120分钟组卷日期：2013年6月15日组卷教师(签字)：审定人(签字)：附表I：x0.5791.01.6451.7371.962.02.332.572.75(x)0.71900.84130.950.95910.9750.97720.990.99490.997附表2:P{t(n)>t(n)}=n56891214=0.0252.57062.44692.30602.26222.17882.1448=0.052.01501.94321.85951.83311.78231.7613附表2：已知条件检验统计量原假设为真时检验统计量的分布拒绝域已知未知未知1.(10分)数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。求（1）接收端收到1的概率是多少？（2）若接收端收到信号1，则发端发1的概率是多少？2.(10分)某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车服从参数为5t的泊松分布，求T的概率密度。3.(10分)设是取自总体的样本，设，求（1）X服从的分布；（2）的分布4.(10)设二维随机变量（X,Y）的密度函数为求(1)常数c；(2)（X,Y）关于X,Y的边缘概率密度；(3).5.(15分)已知随机变量的方差分别为16和36，相关系数为0.5，求：与的方差、协方差及的协方差矩阵.6.（15）设是取自正态总体的样本，其中已知，为待估参数，求（1）的极大似然估计量；（2）该估计量是否具有无偏性？（3）的极大似然估计.7.(10分)(10分)2012年南京市某区住宅均价为1.11万元/平米，2013年抽取该区9个住宅样本的价格（单位：万元/平米）分别为1.098，1.245，1.089，1.334，1.311，1.253，1.29，1.166,1.303，假设该区住宅价格服从正态分布，问该区2013年住宅价格是否与2012年住宅价格有显著差异？（α=0.1）第1页共1页南京理工大学课程考试答案及评分标准课程号-课序号：11022601课程名称：概率与统计A学分：3考试方式：笔试,闭卷满分分值：80考试时间：120分钟1.(10分)数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。求（1）接收端收到1的概率是多少？（2）若接收端收到信号1，则发端发1的概率是多少？1.解：设A—发射端发射1，B—接收端接收到一个“1”的信号．（1）-------（5分）（2）-------（5分）注：基本题，考察全概率公式与贝叶斯公式.2.(10分)某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车服从参数为5t的泊松分布，求T的概率密度.2.解：当时，-------（2分）当时，-------（5分）于是-------（3分）注：综合题，考察连续型随机变量的概率密度.3.(10分)设是取自总体的样本，设，求（1）X服从的分布；（2）的分布.3.解：（1）由于是取自总体的样本，所以服从分布，且相互独立，于是有二项分布的定义知------（5分）（2）由于，所以Y的可能取值为-------（5分）注：基本题，考察离散型随机变量函数的分布.4.(10)设二维随机变量（X,Y）的密度函数为求(1)常数c；(2)（X,Y）关于X,Y的边缘概率密度；(3).4.解：（1）由归一性，c=1-------（2分）（2）X的边缘概率密度为Y的边缘概率密度为-------（4分）（3）。-------（4分）注：（1）（2）为基本题，考察二维连续型随机变量的归一性与边缘分布，（3）为提高题，考察相关事件概率.5.(15分)已知随机变量的方差分别为16和36，相关系数为0.5，求：与的方差、协方差及的协方差矩阵.5.解：-------（3分）-------（3分）-------（3分）-------（3分）的协方差矩阵为-------（3分）注：基本题，考察随机变量函数的方差以及相互之间的协方差.6.（15）设是取自正态总体的样本，其中已知，为待估参数，求（1）的极大似然估计量；（2）；（3）的极大似然估计.6.解：（1）数则-----（4分）令得的极大似然估计为-------（5分）（2），具有无偏性----（3分）（3）由不变原则，的极大似然估计为-----（3分）注：基本题，考察极大似然估计与其期望以及不变原则.7.