2022届高考数学大一轮基础复习之省市模拟四十三椭圆含解析

2022精编复习题(四十三)

楠圆

［小题对点练——点点落实］

对点练(一)椭圆的定义和标准方程

1.若直线x—2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()

A.y+j2=l

B依

222

C.V-y+j2=l或X4毋V=1

D.以上答案都不对

解析：选C直线与坐标轴的交点为(0,1),(—2,0),由题意知当焦点在x轴上时，c=2,h=l,：.a2

=5,所求椭圆的标准方程为力+》2=1.当焦点在7轴上时，b=2,c=l,.\a2=5,所求椭圆的标准方程为

2.已知椭圆C：?+q=1,M,N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合.若M关于C的

焦点的对称点分别为A,B,线段的中点在C上，则|AN|+|BN|=()

解析：选B设的中点为O,椭圆C的左、右焦点分别为尸尸2,如图，

连接。尸1,DFi,因为尸1是M4的中点，。是MN的中点，所以尸1。是△MAN

的中住线，则|DFi|=^4N］,同理|£>「2|=；|5N|,所以|AN|+|5N|=2(|£>FI|弋螺三方标+1。/2|),

因为。在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|。/1|十|。尸2|=4,所以|AN|+|8N|=8.

3.已知三点P(5,2),Fi(-6,0),3(6,0),那么以尸i,f2为焦点且经过点尸的椭圆的短轴长为()

解析：选B因为点P(5,2)在椭圆上，所以|尸川+『尸2|=2"，|尸产2|=朗，|PFi|=5寿，所以2a=6小,

即。=34，c=6,则》=3,故椭圆的短轴长为6,故选B.

4.如图，已知椭圆C的中心为原点。，FL2点,0)为C的左焦点,尸为C上一

点，满足|。/>|=|0月，且|"|=4,则椭圆C的方程为()

■+卷=1

"2..2

解析：选B设椭圆的标准方程为，+g=l（a>8>0）,焦距为2c,右焦点为

F',连接尸尸'，如图所示.因为FL2g0）为C的左焦点，所以。=2芯.由\OP\=

|。尸|=|0尸'|知，ZFPF'=90",即尸尸.在RtZkPff'中，由勾股定理，得

\PF'|=四尸='产一|尸为2=可（44）2-42=8.由椭圆定义,得|PF|+|P尸'尸2〃=4+8

=12,所以〃=6,a2=36,于是力2=屋—。2=36—（2/产=16,所以椭圆。的方程为正+言=1.

5.已知点M（小,0）,椭圆手+炉=1与直线产A（x+5）交于点4,B,则△A5M的周长为.

解析：M电,0）与F（一小，0）是椭圆的焦点，则直线A8过椭圆的左焦点F（一小，0）,且AB|=[AF|

+\BF\,△A5M的周长等于|A3|+|AM|+\BM\=（\AF\+|AM|）+（山F|+15M）=4a=8.

答案：8

6.若方程件％■+±=1表示焦点在工轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______.

\a\-i〃十3

解析：因为方程।44=1表示焦点在x轴上的椭圆，所以⑷一1>。+3>0,解得一3<av—2.

|C<I■UI

答案:（—3,—2）

对点练（二）椭圆的几何性质

1.如图所示，已知椭圆，+8=l（a>b>0）,以。为圆心，短半轴长为f半径作圆

O,过椭圆长轴的一端点尸作圆O的两条切线，切点分别为A,B,若四边形

为正方形，则椭圆的离心率为（

由题意知|OA|=|AP|=b,|OP|=a,OA±AP,所以2房=足，即烂;，故e=

解析：选B

乎，故选B.

2.已知B,尸2为椭圆a芸+专=1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，丽；成的最大值、

最小值分别为（）

A.9,7

D.17,8

解析：选B由题意知歹1（一1,0）,3（1,0）,设E（x,y）,则诵=（一l-x,~y）,旗=（1一x,-y）,

所以丽•京=x2-l+y2=x2-i+8-1r2=a2+7（—3/XW3）,所以当x=0时，肃•就有最小值7；当

x=±3时，诵•前有最大值8.故选B.

3.焦点在x轴上的椭圆方程为。+苴=l(a>b>0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,

该三角形内切圆的半径为上则该椭圆的离心率为()

B.1

D.j

C2

解析：选C短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积S=；X2cXZ)=；X(2a+2c)X4,

整理得Q=2C,即.故选C.

u乙

4.已知椭圆E：£+苴=l(a>》>0)的右焦点为尸，短轴的一个端点为M,直线/：3x-4y=0交椭圆

4一一

E于A,8两点.若|4月+|3川=4,点M到直线/的距离不小于;，则椭圆E的离心率的取值范围是()

B(0,J

解析：选A根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A,B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a=2(|A尸|

13X0—4X614c1一日,所以OVeW乎.

