专题3 全等三角形中动态问题中的几何变换与动点问题（解析版）

专题3全等三角形中动态问题中的几何变换与动点问题（解析版）类型一全等三角形动态问题中的几何变换（一）平移型1．（2023春•临渭区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿AB边所在的直线向下平移得到△DEF，BC与DF交于H，下列结论中不一定正确的（）A．AD＝BD B．AD＝BE C．∠DEF＝90° D．S四边形ADHC＝S四边形BEFH【思路引领】根据平移的性质逐一判断即可．【解答】解：∵Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，∴AD＝BE，△ABC≌△DEF，∴∠DEF＝∠ABC＝90°，S△ABC＝S△DEF，∴S四边形ADHC＝S四边形BEFH，观察四个选项，AD≠BD不正确，故选：A．【总结提升】本题考查了平移的性质，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．2．如图（a）所示，A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC、BF⊥AC，若AB＝CD．（1）求证：BD平分EF（即EG＝FG）．（2）若将DE向右平移、将BF向左平移，得到图（b）所示图形，在其余条件不变的情况下，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【思路引领】（1）要证明BD平分EF（即EG＝FG），可证明EG与FG所在的三角形全等（即证明△EGD≌△FGB），由于DE⊥AC、BF⊥AC，∠BGF与∠DGE是对顶角的条件，所以解决问题的关键是证明有一条边相等（DE＝BF），可通过证明△EDC与△FBA全等来实现，说明△EDC≌△FBA，通过AE＝CF证明CE＝AF是关键；（2）平移后△EDC与△FBA仍然相似，可仿照（1）进行推理证明．【解答】解：（1）∵AE＝CF，EF＝EF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE∵DE⊥AC、BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFG＝90°在Rt△ABF和Rt△CED中，AF=CEAB=CD∴△ABF≌△CED．∴ED＝BF，∵在△DEG和△BFG中，∠EGD=∠BGF∠DEG=∠BFG∴△DEG≌△BFG，∴EG＝FG，即BD平分EF．（2）BD仍然平分EF．理由：∵AE＝CF，EF＝EF，∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE∵DE⊥AC、BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFG＝90°在Rt△ABF和Rt△CED中，AF=CEAB=CD∴△ABF≌△CED．∴ED＝BF，∵在△DEG和△BFG中，∠EGD=∠BGF∠DEG=∠BFG∴△DEG≌△BFG，∴EG＝FG，即BD平分EF【总结提升】本题考查了三角形的判定和三角形的性质．解决本题亦可连接EB、FD，证明四边形BEDF是平行四边形，利用平行四边形的性质说明BD平分EF．翻折型3．（2023秋•来宾期末）如图，△ABE和△ADC分别沿着边AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE与DC交于点F，则∠EFC的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．45°【思路引领】根据∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，三角形的内角和定理分别求得∠BCA，∠ABC，∠BAC的度数，然后根据折叠的性质求出∠D、∠DAE、∠BEA的度数，在△AOD中，根据三角形的内角和定理求出∠AOD的度数，继而可求得∠EOF的度数，最后根据三角形的外角定理求出∠EFC的度数．【解答】解：在△ABC中，∵∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，∴设∠BCA为28x，∠ABC为5x，∠BAC为3x，则28x+5x+3x＝180°，解得：x＝5°，则∠BCA＝140°，∠ABC＝25°，∠BAC＝15°，由折叠的性质可得：∠D＝25°，∠DAE＝3∠BAC＝45°，∠BEA＝140°，在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝110°，∴∠EOF＝∠AOD＝110°，∴∠EFC＝∠BEA﹣∠EOF＝140°﹣110°＝30°．故选：B．【总结提升】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．4．（2021秋•高坪区校级期中）如图，△ABE、△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的．若∠BAC：∠ABC：∠ACB＝28：5：3，则∠EFC的度数为（）A．75° B．80° C．95° D．100°【思路引领】由题意设∠BAC＝28x，∠ABC＝5x，∠ACB＝3x，利用三角形的内角和定理可求解x值，即可求解∠BAC＝140°，∠ABC＝25°，∠ACB＝15°，再由折叠的性质可求得∠FBCC，∠FCB的度数，根据三角形外角的性质可求解．【解答】解：∵∠BAC：∠ABC：∠ACB＝28：5：3，∴设∠BAC＝28x，∠ABC＝5x，∠ACB＝3x，∴28x+5x+3x＝180°，解得x＝5，∴∠BAC＝140°，∠ABC＝25°，∠ACB＝15°，由折叠可知：∠EBA＝∠ABC＝25°，∠ACD＝∠ACB＝15°，∴∠FBC＝50°，∠FCB＝30°，∴∠EFC＝∠FBC+∠FCB＝50°+30°＝80°，故选：B．【总结提升】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，通过方程求解∠BAC，∠ABC，∠ACB的度数是解题的关键．5．