第6章《一次函数》解答题专练　2022-2023学年江苏省南京市苏科版八年级数学上册

第6章《一次函数》解答题专练2022-2023学年江苏省南京市苏科版八年级数学上册一．解答题（共19小题）1．（2022秋•鼓楼区校级月考）甲、乙两名大学生去距学校36km的某乡镇进行社会调查，他们从学校出发，骑电动车行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车继续步行向前走，乙骑电动车按原路返回，取到相机后马上骑电动车追甲，在距乡镇13.5km处追上甲并同车前往乡镇，若电动车速度始终不变，设甲与学校相距y甲（km），乙与学校相距y乙（km），甲离开学校的时间为xmin，y甲，y乙与x之间的函数图象如图，结合图象解答下列问题：（1）电动车的速度为km/min；（2）甲步行所用时间为min；（3）乙返回到学校时，甲与学校相距多远？2．（2022春•建邺区校级期末）颜主任计划为年级“英文歌曲大赛”购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需200元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需260元．颜主任准备购买A、B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的25（1）A、B两种奖品的单价分别是多少元？（用二元一次方程组解决问题）（2）A种奖品至少买几个？（用一元一次不等式解决问题）（3）在购买方案中最少费用是元．3．（2021秋•建邺区期末）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为20%（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB、AC．根据以上信息，回答下列问题：（1）在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用小时．（2）求线段AB对应的函数表达式；（3）先用普通充电器充电ah后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h，请在图2中画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象，并标注出a所对应的值．4．（2021秋•秦淮区月考）甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，如图是甲、乙两队挖掘隧道长度y（米）与挖掘时间x（小时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：（1）在前2小时的挖掘中，甲队的挖掘速度为米/小时，乙队的挖掘速度为米/小时；（2）①当2≤x≤6时，求出y乙与x之间的函数表达式；②开挖几小时后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队？5．（2021春•鼓楼区校级月考）解答下列问题．（1）如图，A（﹣1，3），B（0，1），求射线BA对应的函数表达式．（2）射线BA（填“是”或“不是”）函数y＝|x﹣1|+|x|的图象的一部分．（3）直接画出函数y＝|x﹣1|+|x|的图象．（4）若不等式|x﹣1|+|x|＜a无解，则a的取值范围是．6．（2021秋•溧水区期末）已知A、B两地相距3km，甲骑车匀速从A地前往B地，如图表示甲骑车过程中离A地的路程y甲（km）与他行驶所用的时间x（min）之间的关系．根据图象解答下列问题：（1）甲骑车的速度是km/min；（2）若在甲出发时，乙在甲前方1.2km的C处，两人均沿同一路线同时匀速出发前往B地，在第4分钟甲追上了乙，两人到达B地后停止．请在下面同一平面直角坐标系中画出乙离B地的距离y乙（km）与所用时间x（min）的关系的大致图象；（3）在（2）的条件下，求出两个函数图象的交点坐标，并解释它的实际意义．7．（2021秋•鼓楼区校级期末）某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本y1（单位：元）、收入y2（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．（1）分别求出y1、y2与x的函数表达式；（2）若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，求这天的产量．8．（2021秋•鼓楼区校级期末）实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去．数学研究：如图，折线A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y（km）与甲行进时间x（h）之间的部分函数图象．（1）求线段AB对应的函数表达式；（2）求点E的坐标；（3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？9．（2021秋•南京期末）A、B两地相距60km．甲、乙两车从A地出发去B地，乙车的速度是甲车速度的4倍，甲车比乙车早1h出发．甲、乙两车距离A地的路程y（km）与乙车出发的时间x（h）之间的函数关系如图①所示．（1）甲车的速度是km/h；（2）乙车出发几小时后追上甲车？（3）设两车之间的距离为skm，甲车行驶的时间为th，在图②的平面直角坐标系中画出s与t的函数图象（请标出必要的数据）．