一种多参数的分析小波及其在薄互层地震资料分析中的应用

一种多参数的分析小波及其在薄互层地震资料分析中的应用

1小波加以改进及改进小波变换有多种形式，通常包括连续、二进制和离散小波变换。在小波转换中，信息是高度冗余的，适合信号分析。在连续波转换中，只需满足允许条件，才能选择小波函数，从而有很大的选择小波函数的自由度。这项工作只涉及连续小波变换。众所周知,信号的小波变换不仅取决于信号本身,而且也与所采用的分析小波有关.因此,当小波变换用于信号处理及属性分析时,恰当地选择小波函数至关重要.小波函数的构造,一直是很活跃的研究领域.Grossmannetal.详细地研究了用高斯函数及其导数构造分析小波的方法,并给出了大量例子.Morlet小波具有最佳的联合时-频分辨率,在许多领域得到了广泛应用.然而,当分析小波的调制频率σ值较低时(小于5.33),Morlet小波的修正项不能忽略.尽管σ值较小时Morlet小波仍满足容许条件,但它的时域局部化并不能令人满意,即它的振幅谱由单峰变到多峰(σ值大时对应的单脊变为小的σ值对应的多脊).用包络是多峰的分析小波作为基本小波对信号进行分析时,会导致信号在多个位置上局部化,这就会在瞬时频率和振幅测量中产生一些不期望的假象.为了克服上述缺点,Harropetal.对Morlet小波加以改进并提出了一种新的分析小波.高静怀等研究了地震资料处理及属性提取中分析小波的选择问题,得出:选择能够最佳匹配地震子波(BMSW小波)或待分析有效信号的函数作为基本小波,对于压制噪声是有利的.并给出了地震子波的模拟公式以及相应的分析小波.BMSW小波用于瞬时频率、瞬时带宽等参数提取,取得了良好的效果.然而,与Morlet小波类似,这种小波也不能很好地分析含有频率和振幅快速变化分量的信号.第二部分给出了使用的小波变换定义及算法;第三部分通过修改模拟地震子波的公式,引入了一种新的分析小波(称为三参数小波);第四部分我们研究了三参数小波的性质;第五部分以三参数小波为母小波,提出了一种利用地震资料研究薄互层沉积旋回以及局部结构的新方法.2t小波变换的反变换首先介绍文中使用的小波变换定义及符号.设ψ(t)为满足容许条件的分析小波,即式中ω为角频率,用a,b分别表示尺度及平移参数,a,b∈R;且a≠0,R表示实数集合.对于任意给定的信号s(t)∈L2(R),t为时间,s(t)关于分析小波ψ(t)的小波变换定义为式中(*)表示取复共轭,L2表示平方可积函数空间,用ψ[b,a](t)=a1ψat-b表示小波族.对于每一个给定的尺度参数a,ψ[b,a](t)的主频是指它的Fourier功率谱ψ[b,a](ω)2取极大值处的频率.小波变换的反变换公式为给定一个时间序列s(n),采样间隔为δt,n=0,1,…,N-1,N为采样点数.离散序列s(n)的连续小波变换定义为s(n)和伸缩及平移后的ψ(t)的内积:(3)式的离散形式为这里,,aj=a02jδj,j=0,1,…,J,n,n′=0,1,…,N-1,J=(δj)-1lb(Nδta0).a0是最小分辨率对应的尺度,其对应的Fourier周期应近似等于2δt,δj的选取依赖于小波函数在谱域的宽度.C′为常数,与所选分析小波有关.33参数小波3.13.小波的furing周期文献给出了地震子波的模拟方法以及相应的分析小波(MS小波).MS小波已被用于提取瞬时频率,取得了好的结果.但当地震子波较复杂时,由于MS小波仅有两个可调参数,所以它不能很好地匹配地震子波或给定的有效信号(例如指定的反射波),这就限制了其应用.