+0尸|)=8,所以〃=2.又d=>32+(_4,2g'所以1<1V2,而。='=

5.已知椭圆，+£=1(0幼<2)与y轴交于4,B两点,点尸为椭圆的一个焦点，则f面积的最大

值为

1b2+c2

解析：由题意可知62+。2=4,则△人石尸的面积为5X2bc=5cW—1—=2,当且仅当b=c=6时取等

号.

答案：2

6.已知椭圆方程为1+苴=l(a>b>0),4,8分别是椭圆长轴的两个端点，M,N是椭圆上关于x轴

对称的两点，；3N的斜率分别为总，k2,若陶色|=不则椭圆的离心率为.

JoVovn生_1

解析：iSJo),则N(xo,-Jo),\ki-k\=

2xo+aa-xo解一嵋a2—xoa249

从.而e=

答案:申

7.已知椭圆?+产=1的左、右焦点分别为凡，F2,以原点为圆心，椭圆的短轴为直径作圆.若点尸

是圆。上的动点，则|PF1F+|PF2|2的值是

解析：由椭圆方程可知层=4,z»2=l,.,.c2=4-l=3,：.c=y/3,a=2,b=l；Fi(一小,0),尸2(小,

0).

圆O的方程为工2+,2=［.设p(x°,则)，则就+讨=1.

.•.|PFIF+|PF2|2=[(XO+书产+闻+[(X0—5/+谕=2(蝴+M)+6=8.

答案：8

8.如图，椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是4,A2,BI,Bi,焦点分别

的离心率

为Fi,F2,延长5/2与4为交于尸点，若乙BiBh为钝角，则此椭圆

的取值范围为.

22

解析：设椭圆的方程为5+臣=13>%>0),N81鹿为钝角可转化为

BiAi—FzB\—••所央的角为钝角，则伍，一/>),(—c,—/>)<0,即从<砒，则/—c2<ac,故0+^—1

>0,即e2+e-l>0,€>咛［或eV二又OVeVl,所加殍^<eVl.

答案：(与1，1)

［大题综合练一一迁移贯通］

1.已知椭圆,+&=1(。>方>0),为，尸2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线A邑交椭

圆于另一点B.

(1)若/尸i4B=90°,求椭圆的离心率；

⑵若泰=2万花，求椭圆的方程.

解：(1)若N尸iA3=90°,则△AO尸2为等腰直角三角形，所以有。4=0尸2,即8=C.

所以。=也(?，6=：=坐.

(2)由题知4(0,b),Fi(—c,0),尸2(c,0),其中设5(x,y).

由A尸2=2尸28,得(c,—b)=2(x—c,j),

解得x=y,y=—I，即—0.

9,b2

*224C'~4

将B点坐标代入了+5y=1,得N"+*=l，

即含+2=1,解得M=3c2.①

一喏,晋H，

又由4尸「48=(—c,

22

得b—c=l9即有a?—23=1.②

由①②解得c2=l,/=3,从而有"=2.

所以椭圆的方程为半+]=1.

2.设外，厂2分别是椭圆C：|+:=13乂>0)的左、右焦点，M是C在第一象限上一点且MF2与x

轴垂直，直线MPi与C的另一个交点为M

.3

(1)若直线MN的斜率为不求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|BN|,求a,b.

解：(1)根据c=7出一炉及题设知M(c，勺，

b2

——0

由k\iN=kMF\=~7,得77=~7,即2b2=3ac.

4c-(一。)4

将52=。2一。2代入，解得§='=-2(舍去).

故c的离心率为;.

(2)由题意，原点。为F诉2的中点，轴，

/>2

所以直线MB与y轴的交点。(0,2)是线段M尸1的中点，故了=4,即加=4”.①

由|MN|=5|尸iN|,得/i|=2四N|.

设N(xi,ji),由题意知山<0,贝”

2(—c—xi)=c,jxi=—1c,

i，=2,X=-l.

代入C的方程，得券+/=1.②

将①及c=q工百代入②得组*=1,

解得a=7,52=4〃=28,

故a=7,b=2y[7.

3.设Fi,3分别是椭圆E：，+g=l(a>/»0)的左、右焦点，过外且斜率为1的直线/与E相交于

A,8两点，且|