10．（2021秋•南京期末）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠病毒疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务．乙地80天完成接种任务．在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天）间的关系如图所示．（1）乙地每天接种的人数为万人，a的值为；（2）当甲地接种速度放缓后，求y与x之间的函数表达式；（3）当甲地接种速度放缓后，完成接种任务之前，何时与乙地接种人数相同？相同人数是多少？11．（2021秋•鼓楼区期末）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．已知A，B两地相距9000m，甲的步行速度为100m/min，他每走半个小时就休息15min，经过2小时到达目的地．乙的步行速度始终不变，他在途中不休息，在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示（甲、乙同时出发，且同时到达目的地）．（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；（2）求甲、乙两人在途中相遇的时间．12．（2020秋•鼓楼区期末）小明驾驶轿车从老家回南京．出发前，油箱有余油30L，沿途的高速公路服务区A离老家200km．轿车到南京的距离S（km）与轿车行驶时间x（h）之间的函数图象如图①．到达高速公路服务区A后立刻加油26L（加油时间忽略不计），休息了半个小时，然后以120km/h的速度回到南京．（小明的轿车以100km/h的速度行驶时每100km平均耗油8L，以120km/h的速度行驶时每100km平均耗油10L．）（1）观察图象，前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是km/h；（2）图象中a＝，b＝；（3）直接写出轿车的余油量Q（L）与轿车行驶的时间x（h）之间的函数表达式，说明自变量x的取值范围，并在图②中画出Q（L）与x（h）之间的函数图象．13．（2020秋•鼓楼区期末）请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数y＝|x﹣1|的图象和性质，并解决问题．（1）根据函数表达式，填写下表：x…﹣2﹣101234…y…31123…（2）利用（1）中表格画出函数y＝|x﹣1|的图象；（3）观察图象，当x时，y随x的增大而减小；（4）利用图象，直接写出不等式|x﹣1|＜12x14．（2021春•玄武区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（4，3），C（0，3），P为矩形ABCO内一点（不包括边界），过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线把矩形ABCO分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的面积的值等于OA的长度，则称点P为矩形ABCO的“常积点”．（1）在点D（154，14），E（2，2），F（1，53），G（3，53）中，是矩形ABCO“常积点”的为（2）若点H（3m﹣1，2m）是矩形ABCO的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在x轴上，求m的值；（3）若点M是矩形ABCO的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在x轴上，一次函数y＝k（x﹣3）+5（k为常数，且k＞0）的图象上“常积点”M的个数随着k的值变化而变化，请直接写出该图象上“常积点”M的个数及对应的k的取值范围．15．（2020秋•建邺区期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE，求证△AED是等腰直角三角形．（2）如图2，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，则点D的坐标为．16．（2020秋•玄武区期末）数学兴趣小组的同学们受《乌鸦喝水》故事的启发，在数学实验室中，利用带刻度的容器和匀速流水的水龙头进行数学实验．（1）如图，有三种不同形状的容器，现向三种容器匀速注水，恰好注满时停止．已知注水前图①的容器中有200ml的水，图②容器中有100ml的水，图③容器中没有水，是空的．图①和图②的注水速度均为5ml/s，图③的注水速度为10ml/s．设容器中水的体积为y（单位：ml），注水时间为x（单位：s）．请分别写出三个容器中y关于x的函数表达式．（2）如图④，同学们自己制作了一个特殊的容器，这个特殊容器有上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上圆柱体底面圆的半径是下圆柱体底面圆的半径的一半．已知这个特殊容器的高为20cm，注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器匀速注水，直至容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度h（单位：cm），前5次数据如下表所示．