2023-2024学年四川省成都市高三第三次模拟数学（文）模拟试题（含解析）

2023-2024学年四川省成都市高三第三次模拟数学（文）模拟试题单选题1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】首先解得集合，，再根据补集的定义求解即可.【详解】解：，，，故选A．本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.2.设是向量，则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】D【详解】试题分析：由无法得到，充分性不成立；由，得，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.3.给出如下四个命题：①若“且”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”；③“，则”的否定是“，则”；④在中，“”是“”的充要条件．其中正确的命题的个数是A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】C【分析】根据复合命题真假的判定即可判断①；根据否命题可判断②；根据含有量词的否定可判断③；根据正弦定理及充分必要条件可判断④．【详解】根据复合命题真假的判断，若“且”为假命题，则或至少有一个为假命题，所以①错误；根据否命题定义，命题“若，则”的否命题为“若，则”为真命题，所以②正确；根据含有量词的否定，“”的否定是“”，所以③正确；根据正弦定理，“”“”且“”“”，所以④正确．综上，正确的有②③④所以选C本题考查了复合命题真假的判断、否命题及含有量词的否定，正弦定理和充分必要条件的应用，属于基础题．4.已知，向量在向量上投影为，则与的夹角为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小.【详解】记向量与向量的夹角为，在上的投影为.在上的投影为，，，.故选：B.5.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据不等式的基本性质可判断A，利用作差法可判断BD的正误，利用反例可判断C的正误.【详解】解：，故，，故，故，故，故A成立.对于B，因为，故，而，故，故B错误对于C，取，则，故C错误.对于D，因为，故，故，故D错误故选：A．6.设​满足约束条件​，则​的最大值为（）A.8 B.5 C.2 D.1【正确答案】B【分析】根据约束条件画出可行域即可结合目标函数的几何意义求解.详解】如图即为满足的可行域，由图易得:，解得，故，由于得表示斜率为，在轴截距为的直线，故当直线经过点时，此时轴截距最大故当时，的最大值为5，故选:B.7.已知函数的部分图象如下图所示，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用“五点法”求得，再经过周期变换与相位变换可得，从而利用三角函数对称点性质即可得解.【详解】依题意得的最大值为，则，由，得，所以，，即，，所以，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到，因为所得函数的图象关于点对称，所以，即，所以，则．因为，所以的最小值为．故选：B．8.已知函数，不等式的解集为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【详解】解：，则函数是奇函数，当时，为增函数，则函数在上是增函数，则不等式等价为不等式，即，解得，即不等式的解集为，故选：．9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了A.60里 B.48里 C.36里 D.24里【正确答案】B【分析】根据题意得出等比数列的项数、公比和前项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得的值.【详解】依题意步行路程是等比数列，且，，，故，解得，故里.故选B.本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前项和的基本量计算，属于基础题.10.已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，所以，所以，由，解得或；由解得或（舍去），所以函数的零点的集合为.故选：D.函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等.11.已知，，，，则下列等式一定成立的是A. B. C. D.【正确答案】B【详解】试题分析：相除得，又，所以.选B.【考点定位】指数运算与对数运算.12.已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】构造，根据已知条件判断在上单调性，又题设不等式等价于，利用单调性及其定义域范围求解集.【详解】令，则，即在上递增，又，则等价于，即，所以，解得，原不等式解集为.故选：C填空题13.已知向量，．若向量与垂直，则________．【正确答案】7【分析】首先求出的坐标，再根据两个向量垂直的性质得到，根据向量数量积的坐标运算得到方程，即可求得实数的值．【详解】解：因为，，所以，因为向量与垂直，所以，解得，故7．14.曲线在点处的切线方程为________.【正确答案】.【详解】试题分析：，，故所求的切线的斜率为，故所求的切线的方程为，即.本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于中等题.15.正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值为______.【正确答案】【分析】先由已知求出公比，然后由求出满足的关系，最后求出的所有可能值得最小值．【详解】设数列公比为，由得，∴，解得（舍去），由得，，∵，所以只能取，依次代入，分别为2，，2，，，最小值为．故．本题考查等比数列的性质，考查求最小值问题．解题关键是由等比数列性质求出满足的关系．接着求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本题实质上由于，因此对应的只有5个，可以直接代入求值，然后比较大小即可．16.若函数在区间上不是单调函数，则函数在R上的极小值为______．【正确答案】【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性，求出的范围，从而求出函数的单调区间，得到是函数的极小值即可．【详解】解：，∵函数在区间上不是单调函数，，由，解得：或，由，解得：，的极小值为，故本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于中档题．解答题17.已知向量​，设函数​（1）求​的最小正周期.（2）求函数​的单调递减区间.（3）求​在​上的最大值和最小值.【正确答案】（1）（2）（3）最大值为1，最小值为【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合三角恒等变换即可化简，由周期公式即可求解，（2）利用整体法即可求解，（3）根据得，即可结合三角函数的性质求解.【小问1详解】由已知可得:​所以.【小问2详解】由​，可得，​的单调递减区间为​.【小问3详解】,​，​的最大值为1，最小值为​.18.已知在递增等差数列中，，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列前项和，求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比数列等比中项公式求得，从而得解；（2）结合（1）中结论，利用裂项求和法即可得解．【小问1详解】因为为递增等差数列，设其公差为，因为是和的等比中项，，所以，即，解得或（舍去），所以.【小问2详解】由（1）得，所以19.设三个内角的对边分别为,的面积满足.(1)求角的值;(2)求的取值范围.【正确答案】(1)(2).【详解】试题分析：（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，结合同角的商数关系，可得角的值；（2）由三角形的内角和定理，可得，运用两角和差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．试题解析：(1),求得,所以.(2)因为,所以,即;经三角变换得因为,所以,,所以.20.已知函数1)若a=1,求曲线在点处的切线方程(2)若在R上单调递增,求实数a的取值范围【正确答案】（1）（2）【详解】分析：（1）求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；

（2）求出导数，若是单调递增函数，则恒成立，分离参数构造函数，求出函数的最值即可得到实数的取值范围．详解：(1)（2）所以在上单调递增，在上单调递减所以.点睛：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应用，属于中档题．21.已知函数.（1）若，求函数的单调增区间;（2）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围;【正确答案】（1）​（2）​【分析】（1）求导得到，得到单调区间.（2）变换得到，设，求导得到单调区间，计算最值得到答案.【小问1详解】由题意得:​时，​，​，令​，解得:​或​，故​的单调递增区间为​.【小问2详解】在​上恒成立，，即在区间​恒成立，设，，则，令，解得，此时单调递增，令，解得，此时单调递减，故.故.22.已知曲线的参数方程为(为参数在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.1求曲线的普通方程和的直角坐标方程；2若与相交于两点，设点，求的值．【正确答案】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为.（2）【详解】试题分析：（Ⅰ）消参后得到曲线的普通方程；根据得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，而，代入根与系数的关系得到结果.试题解析：（I）（为参数），所以曲线的普通方程为.，所以的直角坐标方程为.（Ⅱ）由题意可设，与两点对应的参数分别为，将的参数方程代入的直角坐标方程，化简整理得，，所以，所以，因为，所以，所以本题考查了极坐标与直角坐标方程，以及普通方程和参数方程的转化关系，对于第二问中的弦长问题，过定点，倾斜角为的参数方程，与曲线相交交于两点，，，，根据图象和二次方程去绝对值，后根据根与系