(10分)2012年南京市某区住宅均价为1.11万元/平米，2013年抽取该区9个住宅样本的价格（单位：万元/平米）分别为1.098，1.245，1.089，1.334，1.311，1.253，1.29，1.166,1.303，假设该区住宅价格服从正态分布，问该区2013年住宅价格是否与2012年住宅价格有显著差异？（α=0.1）7.解：：，：）-------（2分）检验统计量为，的拒绝域为-------（2分）计算得，，------（3分）对=0.1查得.因为，所以拒绝H0即可以认为南京市2013年住宅价格与2012年住宅价格有显著差异----（3分）注：基本题，考察正态总体均值的t检验。南京理工大学课程考试试卷(学生考试用)课程名称：概率与统计学分：3教学大纲编号：11022601试卷编号：考试方式：笔试，闭卷满分分值：80考试时间：120分钟组卷日期：2013年6月15日组卷教师(签字)：审定人(签字)：附表I：x0.5791.01.6451.7371.962.02.332.572.75(x)0.71900.84130.950.95910.9750.97720.990.99490.997附表2:P{t(n)>t(n)}=n56891214=0.0252.57062.44692.30602.26222.17882.1448=0.052.01501.94321.85951.83311.78231.7613附表3：已知条件检验统计量原假设为真时检验统计量的分布拒绝域已知未知未知1.(15分)从1到100这100个自然数中任取一个,求(1)求取到的数能被4整除的概率，(2)求取到的数能被6整除的概率，(3)求取到的数既能被4整除也能被6整除的概率.2.(10分)设随机变量Y～U（0,4），试求方程有实根的概率。3.(15分)设随机变量X服从正态分布，求（1）服从的分布；（2）。4.(15分)设二维随机变量（X,Y）在区域上服从均匀分布。(1)求(2)判断X与Y的独立性。5.(15分)某校概率与统计考试不及格率为0.1，某学期有1300人参加概率与统计考试，假设每个人及格与否相互独立，求（1）这次考试不及格率小于10%的概率；（2）这次考试不及格率小于15%的概率.

6.(15分)设总体服从上的均匀分布，其中为待估参数，为取自总体的一个样本，求的极大似然估计.7.(15分)2013年5月南京市日平均最高气温为26度，2013年6月经过调查南京市6天日平均最高气温为30度，每日最高气温精度为1度，假设南京市日平均最高气温服从正态分布，问南京市2013年5月日平均最高气温是否与2013年6月日平均最高气温有显著差异？（α=0.05）第1页共1页南京理工大学课程考试答案及评分标准课程号-课序号：11022601课程名称：概率与统计B学分：3考试方式：笔试,闭卷满分分值：100考试时间：120分钟1.(15分)从1到100这100个自然数中任取一个,求(1)求取到的数能被4整除的概率，(2)求取到的数能被6整除的概率，(3)求取到的数既能被4整除也能被6整除的概率.1.解：设（1）（2）（3）中所求事件分别为A、B、C-------（2分）,,,-------（7分）-------（6分）注：基本题，考察古典概型求概率。2.(10分)设随机变量Y～U（0,4），试求方程有实根的概率。2.解：方程有实根，所以判别式非负，即解得-------（5分）方程有实根的概率-------（5分）注：基本题，考察连续型随机变量相关事件的概率。3.(15分)设随机变量X服从正态分布，求（1）服从的分布；（2）。3.解：关于严单处处可导，反函数，所以-------（10分）（2）-------（5分）注：基本题，考察连续型随机变量函数的分布与相关事件概率。4.(15分)设二维随机变量（X,Y）在区域上服从均匀分布。(1)求(2)判断X与Y的独立性。4.解：（1）区域G的面积为（X,Y）的联合概率密度为-------（4分）-------（8分）（3）显然，所以X与Y不独立。-------（3分）注：基本题，考察二维连续型随机变量的协方差和独立性。5.(15分)某校概率与统计考试不及格率为0.1，某学期有1300人参加概率与统计考试，假设每个人及格与否相互独立，求（1）这次考试不及格率小于10%的概率；（2）这次考试不及格率小于15%的概率.