因此,一种具有4个可调参数的新的分析小波被构造出来,使它能够最佳的匹配地震子波(BMSW小波).模拟地震子波的公式如下其中,i=-1,A为地震子波的振幅,τ为能量衰减因子,β为能量延迟因子,σ为地震子波的调制频率.函数w(t)不满足容许条件.通过给w(t)加上一个小的修正项,可以得到一类分析小波,即BMSW小波:为了书写简便,用矢量Γ=(A,σ,τ,β)表示参变量A,σ,τ,β的一组取值,则(7a)式可表示为其中修正项为当σ2(8τ)足够大使得修正项可以忽略时,BMSW小波的Fourier周期λ与尺度因子的对应关系为当Morlet小波及BMSW小波用于仅包含慢变频率及振幅分量的信号时,用大的σ2(8τ)值即可,这种情况下(7b)式中的第2项(即修正项)可以略去.然而,如果把这类小波用于分析包含频率及振幅都快速变化的分量的信号,为了得到最佳的时间分辨率,同时还能够使信号中的各种频率分量分离开,就要求σ取较小的值.在这种情况下,修正项R(t;Γ)不能忽略.虽然BMSW小波在σ值较小时仍满足容许条件,但其时间局部化性质不令人满意,即ψ(t)由单峰变为多峰.使用具有多峰的分析小波对信号作小波变换,会导致信号关于多个不同位置局部化,这在瞬时频率及振幅测量中,会产生假象.为此,下面借鉴Harrop等的工作,从(6)式出发,发展一类新的分析小波-三参数小波.3.2a式为了使(6)式满足容许条件,把(6)式改写为其中σ为分析小波调制频率,(σ,τ,β∈R且σ,τ≥0).为了书写方便,用向量Λ=(σ,τ,β)记参数σ,τ,β集合,则ψ(t;σ,τ,β)可记为ψ(t;Λ),其他量类似.以向量的形式,(9a)式可简写为对(9b)式作Fourier变换,得到其傅里叶域形式ψ(ω;Λ)(详细推导见附录A):利用两个条件:(i)容许条件和(ii)小波函数的归一化条件,从而解得p(Λ),q(Λ)和k(Λ)如下(见附录B):(9b)式(或其Fourier形式(10)式)就是三参数小波.下面讨论三参数小波、改进的Morlet小波和Morlet小波之间的关系.当τ=0.5,β=0,Λ1=(σ,0.5,0),由(11)、(12)及(13)式得把上面三式代入(9b)式得此时,三参数小波就回到了改进的Morlet小波.当σ>5.33,令Λ2=(σ>5.33,0.5,0),p(Λ2)和q(Λ2)都近似等于π-14,得到此即Morlet小波.因此,三参数小波包含了改进的Morlet小波和Morlet小波.43参数中的小波性质4.1小波域功率谱密度用小波变换进行地震资料分析时,常常需要找到对给定的a所对应的三参数小波的主频.根据Meyersetal.提出的方法,考察频率为ω0的简谐波f(t)=eiω0t,对f(t)的两边作小波变换,其变换结果为信号f(t)的小波域功率谱为(19)式表明,对于简谐波来说,在任意一个时间点处,f(t)的小波变换能量谱与ψ(aω0)2二者的最大值处是一致的.若ψ(ω)具有对称轴,在中心处(即平均频率ω*)取极大值,则可得到尺度因子与小波主频的关系式:式中f为Fourier频率.在三参数小波中,若取β=0,ψ(ω)几乎是对称的,因此(20)式对三参数小波是成立的.下面计算三参数小波的平均频率ω*,令β=0,根据定义,(21)式的等价形式为在(9b)式中令β=0,记Λ3=(σ,τ,0),容易计算出:把(23)和(24)代入(22)中,可解析地求出平均频率(见附录C):关于β≠0情况,这里不加讨论.4.2小波与molret小波假设σ,τ,β构成一个矢量Λ4,在该矢量中参数满足:σ2(4τ)值足够大,β为实数.