专题2.5 求代数式的值解题方法与技巧（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（沪科版）

专题2.5求代数式的值解题方法与技巧（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】求代数式的值一般步骤1.代入：用指定的字母的数值代替代数式里的字母，其他的运算符号和原来的数值都不能改变；2.计算：按照代数式指明的运算，根据有理数的运算方法进行计算。特别说明：一般地，代数式的值不是固定不变的，它随着代数式中的字母的取值的变化而变化。【知识点2】求代数式的一般方法1.直接代入法:用数值代替代数式中的对应字母,然后计算结果2.化简求值法:先化简代数式,再代入字母的值,然后进行计算3.整体代入法:当给出代数式中所含几个字母之间的关系,不直接给出字母的值时,一般是把所要求的代数式通过恒等变形,转化成为用已知关系表示的形式,再代入计算。七年级数学上册第三单元主要学习了整式及其加减，这一单元在计算上较第二单元难度有所加大。下面整理了一些求代数式值的技巧，供师生参考使用。【考点一】求代数式值的技巧【技巧一】巧用单项式的次数、系数和同类项概念求代数式的值【例1】已知是八次单项式，求代数式3a+3b-12的值．【答案】24【分析】：根据八次单项式的定义得到a+b﹣4=8，则a+b=12，将其整体代入所求的代数式进行求值．解：由题意得：a+b﹣4=8，则a+b=12，所以3a+3b﹣12=3（a+b）﹣12=24．【变式1】如果单项式与的和仍然是一个单项式，则等于（

）A．1 B．-1 C．2019 D．-2019【答案】A【分析】根据题意，可知单项式与是同类项，然后求出m、n的值，即可得到答案.解：∵单项式与的和仍然是一个单项式，∴单项式与是同类项，∴，，∴，∴；故选择：A.【点拨】本题考查了求代数式的值，以及同类项的定义，解题的关键是利用同类项的定义求出m、n的值.【变式2】若－2anbm＋7与4a5bn的和仍为单项式，则mn－n-m＝．【答案】-57解：∵－2anbm＋7与4a5bn的和仍为单项式，，解之得，∴mn－n-m＝【技巧二】巧用多项式的次数、系数和同类项概念求代数式的值【例2】若多项式是关于x、y的三次三项式；单项式与单项式的次数相同，求代数式的值．【答案】100【分析】根据单项式和多项式的次数的定义可知2a+2=1，b-1=2，求出a和b的值，将代数式化简后代入a和b的值计算即可．解：∵是关于x、y的三次三项式，∴2a+2=1，解得：a=，∵与的次数相同，∴b-1=2，解得：b=3，=100．【点拨】本题主要考查了单项式和多项式的次数的定义，代数式的值，掌握“单项的次数是每个字母的指数和，多项式的次数是次数最高项的次数”是解题的关键．【变式1】已知关于x的多项式是二次多项式，则a+b的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．8【答案】A【分析】根据该多项式是二次多项式，可知不含x的4次项，即4次项系数为0，可知，，代入代数式即可求得结果．解：由题意可知，，解得：，，∴，故选：A．【点拨】本题主要考查利用多项式的定义求参数，注意4次项系数为0．【变式2】如果关于的多项式与多项式的次数相同，则的值为．【答案】或【分析】分别利用当时，，以及当时，，进而求出即可．解：∵关于的多项式与多项式的次数相同，∴当时，，故，当时，，故，综上所述：的值为或．故答案为：或．【点拨】此题主要考查了多项式的次数概念，代数式求值，正确分类讨论得出n的值是解题关键．【技巧三】巧用同类项的概念求代数式的值【例3】若单项式与是同类项，则的值为．【答案】64【分析】先根据同类项的定义求出的值，然后化简原式，把的值代入化简后的原式求解即可．解：∵单项式与是同类项，∴，又∵∴原式．故答案为：64．【点拨】本题主要考查了整式的化简求值以及同类项的定义，利用同类项的定义求出【变式1】已知单项式是同类项，若（其中），则（