（2019秋•孝义市期中）（1）如图1，将两个全等的三角板如图摆放，其中△ABC和△ADE的直角顶点重合在点A处，∠ADE＝∠ABC＝60°，且点D在AC上，点B在AE上，∠C＝∠E＝30°，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，BC和DE相交于点F．求证：CF＝EF．（2）如图2，将这两个三角板如图摆放，直角顶点A仍然重合，BC与DE相交于点F，AC与DE交于点M，AE和BC交于点N．猜想CF和EF还相等吗？说明理由．（3）如图3，在（2）的基础上，若∠DAM＝30°．求证：线段DF和AC互相垂直平分．【思路引领】（1）证明△CDF≌△EBF，根据全等三角形的性质证明结论；（2）证明△BAN≌△DAM，得到AN＝AM，得到CM＝EN，证明△CMF≌△ENF，根据全等三角形的性质证明结论；（3）连接AF，分别证明△ACFA≌△AEF、△ADM≌△AFM、△CFM≌AFM，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE∴AC﹣AD＝AE﹣AB，即CD＝EB，在△CDF和△EBF中，∠C=∠E∠CFD=∠EFB∴△CDF≌△EBF（AAS）∴CF＝EF；（2）解：相等．理由如下：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠CAE，即∠BAN＝∠DAM，在△BAN和△DAM中，∠BAN=∠DAMAB=AD∴△BAN≌△DAM（ASA）∴AN＝AM，∴AC﹣AM＝AE﹣AD，即CM＝EN，在△CMF和△ENF中，∠C=∠E∠CFM=∠EFN∴△CMF≌△ENF（AAS）∴CF＝EF；（3）证明：连接AF，当∠DAM＝30°时，∠AMD＝180°﹣∠D﹣∠DAM＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC⊥DF，即∠AMD＝∠AMF＝∠CMF＝90°，∠CAN＝∠DAE﹣∠DAM＝90°﹣30＝60°，在△ACF和△AEF中，AC=AECF=EF∴△ACFA≌△AEF（SSS），∴∠CAF＝∠EAF，∴∠CAF＝∠EAF=12∠CAN＝在△ADM和△AFM中，∠DAM=∠FAMAM=AM∴△ADM≌△AFM（ASA）∴DM＝FM，即AC平分DF，在△CFM和AFM中，∠C=∠FAMFM=FM∴△CFM≌AFM（ASA）∴AM＝CM，即DF平分AC，综上所述，AC和DF互相垂直平分．【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．旋转型6．（2019•广阳区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③连接EF，△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S四边形AFPE＝S△APC，其中正确的有几个（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【思路引领】①②③连接AP，证明△AEP≌△CFP（ASA）即可判断；EF不是中位线，所以EF≠AP；证明△AFP≌△BEP（SAS），S四边形AFPE＝S△BPE+S△CPF，即可判断⑤；【解答】解：①如图1：连接AP，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中点，∴AP＝CP，∠BAP＝∠C＝45°，∵∠EPF＝90°，∴∠EPA+∠APF＝90°，∠APF+∠CPF＝90°，∴∠APE＝∠CPF，∴△AEP≌△CFP（ASA），∴AE＝CF；∴①②正确；③由△AEP≌△CFP（ASA），∴EP＝PF，∴△EPF是等腰直角三角形，∴③正确；④∵EF不是中位线，∴EF≠AP；故①②③正确；⑤∵AE＝CP，AP＝BP，∠B＝∠FAP＝45°，∴△AFP≌△BEP（SAS），∴S四边形AFPE＝S△BPE+S△CPF，⑤∵AE＝CF，P是BC中点；∴过点P作△APE和△PFC的高，高是相等的，∴S△APE＝S△PFC，∴S四边形AFPE＝S△APC，∴⑤正确；故选：C．【总结提升】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解决问题的关键．7．（2022秋•道县期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当MN绕点C旋转到图1的位置时，其他条件不变，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系？写出结论，并写出证明过程．（2）当MN绕点C旋转到图2的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请写出你的结论，并加以证明；（3）当MN绕点C旋转到图3的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请直接写出结论，不要求写出证明过程）【思路引领】（1）由条件可证明△ADC≌△CEB，利用全等三角形的性质和线段的和差可证得结论；（2）同（1）可证得△ACD≌△CBE，利用全等三角形的性质可求得DE＝AD﹣BE；（3）同理可证△ACD≌△CBE，则可得出答案．【解答】解：（1）结论：DE＝AD+BE．理由：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝∠DCA+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中∠ADC=∠BEC∠DAC=∠ECB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∵DE＝CD+CE，∴DE＝AD+BE；（2）不成立，结论：DE＝AD﹣BE．理由：同理可证得△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE；（3）不成立，结论：DE＝BE﹣AD．理由：同理可证得△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∵DE＝CD﹣CE，∴DE＝BE﹣AD，【总结提升】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，由条件证得△ADC≌△CEB是解题的关键．