5.解：记为这次考试的不及格人数，则有 -------（3分）（1）这次考试不及格率小于10%的概率为-------（6分）（2）这次考试不及格率小于15%的概率为-------（6分）注：基本题，考察中心极限定理的应用。6.(15分)设总体服从上的均匀分布，其中为待估参数，为取自总体的一个样本，求的极大似然估计.6.解：似然函数为-------（5分）显然，要使取到最大值，就必须使尽可能地大，但是不能大于，故当取，就使达到最大值，故的极大似然估计为.-------（10分）注：基本题，考察用定义法求极大似然估计。7.(15分)2013年5月南京市日平均最高气温为26度，2013年6月经过调查南京市6天日平均最高气温为30度，每日最高气温精度为1度，假设南京市日平均最高气温服从正态分布，问南京市2013年5月日平均最高气温是否与2013年6月日平均最高气温有显著差异？（α=0.05）7.解：：，：-------（2分）检验统计量为，的拒绝域为-------（4分）计算得------（3分）对=0.05，查得.因为，所以拒绝H0即可以认为南京市2013年5月日平均最高气温与2013年6月日平均最高气温有显著差异----（6分）注：基本题，考察正态总体的假设检验。南京理工大学课程考试试卷(学生考试用)课程名称：概率与统计(A)学分：3教学大纲编号：试卷编号：考试方式：笔试，闭卷满分分值：100考试时间：120分钟组卷日期：2013年1月2日组卷教师(签字)：审定人(签字)：5、（15分）已知二维随机变量，且，记 ，求与的相关系数。6、（10分）在次品率为的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用德莫佛一拉普照拉斯定理近似计算抽取的产品中次品数在40与60之间的概率。（注：＝0.939）7、（15分）设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且,设,求的概率密度；设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量；证明为的无偏估计量。8、（10分）某厂生产一种金箔，根据长期正常生产积累的资料知道金箔厚度服从正态分布，厚度的数学期望为0.13毫米。采用技术革新后，为检查新技术的实际效果，某日的产品中，随机抽查10片，算得样本观察值的均值为0.146毫米，样本标准差为0.015毫米，如果假设技术革新前后产品厚度的方差不变，问技术革新后生产的金箔厚度与技术革新前是否有显著差异（显著水平α=0.05）？附表：假设检验统计量拒绝域Z检验t检验检验1、（10分）试卷中有一道选择题,共有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的.任一考生如果会解这道题,则一定能选出正确答案；如果他不会解这道题,则任选一个答案。设考生会解这道题的概率是0.8,求：(1)考生选出正确答案的概率；(2)已知某考生所选答案是正确的,则他确实会解这道题的概率。2、（15分）设连续型随机变量X的密度函数为，其中常数，为标准正态分布的概率密度函数为上均匀分布的概率密度函数，以表示标准正态分布的分布函数，求（1）常数；（2）随机变量X的分布函数；（3）.（注：）3、（10分）设随机变量X的概率密度为求的概率密度函数。4、（15分）设二维连续型随机变量（）的概率密度函数为求（1）常数；（2）随机变量X，Y的边缘概率密度函数，；（3）第1页共1页第页共页南京理工大学课程考试标准答案课程名称：概率与统计学分：3教学大纲编号：试卷编号：A卷考试方式：笔试，闭卷满分分值：100考试时间：120分钟1、（10分）试卷中有一道选择题,共有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的.任一考生如果会解这道题,则一定能选出正确答案；如果他不会解这道题,则不妨任选一个答案.设考生会解这道题的概率是0.8,求：(1)考生选出正确答案的概率；(2)已知某考生所选答案是正确的,则他确实会解这道题的概率.解设A表示考生会做此题，B表示考生选出正确答案。……（1+1分）（1）由全概率公式可得……（2+2分）（2）由贝叶斯公式可知……（2+2分）注：基本题，考察全概率公式和贝叶斯公式。2、（15分）设连续型随机变量X的密度函数为，其中常数，为标准正态分布的概率密度函数为上均匀分布的概率密度函数，以表示标准正态分布的分布函数，求（1）参数；（2）X的分布函数；（3）解（1）……（1+1+2分）（2）注意到，……（1+1+1分）（3）注：综合题，考察重要分布和分布函数求解。3、（10分）设随机变量X的概率密度为令，求的概率密度函数。解在上严格单调递减，且，，……（2分）于是注：基本题，考察随机变量函数的分布。