由(12)及(13)式易知,p(Λ4)和q(Λ4)都近似等于,这时(10)式简化为(详见附录D)由(26)式可见,当ω<0时,ψ(ω,Λ4)≈0,因此可近似为解析小波.在Λ4中令β=0,τ=0.5时,这时参数集合记为Λ′4,从(26)式,可得到Morlet小波的频率域表达式:注意到由于σ2(4τ)值足够大时,σ2值足够大,Morlet小波就近似为解析小波.当β≠0时,(26)式与Morlet小波有本质区别.对(26)式作逆Fourier变换得:4.3值/频率域分布为了在时-频域比较三参数小波与BMSW小波,研究几个典型例子.取三参数小波中Λ1=(0.5,2,0),Λ2=(3,2,0),Λ3=(6,0.5,0);取BMSW小波中Γ1=(1,0.5,2,0),Γ2=(1,3,2,0),Γ3=(1,6,0.5,0),生成了三个三参数小波及三个BMSW小波(见图1).在图1中,画出了它们的模(实线)、实部(点线)及虚部(虚线).由图1可见,当σ<5.33时,三参数小波的模仅有一个峰(见图1(a,e)),而BMSW小波的模却有多个峰(见图1(b,f));再从Fourier振幅谱来看,三参数小波仅有一个峰(负频率能量几乎为零,见图1(c,g)),而BMSW小波在频率域有多个峰值,或旁瓣较大(见图1(d,h)).然而,当σ值较大时,二者在时-频域均有良好的局部化特性,即在时间和频率轴上均为单峰;当σ值较大且τ=0.5时,二者都变为Morlet小波,且修正项可略去(见图1(i,j)).为了比较三参数小波与BMSW小波在分析包含频率与振幅快速变化分量的信号时的性能,把二者用于分析薄互层地震资料.取Λ=(1,0.5,0),Γ=(1,1,0.5,0).图2(a,b)分别画出了两种小波的波形,它们的Fourier谱分别见图2(c,d).图2e为薄互层模型的反射系数序列,2f为对应的合成地震记录,其中地震子波采用50Hz的Ricker子波.2g为由三参数小波得到的时-频域能量分布图.在薄互层时频分析中,调谐频率随着层的变薄而升高,反之依然.下文称这个规律为薄互层的时-频响应特性.由于三参数小波有良好的时-频局部化特性,其时-频平面上只有一个主能量带(见图2g),主能量带的时间中心在0.250s处(对应最厚层,见图2e),沿着主能量带,由中心向两边,随着层的变薄,中心频率(指在给定时刻主能量带中的能量最大值对应的频率)变高.这与薄互层的时-频响应特性是一致的.另外,图中垂直于时间轴的锥形条纹刻画了薄互层内部的局部结构.对于BMSW小波,难以建立尺度参数与主频的对应关系,故在时间-尺度域研究问题.此处画出了图2f的时间-尺度域能量分布(图2h).由于BMSW小波在频率轴上有三个中心(两个在频率正半轴,一个在负半轴,见图2d),在时间-尺度域上形成三个能量带(图2h中未画出负频率半平面),这种复杂的时间-尺度域能量分布,模糊了薄互层的时-频响应特性,容易导致对地下地质结构的错误解释.由此看出,拥有三个可选参数的三参数小波用于像薄互层地震数据这样的信号(含有频率及振幅快速变化的分量)分析时,是合适的,而BMSW小波(包括Morlet小波)却不能做到这一点.4.4=0情况下三参数小波的性质及应用到目前为止,还没有考虑β对三参数小波的影响.显然,当σ和τ固定时,不同的β对应不同的三参数小波.例如,取σ=1,τ=0.5,β=0.2,对应的三参数小波的模及Fourier振幅谱见图3(a,b).把图2(a,c)与图3(a,b)加以对照比较,很明显,前者的模是对称的,而后者的模却不对称.它们的Fourier振幅谱差别不大.