8．（2020秋•东辽县期末）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．【思路引领】（1）如图，连接BF，由△ABC≌△DBE，可得BC＝BE，根据直角三角形的“HL”判定定理，易证△BCF≌△BEF，即可得出结论；（2）同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AC＝AF+CF＝AF+EF，即AF+EF＝DE；（3）同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．【解答】（1）证明：如图1，连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，BC=BEBF=BF∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴CF＝EF；（2）如图2，连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，BC=BEBF=BF∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴EF＝CF，∴AF+EF＝AF+CF＝AC＝DE；（3）如图3，连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，BC=BEBF=BF∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴CF＝EF，∵AC＝DE，∴AF＝AC+FC＝DE+EF．【总结提升】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，学生应熟练掌握证明三角形全等的几个判定定理及其性质．解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．9．（2018秋•邗江区期末）活动一：已知如图1，AB⊥AD，DE⊥AD，BC⊥CE，且AB＝CD．求证：△ABC≌△DCE．活动二：动手操作，将两个斜边长相等的直角三角形纸片按图2放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°．把△DCE绕点C按顺时针方向旋转15°得到△MCN．如图3，连接MB，求证：△ACB≌△CBM．活动三：如图4，已知点C坐标为（0，2），B为x轴上一点，△ABC是以BC为腰的在第一象限的等腰直角三角形，∠BCA＝90°，当B点从原点出发沿x轴正半轴运动时，在图中画出A点运动路线．并请说明理由．【思路引领】活动一：利用同角的余角相等，证明∠B＝∠ECD，根据ASA即可证明；活动二：根据SAS即可证明；活动三：作AH⊥y轴于H．只要证明△ACH≌△CBO，可得AH＝OC＝2，推出点A到y的距离为定值，推出点A在平行于y轴的射线上运动，射线与y轴之间的距离为2（如图中虚线）．【解答】活动一：证明：如图1，∵AB⊥AD，BC⊥CE，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∠ECD+∠BCA＝90°，∴∠ABC＝∠DCE，∵∠BAC＝∠CDE＝90°，AB＝CD，∴△ABC≌△DCE（ASA）．活动二：证明：如图3，∵∠CNM＝90°，∠CMN＝30°，∴∠MCN＝60°，∵∠BCN＝15°，∴∠MCB＝45°，∵∠A＝45°，∴∠A＝∠BCM，∵AB＝CM，AC＝CB，∴△ACB≌△CBM（SAS）．活动三：解：作AH⊥y轴于H．∵C（0，2），∴OC＝2，∵∠AHC＝∠COB＝∠ACB＝90°，∴∠HAC+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCO＝90°，∴∠HAC＝∠BCO，∵AC＝CB，∴△ACH≌△CBO（AAS），∴AH＝OC＝2，∴点A的横坐标为2，∴点A在平行于y轴的射线上运动，射线与y轴之间的距离为2（如图中竖直虚线）．【总结提升】本题考查了三角形综合题，全等三角形的判定及性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．类型二全等三角形中的动点问题10．（2020秋•姜堰区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）当CF＝AB时，点E运动多长时间？并说明理由．【思路引领】（1）根据余角的性质即可得到结论；（2）如图，分点E在射线BC上移动和点E在射线CB上移动两种情况，证△CEF≌△ACB得CE＝AC＝5，继而得出BE的长，从而得出答案．【解答】解：（1）∵∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD；（2）如图，当点E在射线BC上移动时，∵∠A＝∠BCD，∠BCD＝∠ECF，∴∠A＝∠ECF，在△CFE与△ABC中，∠CEF=∠ACB∠ECF=∠A∴△CEF≌△ACB（AAS），∴CE＝AC＝7，∴BE＝BC+CE＝12，∴t＝12÷2＝6（s）；当点E在射线CB上移动时，同理△CF′E′≌△CBA（AAS），∴CE′＝AC＝7，∴BE′＝CE′﹣CB＝2，∴t＝2÷2＝1（s）总之，当点E在射线CB上移动6s或1s时，CF＝AB．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．11．（2022秋•昭阳区期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP全等？【思路引领】（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，据（1）同理可得当BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC时两三角形全等，求x的解即可．【解答】解：（1）结论：△BPD与△CQP全等．