2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第7章 第3节　空间直线、平面的平行

塞空间直线、平面的平行

［考试要求］从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空

间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.

［走进教区2节实基础］回顾知识•激活技能

©梳理•必备知识

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

判/〃a)

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平

定aUa}0/〃

行，则该直线与此平面平行（简记为“线线平行IdaJ

定心

台线面平行”）

理a

性l//a]

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平

质

面与此平面相交,那么该直线与交线平行（简记

定

为“线面平行今线线平行”）

理=^l//b

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条相交直线与B、

b〃B

判定另一个平面平行，则这两个平

aCb=P>=a〃夕

定理面平行（简记为“线面平行寺面

口aUa

面平行”）bua>

两个平面平行，如果另一个平a//[i]

性质

面与这两个平面相交,那么两=>a〃〃

定理6n尸J

条交线平行不

［常用结论］

平行关系中的三个重要结论

（1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a_La,a16,则a〃4.

(2)若a〃夕，aUa,则a//

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃夕，(i//y,则a〃y.

©激活•基本技能

一、易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直

线・()

(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

()

(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.

()

(4)若直线。与平面a内无数条直线平行，则。〃a.()

［答案］(1)X(2)X(3)V(4)X

二'教材习题衍生

1.下列命题中正确的是()

A.若a,匕是两条直线，且。〃儿那么。平行于经过匕的任何平面

B.若直线a和平面a满足。〃a,那么。与a内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线a,8和平面a满足a〃匕，a//a,bQa,则Z?〃a

D［A错误，。可能在经过人的平面内；B错误，。与a内的直线平行或异

面；C错误，两个平面可能相交.］

2.在正方体中，E是。。的中点，则与平面ACE的

位置关系为.

平行［如图所示，连接交AC于尸，连接EE则EE是的中位

线,

：.EF//BD\,

又EFU平面ACE,

2

BDiQ平面ACE,

平面ACE.］

3.设a,夕，y为三个不同的平面，a,。为直线，给出下列条件：

①aUa,bu‘,a〃尸，b//a；②a〃%夕〃y；

③a_Ly,S_Ly；④a_La,b邛,a//b.

其中能推出a〃4的条件是.(填上所有正确的序号)

②④［①③中％尸可能相交也可能平行，②④中a〃尸」

4.如图，在三棱锥A-8CO中，E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,D4的

中点，则

(1)当AC,80满足条件时，四边形EFG”为菱形；

(2)当AC,8。满足条件时，四边形EFG”为正方形.

(\)AC=BD(2)AC=B。且ACL8。［(I)、•四边形EFG”为菱形，：.EF

=EH,：.AC=BD.

(2)V四边形EFGH为正方形，；.EF=EH且EFLEH,

\'EF//AC,EH//BD,JLEF=^AC,EH=±BD,

.*.AC=3。且ACLBD］

［细研考点•突破题型］重难解惑直击高考

I：考点一与线'面平行相关命题的判定《题组通关

1.a,4是两个平面，〃?，〃是两条直线，则下列命题中错误的是()

A.若机_L〃，m.Lafn］贝！Ja_L/?

B.若mUa,a//［i,则相〃夕

C.若aC0=l,m〃a,m///3,则〃2〃/

D.若机_L〃，m.La9〃〃夕，则a_L4

D［由a,4是两个平面，阳，〃是两条直线，知在A中，帆_L〃，n

工仇由面面垂直的判定得aJ_£,故A正确；在B中，〃zu©a///3,由面面平

行的性质得加〃少故B正确；在C中，aC0=l,m//a9m〃}由线面平行的

3

性质得〃2〃/,故C正确；在D中，m-Ln,rn^-a,n//fi,得a与4相交或平行,

故D错误.］

2.（2021.湘豫名校联考）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一

部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一

个面为梯形的五面体称为“羡除”，下列说法：

①“羡除”有且仅有两个面为三角形；

②“羡除”一定不是台体；

③不存在有两个面为平行四边形的“羡除”；

④“羡除”至多有两个面为梯形.

其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

C［如图所示，AE〃8F〃CO,四边形ACOE为梯形.对于①，由题意知“羡

除”有且仅有两个面为三角形，故①正确；对于②，因为4石〃3尸〃。£）,所以“羡

除”一定不是台体，故②正确；对于③，假设四边形和四边形BCD尸为平

行四边形，则尸〃CD,AE=BF=CD,则四边形ACDE为平行四边形，与

已知四边形ACZJE为梯形矛盾，故假设不成立，故③正确；对于④，若AE,BF,

CO两两不相等，则“羡除”有三个面为梯形，故④错误，故选C.］

3.如图所示，正方体ABCD-AiBi。。］的棱长为2,E,尸为A4i,AB的中

点，M点是正方形内的动点，若GM〃平面CDE,则M点的轨迹长度

为.

也［如图所示，AB的中点“，85的中点G,连接G",C\H,C\G,EG,

HF.

4

可得四边形EGCIQI是平行四边形，，CiG〃。归，又GGZ平面CDiE,D\E

u平面CDiE,可得GG〃平面CDiE.同理可得G”〃CFGH〃平面CDiE,又

CiHnCiG=Ci,...平面GG”〃平面CD1EYM点是正方形AB84内的动点，

CiM〃平面CDiE,.•.点M在线段GH上.