关于β≠0情况下三参数小波的性质及应用,有待进一步工作.5薄互层局部结构的局部研究当小波变换用于分析薄互层沉积旋回以及局部结构时,恰当地选择分析小波是至关重要的.脊算法能够提高时-频平面内有关时-频解释结果的可读性.以Morlet小波(即令公式(9b)中的Λ1=(6,0.5,0))为分析小波,得到了图2f在时-频域的能量分布(见图4a).因为Morlet小波有较大的σ值(σ=6),所以它对于低频分量来说时间分辨率较低.因此,主能量带的中心频率(或是用脊算法提取的瞬时频率)对于地层厚度的变化不敏感,几乎不能揭示薄互层的时-频特性(见图4(a,c)).为了在时-频域中精细地分析薄互层地震资料,提出一种以三参数小波为分析小波的方法.该方法既能刻画薄互层的沉积旋回,又能研究薄互层的局部结构.此方法由两步组成,现以图2f为例阐述这一方法.步骤1分析沉积旋回固定β和τ,通过选择σ,能够对薄互层时-频特性的能量分布特性进行详细刻画.为了提高时间分辨率,较小的σ值是合适的.因此,令(9b)式中的Λ2=(3,0.5,0),能够得到图2f所对应的能量分布以及用脊算法提取的瞬时频率(见图4(b,d)).在图4(c,d)中,标记相邻两个层的时间厚度分别为Δt1和Δt2(Δt1<Δt2),以及对应于这两个层中心位置处的频率差依次为Δf1和Δf2,显然Δf2>Δf1.很明显,图4b中的主能量带的中心频率(或图4d中用脊算法提取的瞬时频率)对地层厚度的变化更敏感,因而能够更好地揭示薄互层的时-频特性.步骤2研究薄互层局部结构对厚层(与地震波波长相比)来说,当地震波被分解到小波域时,相关的锥形条纹的波谷应该指向反射界面的位置,并且它的能量分布与反射系数序列以及地震子波有关.对于薄互层来说,由于受地震分辨率的限制,接收到的反射波是一个复合波,它是由几个临近反射界面联合产生的.像厚层一样,这个复合波也能形成锥形条纹.在这种情况下,它的波谷也许不再能对准任何一个反射界面,而是代表着“某种平均”,该锥形条纹的能量分布与层厚以及岩性组合有关.为了提高时间分辨率,固定β和σ,通过增大τ值,锥形条纹变得越来越清晰,使得其能够清楚地反映薄互层的局部结构.令(9b)式中的Λ3=(3,1,0),Λ4=(3,5,0),相应的能量分布分别绘于图4(e,f).从图中可以看出,图4f由于取了较大的τ值,其在研究薄互层局部结构方面比其他几幅图更精细.为了方便比较,在图4(g＿3)中画出了图4f中f=300Hz的频率分量,而且相应薄互层模型的反射系数序列以及合成记录分别在图4(g＿1),(g＿2)中给出.结果表明,锥形条纹的波谷准确地指向了反射界面的位置,例如图4(g＿3)中反射界面A＿A和B＿B所示.6结果与结论本文提出了一种新的由三个参数决定的分析小波(称为三参数小波).三参数小波有以下优点:(i)Morlet小波和改进的Morlet小波是其特例.当σ2(4τ)值足够大使得e-4σ2τ≈0时,三参数小波就等价于BMSW小波;(ii)三参数小波的一个很重要的特性在于,它的模对于所有的σ2(4τ)值都只有一个峰值,而BMSW小波当σ2(4τ)值比较小时其峰值超过一个.因此,三参数小波在时-频域有比较理想的局部化性质,这使得三参数小波不仅适合于分析包含慢变频率和幅度分量的信号,而且也适合于包含快变分量的信号;(iii)当σ2(4τ)值较大时,从三参数小波中,得到了一种新的有三个可选参数的近似解析小波.以三参数小波为分析小波,提出了一种研究薄互层地震资料的方法.该方法能够刻画薄互层的沉积旋回,进而能研究薄互层的局部结构.通过合成数据验证了该方法的有效性.这种方法可能会成为一种用于薄互层油气勘探中非常