4、（15分）设随机变量（）的概率密度为试求（1）；（2），，（3）解（1），；……（4分）（2）……（1+2+1分）（1+1+1+1分）（3）……（3分）注：基本题，考察边缘分布求解及其联合密度函数性质。5、（15分）设二维随机变量有：，记 ，求与的相关系数。解因为所以……（2分）所以……（2分）……（3分）……（3分）……（3分）因此，……（2分）注：基本题，考察随机变量数字特征的性质。6、（10分）在次品率为的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用德莫佛一拉普照拉斯定理近似计算抽取的产品中次品数在40与60之间的概率。（＝0.939）解设为抽取产品中的次品数，由题知由德莫佛一拉普照拉斯定理得注：基本题，考察中心极限定理。7、（15分）设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且,设,求Z的概率密度；设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量；证明为的无偏估计量。解（1）因为，且与相互独立，故，……（2分）所以，的概率密度为……（2分）（2）似然函数……（2分）……（2分）解得最大似然估计值为，最大似然估计量为……（3分）（3）…………（4分）故为的无偏估计量。注：提高题，考察正态分布性质和点估计的方法及其评价标准。8、（10分）某厂生产一种金箔，根据长期正常生产积累的资料知道金箔厚度服从正态分布，厚度的数学期望为0.13毫米。采用技术革新后，为检查新技术的实际效果，某日的产品中，随机抽查10片，算得样本观察值的均值为0.146毫米，样本标准差为0.015毫米，如果假设技术革新前后产品厚度的方差不变，问技术革新后生产的金箔厚度与技术革新前是否有显著差异（显著水平α=0.05）？解：，：……3分检验统计量为，的拒绝域为计算得，，……2分对自由度-1=9，查t-分布表，得……2分因为……1分所以拒绝H0，即可以认为该日生产的金箔厚度的数学期望与往日有显著差别。……2分注：基本题，考察假设检验的基本内容。南京理工大学课程考试试卷(学生考试用)课程名称：概率与统计(B)学分：3教学大纲编号：试卷编号：考试方式：笔试，闭卷满分分值：100考试时间：120分钟组卷日期：2013年1月2日组卷教师(签字)：审定人(签字)：七.（15分）设总体X的密度函数为其中未知参数为来自总体X的简单随机样本，求：（1）的矩估计量；（=2\*ROMAN2）的最大似然估计量.八.（15分）某玻璃纤维厂长期正常生产积累的资料表明，所生产的纤维强度服从正态分布，它的方差为。某日随机抽取5根纤维，测得其强度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44。问该日所生产得纤维强度的均方差是否有明显变化（取显著水平α=0.1）？附表：假设检验统计量拒绝域Z检验t检验检验=0.050.10.95(5)11.0719.2361.145(4)9.4887.7790.7112.01501.4759—2.01502.13181.5332—2.1318，，一.(10分)根据以往的临床记录，知道乙肝患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95，非乙肝患者对该试验呈阳性反应的概率为0.01，一个来自普通人群的被试者患有乙肝的概率为0.005，若已知此人试验结果呈阳性，求此人真正患有乙肝的概率。二.(10分)设随机变量X的概率密度为现对X进行n次独立重复观测，以Y表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量Y的概率分布列。三.（10分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求X的概率密度（2）四、（15分）若，求的概率密度。五．（15分）设A,B为随机事件，且，令求：（1）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（2）X和Y的相关系数六.（10分）一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，设排版与校对是两个独立的工序，求在校对后错误不多于15个的概率。第1页共1页南京理工大学课程考试答案及评分标准课程名称：概率与统计学分：3教学大纲编号：试卷编号：B卷考试方式：笔试，闭卷满分分值：100组卷日期：2013年12月31日一.（10分）解：设A={试验反应为阳性}，B={被试者患有乙肝}，则由已知条件可知……3分要求的是，由贝叶斯公式可得……1分……2+2+2分注：基本题，考察贝叶斯公式。二.(10分)解：……4分由题意知，，即