注水时间t/s05101520…水面高度h/cm45678…①在平面直角坐标系中，请画出水面高度h关于注水时间t的函数图象，并标注相关数据；②在水面高度h满足6≤h≤16时，则注水时间t的取值范围是．17．（2021秋•鼓楼区校级期末）某数学小组探究下列问题：商场将甲、乙两种糖果按照质量比为1：2混合成什锦糖售卖、设甲、乙糖果的单价分别为m元/千克、n元/千克，求什锦糖的单价．列式可以求解．（1）小红根据题目中的数量关系，通过列式得出什锦糖的单价，请你按小红的思路完成解答：不列式，画图可以求解吗？（2）小莉设计了一幅算图（如图①），设计方案与使用方法如下：设计方案：过点A（1，0），C（3，0）分别作x轴的垂线AB，CD．使用方法：把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标表示，连接EF，EF与AB的交点记为P，则点P的纵坐标就是什锦糖的单价．请你用一次函数的知识说明小莉方法的正确性；增加一种糖果呢？（3）小明将原问题的条件改为：甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合成什锦糖售卖，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为12元/千克、15元/克、16元/千克．请你帮小明在图②中设计一幅算图，求出什锦糖的单价．要求：标注必要的字母与数据，不写设计方案与使用方法，不必说明理由．18．（2021秋•南京期末）如图，已知函数y1＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y2＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴以及y1＝x+1的图象分别交于点C、D，点D的横坐标为1．（1）求y2函数表达式；（2）在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由；（3）若一次函数y3＝mx+n的图象经过点D，且将四边形AOCD的面积分成1：2．求函数y3＝mx+n的表达式．19．（2021秋•玄武区校级期末）如图①，在一条笔直的公路上依次有A、B、C三地．一辆慢车从A地出发，沿公路匀速驶向C地．2小时后，一辆快车从C地出发，以每小时60千米的速度沿公路驶向B地，到达B地后停止．慢车、快车离B地的距离y1、y2（km）与慢车行驶时间x（h）之间的函数关系如图②所示．（1）A、C两地之间的距离是km，慢车的速度是km/h；（2）求点P的坐标，并解释点P的实际意义．（3）画出两车之间的距离y3（km）与慢车行驶时间x（h）之间的函数图象．

第6章《一次函数》解答题专练2022-2023学年江苏省南京市苏科版八年级数学上册参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．（2022秋•鼓楼区校级月考）甲、乙两名大学生去距学校36km的某乡镇进行社会调查，他们从学校出发，骑电动车行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车继续步行向前走，乙骑电动车按原路返回，取到相机后马上骑电动车追甲，在距乡镇13.5km处追上甲并同车前往乡镇，若电动车速度始终不变，设甲与学校相距y甲（km），乙与学校相距y乙（km），甲离开学校的时间为xmin，y甲，y乙与x之间的函数图象如图，结合图象解答下列问题：（1）电动车的速度为0.9km/min；（2）甲步行所用时间为45min；（3）乙返回到学校时，甲与学校相距多远？【解答】解：（1）由图象得，电动车的速度：18÷20＝0.9（km/min），故答案为：0.9；（2）乙从学校追上甲所用的时间为：（36﹣13.5）÷0.9＝25（min），∴甲步行所用的时间为：20+25＝45（min），故答案为：45；（3）甲步行的速度为：（36﹣13.5﹣18）÷45＝0.1（km/min），∴乙返回到学校时，甲与学校的距离为：18+0.1×20＝20（km）．2．（2022春•建邺区校级期末）颜主任计划为年级“英文歌曲大赛”购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需200元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需260元．颜主任准备购买A、B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的25（1）A、B两种奖品的单价分别是多少元？（用二元一次方程组解决问题）（2）A种奖品至少买几个？（用一元一次不等式解决问题）（3）在购买方案中最少费用是660元．【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，依题意得：2x+4y=2005x+2y=260解得：x=40y=30答：A、B两种奖品的单价分别是40、30元．（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（20﹣m）个，∵A种奖品的数量不小于B种奖品数量的25∴m≥25（20﹣∴m≥40又∵m为整数，∴m＝6．∴A种奖品至少买6个．（3）设购买总费用为w元，则w＝40m+30（20﹣m）＝10m+600，∵10＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝10×6+600＝660．