28.1锐角三角函数（第二课时）（导学案）九年级数学下册（人教版）

学习目标1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比，对边与邻边的比都是一个固定值，引出余弦、正切的概念；2.理解余弦、正切的概念并能根据概念正确进行计算；3.经历余弦、正切概念的发现与学习过程，培养学生由特殊到一般的归纳推理能力.引导学生体验数学活动，探索与发现新知识，使学生会用数学的思维方式去思考、发现、总结、验证.重点难点突破★知识点1：余弦的概念：如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=∠A所邻的边斜边=b★知识点2：正切的概念：如图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A所对的边邻边★知识点3：锐角三角函数的概念：在直角三角形中，对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.核心知识一、余弦的概念：如图，在直角三角形中，我们把锐角A的_________与_________的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=()()=二、正切的概念：如图，在直角三角形中，我们把锐角A的______与_________的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=()()=三、锐角三角函数的概念：在直角三角形中，对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有__________________________与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.复习巩固【提问】简述正弦的概念？新知探究【猜想】在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时∠A的对边与斜边的比是否也随之确定呢？【探索一】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，那么ACAB与A'C'A'B'【探索二】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，你有其它方法能够证明ACAB与【问题一】你发现了什么？余弦的概念：【问题二】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA与cosB之间有什么关系？典例分析例1在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求cosA的值.【针对训练】1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°且BC=2，求cosA的值.2．（2021·湖北宜昌·中考）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（

）A．23 B．22 C．43 例2如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32，AC=43，则A．4 B．8 C．83 D．【针对训练】1.Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝352.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=45新知探究【猜想】在Rt△ABC中，∠C=90°°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比就随之确定，此时对边与邻边的比是否也随之确定呢？【探索三】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，则BCAC【问题三】你发现了什么？余弦的概念：锐角三角函数的概念：在直角三角形中，对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有__________________________与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.∠A的正弦值：∠A的余弦值：∠A的正切值：典例分析例3在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求tanA的值.【针对训练】1．（2020·浙江杭州中考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB2.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（

）A．55 B．105 C．2 D3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____，sinB=_____，cosB=_____，tanB=_____.4．（2022·内蒙古通辽·中考）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE=AB，BE=DE，则tan∠BDE=．例4如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝34，AC＝12，则BC=【针对训练】1.如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=32(1)CD的长(2)cosB的值感受中考1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在△ABC中，∠B=60°，AB=4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC长可以是(

A．1 B．2 C．6 D．82．（2023·四川南充·中考）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC=α，则A，C两处相距（

）A．xsinα米 B．xcosα米 C．x⋅sinα课堂小结1.通过本节课的学习,你学会了哪些知识？2.简述余弦、正切的概念？3.简述锐角三角函数的概念？【参考答案】新知探究【猜想】在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时∠A的对边与斜边的比是否也随之确定呢？确定【探索一】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，那么ACAB与A'C'A'B'ACAB=证明：∵∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'∴ACA'∴ACAB=【探索二】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，你有其它方法能够证明ACAB与证明：∵∠C=∠C'=90°,∠A=∠A’∴∠B=∠B’∴sinB=sinB’则

ACAB【问题一】你发现了什么？在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，它的邻边与斜边的比是一个固定值，且比值的大小与直角三角形大小无关.余弦的概念：如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=∠A所邻的边斜边=bc【问题二】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA与cosB之间有什么关系？sinA=cosB典例分析例1在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求cosA的值.解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2∴AB=4,由勾股定理得AC=AB2−∴cosA=ACAB=2【针对训练】1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°且BC=2，求cosA的值.解：∵∠C=90°，∠A=45°，BC=2∴AC=2由勾股定理得AB=AC2+∴cosA=ACAB=22．（2021·湖北宜昌·中考）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（

B

）A．23 B．22 C．43 例2如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=43，则A．4 B．8 C．83 D．【针对训练】1.Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝35，AC＝6cm，那么BC等于__82.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=45，则AC=__5新知探究【猜想】在Rt△ABC中，∠C=90°°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比就随之确定，此时对边与邻边的比是否也随之确定呢？确定【探索三】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，则BCAC证明：∵∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'∴ACA'∴BCAC【问题三】你发现了什么？在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，它的对边与邻边的比是一个固定值，且比值的大小与直角三角形大小无关.余弦的概念：如图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A所对的边邻边=ab锐角三角函数的概念：在直角三角形中，对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有____唯一的确定的值____与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.∠A的正弦值：sinA=∠A所对的边斜边=ac∠A的余弦值：cosA=∠A所邻的边斜边=b∠A的正切值：tanA=∠A所对的边邻边=a典例分析例3在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求tanA的值.解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2∴AB=4,由勾股定理得AC=AB2−∴tanA=BCAC=2【针对训练】1．（2020·浙江杭州中考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（B）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB2.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（

D

）A．55 B．105 C．2 D3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.sinA=__31313___，cosA=__213sinB=___21313__，cosB=____31313_，4．（2022·内蒙古通辽·中考）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE=AB，BE=DE，则tan∠BDE=2−1例4如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝34，AC＝12，则BC=9【针对训练】1.如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=32，求：(1)CD的长(2)cosB的值（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵在Rt△ADC中，tanC=