.•.M点的轨迹长度为G/7=^12+12=V2.］

畲反恩仁懵1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的

各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最

熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.

2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.

(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反

例否定结论或用反证法推断命题是否正确.

，考点二直线与平面平行的判定与性质《多维探究

考向1直线与平面平行的判定

［典例1-1］如图，P是平行四边形A3CO所在平面外的一点，E,F分别

为AB,PO的中点，求证：Ab〃平面PCE./这!)

［四字解题］

读相算思

取PC的中点M,证明

ABCD是平行四边线面平线线平行

AF//EM转化

形，E,F分别为A5,行的证

取CD的中点G,证明平化归

PD的中点明方法面面平行

面AFG〃平面PCE

［解］法一：(应用线线平行的判定定理)如图，设M为PC的中点，连接

EM,MF,

5

p

「E是AB的中点，

J.AE//CD,且AE=gc。,

又•：MEH3、且MF=；CO,

：.AE^FM,，四边形AEM尸是平行四边形,

J.AF//EM,

又..工网平面PCE,EMU平面PCE,

...AF〃平面PCE.

法二：（应用面面平行的性质定理）如图，设G为CD的中点，连接EG,

AG,

F,G分别为PD,CO的中点,

...FG〃尸C.同理AG〃EC,

又FGQ平面PCE,AGQ平面PCE,

PCU平面PCE,ECU平面PCE,

...尸G〃平面PCE,AG〃平面PCE,

又EG,AGU平面APG,FGHAG=G,

，平面AFG〃平面PCE,又Abu平面AFG,

〃平面PCE.

考向2线面平行性质定理的应用

［典例1一2］如图，在直四棱柱ABCD-AiBCiOi中，E为线段AO上的任意

一点（不包括A,。两点），平面CEGA平面

6

AiA

证明：EG〃平面AAiBB.

［证明］在直四棱柱ABCD-AiBCiOi中，BB\//CC\,BBC平面BBiD,CCi

Q平面BB\D,

所以CG〃平面BB\D.

又CGu平面CECi,平面CECn平面8BiO=FG,所以CG〃FG.

因为〃CCi,所以BB\//FG.

而BBC平面AAiBB,EGQ平面A41B3,

所以EG〃平面AA\B\B.

畲反思领悟证明直线与平面平行的方法

(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交).

(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线.常利

用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作

一平面找其交线.

(3)面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行

于另外一个平面，即a〃尸，aUa=a〃价②两个平面平行，不在两个平面内的

一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行，即a〃.，ada,

aQ£,a〃a今a〃夕.

［跟进训练］

1.如图所示，已知四边形ABC。是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线

段EP的中点.

(1)求证：AM〃平面BDE；

(2)若平面AOMC平面BDE=l,平面ABMA平面BDE=m,试分析I与m

的位置关系，并证明你的结论.

7

［解］(1)证明：如图，记AC与80的交点为。，连接。£

因为0,M分别为AC,Eb的中点，四边形ACER是矩形，

所以四边形A0EM是平行四边形，所以AM〃0E.

又因为0EU平面BDE,平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

(2)1〃m,明如下：

由(1)知AM〃平面BDE,

又AMU平面AOM,平面ADMn平面BDE=/,

所以1//AM,

同理，AM〃平面8DE,

又AMU平面平面平面8DE=〃z,

所以m//AM,所以/〃m.

□考点三平面与平面平行的判定与性质枷生共研

［典例2］如图所示，在三棱柱ABC-AiB。中，E,F,G,”分别是AB,

AC,AiBi,4。的中点，求证:

⑴B,C,H,G四点共面；

⑵平面ERli〃平面BCHG.

［证明］(1)VG,H分别是AiB,AC的中点,

...GH是△A15C1的中位线,GH//B\C\.

义,：B\C\〃BC,

J.GH//BC,

：.B,C,H,G四点共面.

(2)在△ABC中，E,尸分别为AB,AC的中点,

：.EF//BC.

8

,?EE。平面BCHG,BCC平面BCHG,

.♦.所〃平面BCHG.

,：A\G统EB,

，四边形AiEBG是平行四边形，则A\E//GB.

•；AiEQ平面BCHG,GBU平面BCHG,

.♦.4E〃平面BCHG.

,：A}EC\EF=E,，平面£7%〃平面BCHG.

［母题变迁］

1.在本例条件下，若点。为BG的中点，求证：HO〃平面ABiBA.

［证明］如图所示，连接8。，HD,A\B,

•.•。为的中点，”为4G的中点,

：.HD//A\B.

又HIK平面AiBiBA,

AiBU平面AiBiBA,

:.HD〃斗曲4B1BA.K

2.在本例条件下，若。I,。分别为Bi。，8C的中点，求证：平面

〃平面AGD

［证明］如图所示，连接AC交AG于点M,

•.•四边形AiACCi是平行四边形,

.♦.M是AC的中点，连接

VD为的中点,

：.A\B//DM.

9

「AiBU平面AIBOI,DWQ平面A18D1,

〃平面

又由三棱柱的性质知，DiC僚BD,

，四边形BDCiDi为平行四边形，：.DC\//BD\.

又。。过平面AiBOi,

BDiU平面4801,二。。〃平面AiBDi.

又•.•OGAOM=O,DC\,OMU平面A。。，

二平面AiB£>i〃平面AGD

畲反思领悟证明