理由：经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BPD和△CQP中，BD=PC∠ABC=∠ACB∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD＝PC，BP＝CQ时，②当BD＝CQ，BP＝PC时，两三角形全等；①当BD＝PC且BP＝CQ时，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD＝CQ，BP＝PC时，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x=15故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为154cm/s时，能够使△BPD与△CQP【总结提升】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．12．（2022秋•淅川县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．【思路引领】（1）由题意得t+3t＝6+8，即可求得P、Q两点相遇时，t的值；（2）根据题意即可得出CP的长为6-t(t≤6)t-6(6（3）分两种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得CQ的长．【解答】解：（1）由题意得t+3t＝6+8，解得t=7当P、Q两点相遇时，t的值为72（2）由题意可知AP＝t，则CP的长为6-t(t≤6)t-6(6（3）当P在AC上，Q在BC上时，∵∠ACB＝90，∴∠PCE+∠QCF＝90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∴△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，∴CQ＝8﹣3t＝5；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣t＝3t﹣8，解得t＝3.5，∴CQ＝3t﹣8＝2.5，当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．【总结提升】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．13．如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P，在直线AE上取点Q使得BQ＝BP（1）如图1，当点P在点线段AC上时，求证：∠BQA+∠BPA＝180°；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由；（3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为AQ﹣AP＝2PC或AP﹣AQ＝2PC．【思路引领】（1）作BD⊥AE于D，根据角平分线的性质得到BD＝BC，证明Rt△DBQ≌Rt△CBP，根据全等三角形的性质得到∠BQA＝∠BPC，证明结论；（2）作BM⊥AE垂足为M，分别证明△ABM≌△ABC、Rt△DBQ≌Rt△CBP，根据全等三角形的性质解答；（3）分点P在线段AC上、点P在线段AC的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：如图1，作BD⊥AE于D，∵AB是∠EAF的平分线，BC⊥AF，BD⊥AE，∴BD＝BC，在Rt△DBQ和Rt△CBP中，BD=BCBQ=BP∴Rt△DBQ≌Rt△CBP（HL），∴∠BQA＝∠BPC，∵∠BPC+∠BPA＝180°，∴∠BQA+∠BPA＝180°；（2）解：AQ﹣AP＝2AC，理由如下：如图2，作BM⊥AE垂足为M，∵BC⊥AF，∴∠BMA＝∠BCA＝90°，在△ABM和△ABC中，∠BMA=∠BCA∠BAM=∠BAC∴△ABM≌△ABC（AAS），∴∠ABM＝∠ABC，AM＝AC，BM＝BC，在Rt△MBQ和Rt△CBP中，BM=BCBQ=BP∴Rt△DBQ≌Rt△CBP（HL），∴QM＝PC，∴AQ﹣AP＝（AM+QM）﹣（PC﹣AC）＝2AC；（3）当点P在线段AC上时，如图1，AQ﹣AP＝2PC，理由如下：∵Rt△DBQ≌Rt△CBP，∴DQ＝PC，由（2）可知，AD＝AC，∴AQ﹣AP＝AD+DQ﹣（AC﹣PC）＝DQ+PC＝2PC；当点P在线段AC的延长线上时，如图3，AP﹣AQ＝2PC，理由如下：作BM⊥AE垂足为M，∵Rt△MBQ≌Rt△CBP，∴MQ＝PC，由（2）可知，AM＝AC，∴AP﹣AQ＝AC+PC﹣（AM﹣MQ）＝MQ+PC＝2PC，故答案为：AQ﹣AP＝2PC或AP﹣AQ＝2PC．【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．（2022春•张家港市期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．（1）求证：∠BAM＝∠BCA；（2）动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且S△ABP=52S△BQC，求此时②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得△APB与△BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．【思路引领】（1）先根据角平分线得出∠BAM＝∠BAN，再根据等边对等角得出∠BAN＝∠BCA，即可得出结论；（2）①过点B作BH⊥AM于H，先判断出BH＝BD，再用S△ABP=52S△②分点P在射线AM和射线AM的反向延长线上，由△APB与△BQC全等结合条件判断出AP＝CQ，进而建立方程求解，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AB平分∠MAN，∴∠BAM＝∠BAN，∵AB＝BC，∴∠BAN＝∠BCA，∴∠BAM＝∠BCA；（2）解：①如图②，过点B作BH⊥AM于H，∵AB平分∠MAN，BD⊥AN，∴BH＝BD，∵S△ABP=52S△∴12AP•BH=52•12∴AP=52由运动知，AP＝t，AQ＝3t，∵AC＝5，∴CQ＝AC﹣AQ＝5﹣3t，∴t=52（5﹣3∴t=25②Ⅰ、当点P在射线AM上时，如图