故答案为：660．3．（2021秋•建邺区期末）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为20%（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB、AC．根据以上信息，回答下列问题：（1）在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用4小时．（2）求线段AB对应的函数表达式；（3）先用普通充电器充电ah后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h，请在图2中画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象，并标注出a所对应的值．【解答】解：（1）由图象可知，充满电时，快速充电器比普通充电器少用6﹣2＝4（小时），故答案为：4；（2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b，将（0，20），（2，100）代入得：b=202k+b=100解得k=40b=20∴线段AB对应的函数表达式为y＝40x+20，（0≤x≤2）；（3）根据题意得：100-206a+100-202（3﹣a）+20解得a＝1.5，画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象如下：4．（2021秋•秦淮区月考）甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，如图是甲、乙两队挖掘隧道长度y（米）与挖掘时间x（小时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：（1）在前2小时的挖掘中，甲队的挖掘速度为10米/小时，乙队的挖掘速度为15米/小时；（2）①当2≤x≤6时，求出y乙与x之间的函数表达式；②开挖几小时后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队？【解答】解：（1）甲队：60÷6＝10米/小时，乙队：30÷2＝15（米/小时），故答案为：10；15；（2）①当2≤x≤6时，设yz＝kx+b，则2k+b＝30，6k+b＝50，解得k＝5，b＝20，∴当2≤x≤6时，y乙＝5x+20；②易求得：当0≤x≤2时，y乙＝15x，当2≤x≤6时，y乙＝5x+20；当0≤x≤6时，y甲＝10x，根据题意可知，令5x+20＝10x，解得：x＝4，答：开挖4小时后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队．5．（2021春•鼓楼区校级月考）解答下列问题．（1）如图，A（﹣1，3），B（0，1），求射线BA对应的函数表达式．（2）射线BA是（填“是”或“不是”）函数y＝|x﹣1|+|x|的图象的一部分．（3）直接画出函数y＝|x﹣1|+|x|的图象．（4）若不等式|x﹣1|+|x|＜a无解，则a的取值范围是a≤1．【解答】解：（1）设射线BA的函数关系式为y＝kx+b，将A（﹣1，3），B（0，1）代入得-k+b=3b=1，解得∴射线BA的函数关系式为y＝﹣2x+1（x≤0）；（2）函数y＝|x﹣1|+|x|为分段函数①当x﹣1≥0，x≥0时，y＝2x﹣1；②当x﹣1≤0，x≥0时，y＝1；③当x﹣1≤0时，y＝﹣2x+1∴y=2x-1(x≥1)∴射线BA是（填“是”或“不是”）函数y＝|x﹣1|+|x|的图象的一部分．故答案为是；（3）如图，根据（2）中求得的关系式可得；（4）由图象可知y＝|x﹣1+|x|的图象均位于y＝1上方，因此，没有小于1的部分，即|x﹣1|+|x|≥1，因此a取a≤1时，不等式|x+1+|x|＜a无解，故答案为a≤1．6．（2021秋•溧水区期末）已知A、B两地相距3km，甲骑车匀速从A地前往B地，如图表示甲骑车过程中离A地的路程y甲（km）与他行驶所用的时间x（min）之间的关系．根据图象解答下列问题：（1）甲骑车的速度是0.5km/min；（2）若在甲出发时，乙在甲前方1.2km的C处，两人均沿同一路线同时匀速出发前往B地，在第4分钟甲追上了乙，两人到达B地后停止．请在下面同一平面直角坐标系中画出乙离B地的距离y乙（km）与所用时间x（min）的关系的大致图象；（3）在（2）的条件下，求出两个函数图象的交点坐标，并解释它的实际意义．【解答】解：（1）甲骑车6min行驶了3km，∴甲骑车的速度是3÷6＝0.5（km/min），故答案为：0.5；（2）由第4分钟甲追上了乙，可得乙的速度是（4×0.5﹣1.2）÷4＝0.2（km/min），又A、B两地相距3km，A、C两地相距1.2km，∴B、C两地相距1.8km，∴乙出发后1.8÷0.2＝9（min）到达B地，在同一平面直角坐标系中画出乙离B地的距离y乙（km）与所用时间x（min）的关系的大致图象如下：（3）由（1）（2）可知，y甲＝0.5x，y乙＝1.8﹣0.2x，由0.5x＝1.8﹣0.2x得x=18当x=187时，y甲＝y乙∴两个函数图象的交点坐标为（187，9它的意义是当出发187min后，乙离B的距离和甲离A地的距离都是977．（2021秋•鼓楼区校级期末）某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本y1（单位：元）、收入y2（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．