）A．-3 B．3 C．5 D．10【答案】B【分析】根据同类项的定义和合并同类项的法则解答，同类项的定义是，所含的字母相同，相同的字母的指数也相同的项是同类项，合并同类项的法则是，只合并系数，字母和字母的指数都不变．解：∵单项式是同类项，∴n-1=5，n=6，∵∴m+3=0，m=-3，∴m+n=-3+6=3．故选B．【点拨】本题主要考查了同类项，解决问题的关键是熟练掌握同类项的定义及合并同类项的方法．【变式2】若与是同类项，其中互为倒数，求的值．【答案】【分析】根据同类项的定义及互为倒数，判断出、的值，代入化简后的整式中及可求解；解：根据题意，得：，，∴或，，又∵，互为倒数，∴，，∵当，时，原式【点拨】本题主要考查同类项的概念，倒数以及整式的化简求值，掌握同类项的概念是解题的关键．【技巧四】巧用相反数求代数式的值【例4】当时，代数式的值为10，则当时，求代数式的值．【答案】【分析】将代入代数式值为10，列出关系式，将代入所求式子，把得出的代数式代入计算即可求出值．解：将代入得：，即，当时，．【点拨】此题考查了代数式求值，掌握整体代入的方法是解决问题的关键．【变式1】当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为．【答案】【分析】先根据已知条件得到，再由当时，进行求解即可．解：∵当时，代数式的值为，∴，∴，∴当时，，故答案为：．【点拨】本题主要考查了代数式求值，正确推出是解题的关键．【变式2】当时，代数式的值为16，则当时，这个代数式的值是（）A．0 B．-16 C．32 D．8【答案】A【分析】由当时，代数式的值为16，可得，再把代入代数式即可得到答案．解：当时，代数式的值为16，∴，∴，∴，当时，故选A．【点拨】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，掌握“利用整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键．【技巧五】巧用赋值法求代数式的值【例5】赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：，则：①取时，直接可以得到；②取时，可以得到；③取时，可以得到．④把②、③的结论相加，就可以得到，结合①的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题：已知，求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据阅读材料，令，即可得到；（2）根据阅读材料，令，即可得到（3）令，得；令，得，两式直接求和即可得到答案．解：令，得；（2）解：令，得；（3）令，得①；令，得②；由①②得，结合（1）中，得．【点拨】本题主要考查代数式求值问题，读懂材料，掌握赋值法，根据所给代数式选择恰当的特殊值，利用整体思想求解是解题的关键．【变式】特殊值法，又叫特值法，数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：，则（1）取时，直接可以得到；（2）取时，可以得到；（3）取时，可以得到；（4）把（2）、（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题：已知：，求（1）___________；（2）的值；（3）的值．【答案】（1）8；（2）；（3）.【分析】（1）当x=2时，求得；（2）当x=3时，求得①，当x=1时，求得②，两式联立①+②即可求得；（3）根据第二问关系，两式联立①-②即可求得.解：（1）当x=2时，，故答案为：8；（2）当x=3时，可得①，当x=1时，可得②，①+②得：，∴，∴；（3）由（2）中，①-②得：，∴【点拨】本题考查代数式求值问题，合理理解题意，对代数式进行正确处理是解题的关键.【考点二】求代数式值的方法【方法一】直接代入法求值【例1】若，，，求的值．【答案】3【分析】先整理得到，再把，，，代入计算即可．解：，那么再把，，代入原式为，即，故答案为：3．【点拨】本题考查代数式的化简再求值等运算内容，掌握准确的化简方式是解题的关键．【变式1】如图所示的是一个正方体的表面展开图，折成正方体后相对的两个面上的数都相等，求的值．【答案】【分析】根据正方体表面展开图的特征判断“对面”，进而求出的值，再代入计算即可．解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“”与“”相对，“”与“2”相对，“”与“1”相对，得，，，∴，，，∴．【点拨】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的前提．【方法二】间接代入法求值【例2】已知a、b是有理数，且满足，求的值【答案】【分析】根据偶数次幂、绝对值的非负性求出a和b的值，再代入求解．解：，，，，，，，．【点拨】本题考查非负数的性质、求代数式的值，解题的关键是根据偶数次幂、绝对值的非负性求出a和b的值．【变式】若，均为有理数，且，的倒数是．求的值；若，求的值．【答案】(1)3或；(2)10【分析】（1）由题意得到与的值，代入求解即可得到答案；（2）根据得到与的值，再代入求解即可得到答案．解：由题意得：，，则或；（2）由题意得：，，∵，∴，∴，，则．【点拨】此题主要考查了求代数式的值，正确求得与的值是解题的关键．【方法三】整体代入法求值（整体思想）【例3】数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题：(1)若，则_______；(2)已知，求代数式的值；(3)当时，代数式的值为5，则当，时，求代数式的值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解；（2）根据已知条件先求出的值，再整体代入到所求代数式中计算即可；（3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中计算即可．解：∵，即，∴；故答案为：；（2）解：∵，∴，∴；（3）解：∵当时，代数式的值为5，即，∴，∴当，时，．【点拨】本题考查了代数式求值、含乘方的有理数的混合运算，解本题的关键是运用整体代入思想．【变式】阅读与思考：

根据理解，解决问题：【方法运用】（1）已知，求的值；【拓展应用】（2）若，，则代数式的值为．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）提因数，再整体代入求值即可；（2）将所求代数式化成含已知等式的形式，再代入求值即可．解：（1），∴，

，，

（2），，∴，，

，故答案为42．【点拨】此题考查了求代数式的值，解题的关键是整体思想的应用．【方法四】数形结合与分类讨论求值（数形思想、分类讨论）【例4】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：

(1)如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：________；②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：________________；(2)根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：________________；(3)若，，求图2中阴影部分的面积．【答案】(1)①；②；；(2)；(3)．【分析】（1）①根据题意，求得阴影部分正方形的边长，即可求解；②求得大正方形的面积和四个小长方形的面积，即可求解；（2）由（1）即可得出恒等式；（3）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积得到阴影部分的面积，将，代入，即可求解．解：①由题意可得，阴影部分正方形的边长为，则面积为，故答案为：②大正方形的面积为，四个长方形的面积为：，则阴影部分的面积为；故答案为：；（2）由（1）可得：，故答案为：（3）阴影部分的面积为：将，代入可得：原式．【点拨】此题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是通过不同方式求解出阴影部分的面积．【变式】（1）数形结合思