（1）分别求出y1、y2与x的函数表达式；（2）若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，求这天的产量．【解答】解：（1）设线段AB的函数表达式为y1＝mx+n，则：n=24060m+n=480解得：m=4n=240∴y1与x的函数表达式y1＝4x+240；设线段OC的函数表达式为y2＝kx，则60k＝720，解得：k＝12，∴y2与x的函数表达式y2＝12x；（2）解方程组y=12xy=4x+240得：x=30y=360即该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是30千克．8．（2021秋•鼓楼区校级期末）实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去．数学研究：如图，折线A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y（km）与甲行进时间x（h）之间的部分函数图象．（1）求线段AB对应的函数表达式；（2）求点E的坐标；（3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？【解答】解：（1）设AB的解析式为y1＝ax+b，可得：b=42k+b=0解得：k=-所以解析式为：y1＝﹣2x+4；（2）根据题意，得线段DE对应的函数关系式为y2=(12+4)×(x-12)=当y1＝y2时，﹣2x+4＝16x﹣8，解得x=23，把x=23代入y1＝﹣2x即点E的坐标为（23，8（3）由题意可知：线段AD对应的函数关系式为y3＝﹣8x+4，分两种情况：①y1﹣y3＝y3，即﹣2x+4＝2（﹣8x+4），解得x=2②y1﹣y2＝y2，即﹣2x+4＝2（16x﹣8），解得x=10综上，小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，当x为27或109．（2021秋•南京期末）A、B两地相距60km．甲、乙两车从A地出发去B地，乙车的速度是甲车速度的4倍，甲车比乙车早1h出发．甲、乙两车距离A地的路程y（km）与乙车出发的时间x（h）之间的函数关系如图①所示．（1）甲车的速度是15km/h；（2）乙车出发几小时后追上甲车？（3）设两车之间的距离为skm，甲车行驶的时间为th，在图②的平面直角坐标系中画出s与t的函数图象（请标出必要的数据）．【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度是15km/h；故答案为：15；（2）甲车速度是15km/h，乙车速度是60km/h，15×1÷乙出发13h（3）在图②的平面直角坐标系中画出s与t的函数图象如下：10．（2021秋•南京期末）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠病毒疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务．乙地80天完成接种任务．在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天）间的关系如图所示．（1）乙地每天接种的人数为0.5万人，a的值为40；（2）当甲地接种速度放缓后，求y与x之间的函数表达式；（3）当甲地接种速度放缓后，完成接种任务之前，何时与乙地接种人数相同？相同人数是多少？【解答】解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），0.5a＝25﹣5，解得a＝40．故答案为：0.5；40；（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：25=40k+b40=100k+b解得：k=1∴y=14x+15（40≤x≤（3）由（1）可知，乙地接种人数y（万人）与接种时间x（天）间的函数关系式为y＝0.5x，解方程组y=14x+15答：当甲地接种速度放缓后，完成接种任务之前，第60天与乙地接种人数相同，相同人数是30万人．11．（2021秋•鼓楼区期末）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．已知A，B两地相距9000m，甲的步行速度为100m/min，他每走半个小时就休息15min，经过2小时到达目的地．乙的步行速度始终不变，他在途中不休息，在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示（甲、乙同时出发，且同时到达目的地）．（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；（2）求甲、乙两人在途中相遇的时间．【解答】解：（1）如图所示：（2）根据题意可得点A的坐标为（30，3000），点B的坐标为（45，3000），点C的坐标为（75，6000），点D的坐标为（90，6000），点E的坐标为（120，9000），∴线段AB的函数关系式为y1＝3000；当45＜x≤75时，设y1与时间x之间的函数关系式为y1＝kx+b，则45k+b=300075k+b=6000解得：k=100b=-1500故线段BC的函数关系式为y＝100x﹣1500；线段CD的函数关系式为y1＝6000，设乙离A地的距离y与x的函数关系式为y＝kx，则120k＝9000，解得：k＝75，∴乙离A地的距离y与x的函数关系式为y＝75x，根据题意，得：75x＝3000或100x﹣1500＝75x或75x＝6000，解得：x＝40或x＝60或x＝80．答：甲、乙两人在途中相遇的时间为40分钟或60分钟或80分钟．12．（2020秋•鼓楼区期末）小明驾驶轿车从老家回南京．出发前，油箱有余油30L，沿途的高速公路服务区A离老家200km．轿车到南京的距离S（km）与轿车行驶时间x（h）之间的函数图象如图①．到达高速公路服务区A后立刻加油26L（加油时间忽略不计），休息了半个小时，然后以120km/h的速度回到南京．（小明的轿车以100km/h的速度行驶时每100km平均耗油8L，以120km/h的速度行驶时每100km平均耗油10L．）（1）观察图象，前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是100km/h；（2）图象中a＝2.5，b＝256（3）直接写出轿车的余油量Q（L）与轿车行驶的时间x（h）之间的函数表达式，说明自变量x的取值范围，并在图②中画出Q（L）与x（h）之间的函数图象．【解答】解：（1）∵服务区A离老家200km，行驶了2小时，∴前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是100km/h．故答案为：100．（2）∵到服务区A后，休息了半个小时，∴a＝2+0.5＝2.5（h），∵服务区A到南京的距离为200km，以120km/h的速度回到南京，∴b＝a+200120=2.5+故答案为2.5，256（3）解：设行驶的路程为y；当x≤2时，轿车行驶速度为100km/h；即y＝100x；∴Q＝30﹣8×100x100；即Q＝30﹣8x（x≤当2＜x≤2.5时，前面两小时耗油量为16L，所以还剩14L；在A服务区加油26L，此时共有14+26＝40L；∴Q＝40（2＜x≤2.5）；当2.5＜x≤256时，轿车行驶速度为120km/h；即y＝120（x﹣∴Q＝40﹣10×120(x-2.5)100；即Q＝70﹣12x（2.5＜x∴综上所述，Q=13．（2020秋•鼓楼区期末）请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数y＝|x﹣1|的图象和性质，并解决问题．（1）根据函数表达式，填写下表：x…﹣2﹣101234…y…3210123…（2）利用（1）中表格画出函数y＝|x﹣1|的图象；（3）观察图象，当x＜1时，y随x的增大而减小；（4）利用图象，直接写出不等式|x﹣1|＜12x【解答】解：（1）∵y＝|x﹣1|，∴当x＝﹣1时，y＝2，当x＝1时，y＝0，故答案为：2，0；（2）函数图象如右图所示；（3）由图象可得，当x＜1时，y随x的增大而减小，故答案为：＜1；（4）由图象可得，不等式|x﹣1|＜12x+1的解集是0＜x＜14．（2021春•玄武区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（4，3），C（0，3），P为矩形ABCO内一点（不包括边界），过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线把矩形ABCO分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的面积的值等于OA的长度，则称点P为矩形ABCO的“常积点”．（1）在点D（154，14），E（2，2），F（1，53），G（3，53）中，是矩形ABCO“常积点”的为E、F（2）若点H（3m﹣1，2m）是矩形ABCO的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在x轴上，求m的值；（3）若点M是矩形ABCO的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在x轴上，一次函数y＝k（x﹣3）+5（k为常数，且k＞0）的图象上“常积点”M的个数随着k的值变化而变化，请直接写出该图象上“常积点”M的个数及对应的k的取值范围．【解答】解：（1）方法一：如图，设P（a，b），且0＜a＜4，0＜b＜3，∵A（4，0），B（4，3），C（0，3），∴OA＝4，S①＝a（3﹣b），S②＝（4﹣a）（3﹣b），S③＝ab，S④＝（4﹣a）b，∵D（154，1∴a=154，b∴S①=154×（3-14）=16516≠4，S②＝（4-154）×（3-14）=1116≠4根据“常积点”的定义，点D不是矩形ABCO的“常积点”；∵E（2，2），∴a＝2，b＝2，∴S①＝2×（3﹣2）＝2≠4，S②＝（4﹣2）×（3﹣2）＝2≠4，S③＝2×2＝4，S④＝（4﹣2）×2＝4，根据“常积点”的定义，点E是矩形ABCO的“常积点”；∵F（1，53∴a＝1，b=5∴S①＝1×（3-53）=43≠4，S②＝（4﹣1）×（3-53）＝4，S③＝1×53=53≠4根据“常积点”的定义，点F是矩形ABCO的“常积点”；∵G（3，53∴a＝3，b=5∴S①＝3×（3-53）＝4，S②＝（4﹣3）×（3-53）=43≠4，S③＝3×53=5≠4，根据“常积点”的定义，点G是矩形ABCO的“常积点”；综上所述，点E、F、G是矩形ABCO的“常积点”，故答案为：E、F、G；方法二：∵2×2＝4，∴点E是常积点．∵（3-53）×（4﹣1）＝∴点F是常积点．∵3×（3-53）＝∴点G是常积点．故“常积点”为点E、F、G；（2）如图1，当矩形OFHD的面积＝4时，2m（3m﹣1）＝4，解得m1＝1，m2=-经检验：当m=-23，点H当矩形FAEH的面积＝OA＝4时，2m[4﹣（3m﹣1）]＝4，解得m3＝1，m4=2综上可知，m的值是1或23（3）设点M（x，y），由（2）可得符合要求的小矩形有两类：若是左侧小矩形，则可得xy＝4，则点M在y1=4若是右侧小矩形，则可得（4﹣x）y＝4，则点M在y2=4由题意，得一次函数y＝k（3﹣x）+5的图像一定过点K（3，5），∴点M即为一次函数与y1=4x与y2如图2，图中交点坐标分别为N（0，1），S（83，3），G（43，3），Q（2，当一次函数经过点K、G时，k=6当一次函数经过点K、N时，k=4当一次函数经过点K、Q时，k＝3；当一次函数经过点K、S时，k＝6．如图3，当0＜k≤65时，点M有如图4，当65＜k≤43时，点如图5，当43＜k≤3时，点M有如图6，当k＝3时，点M有1个；如图7，当3＜k＜6时，点M有2个；如图8，当k≥6时，点M有1个．综上可知，当0＜k≤65时，当65＜k≤43或k＝3或k≥当43＜k≤3或3＜k＜6时，15．（2020秋•建邺区期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE，求证△AED是等腰直角三角形．（2）如图2，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，则点D的坐标为（6，0）．【解答】（1）证明：∵在△ABE和△ECD中，AB=CE∠B=∠C=90°∴△ABE≌△ECD（SAS），∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，在Rt△EDC中，∠C＝90°，∴∠EDC+∠DEC＝90°．∴∠AEB+∠DEC＝90°．∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝90°．∴△AED是等腰直角三角形；（2）解：如图2，过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F，把x＝0代入y＝﹣2x+2中，得y＝2，∴点A的坐标为（0，2），∴OA＝2，把y＝0代入y＝﹣2x+2，得﹣2x+2＝0，解得x＝1，∴点B的坐标为（1，0），∴OB＝1，∵AO⊥OB，EF⊥BD，∴∠AOB＝∠BFE＝90°，∵AB⊥BE，∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∠ABO+∠EBF＝90°，又∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠EBF，在△AOB和△BFE中，∠OAB=∴△AOB≌△BFE（AAS），∴BF＝OA＝2，EF＝OB＝1，∴OF＝3，∴点E的坐标为（3，1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，由题意可得3k+b=1b=2解得k=-∴直线AC的解析式为y=-13令y＝0，解得x＝6，∴D（6，0）．16．（2020秋•玄武区期末）数学兴趣小组的同学们受《乌鸦喝水》故事的启发，在数学实验室中，利用带刻度的容器和匀速流水的水龙头进行数学实验．（1）如图，有三种不同形状的容器，现向三种容器匀速注水，恰好注满时停止．已知注水前图①的容器中有200ml的水，图②容器中有100ml的水，图③容器中没有水，是空的．图①和图②的注水速度均为5ml/s，图③的注水速度为10ml/s．设容器中水的体积为y（单位：ml），注水时间为x（单位：s）．请分别写出三个容器中y关于x的函数表达式．（2）如图④，同学们自己制作了一个特殊的容器，这个特殊容器有上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上圆柱体底面圆的半径是下圆柱体底面圆的半径的一半．已知这个特殊容器的高为20cm，注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器匀速注水，直至容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度h（单位：cm），前5次数据如下表所示．注水时间t/s05101520…水面高度h/cm45678…①在平面直角坐标系中，请画出水面高度h关于注水时间t的函数图象，并标注相关数据；②在水面高度h满足6≤h≤16时，则注水时间t的取值范围是10≤t≤37.5．【解答】（1）解：根据题意得，图①容器中，y＝5x+200；图②容器中，y＝5x+100；图③容器中，y＝10x；（2）①由题意知，两个圆柱的高都为10cm，由表知，时间每增加5秒，高度增加1cm，当下圆柱注满水时，所用时间为：（10﹣4）×5＝30（秒），∴当0≤t≤30时，h=15t由于下圆柱的底面圆的半径是上圆柱的底面圆的半径的2倍，∴上圆柱的底面积是下圆柱的底面积的14∴上圆柱每54秒，h增加1cm∴上圆柱注满水时，t＝30+54×10∴当30＜t≤42.5，h=45（t﹣30）+10=45如图：②将h＝6代入h=15t+4中，解得，t＝将h＝16代入h=45t﹣14中，解得，t＝∴10≤t≤37.5，故答案为：10≤t≤37.5．17．（2021秋•鼓楼区校级期末）某数学小组探究下列问题：商场将甲、乙两种糖果按照质量比为1：2混合成什锦糖售卖、设甲、乙糖果的单价分别为m元/千克、n元/千克，求什锦糖的单价．列式可以求解．（1）小红根据题目中的数量关系，通过列式得出什锦糖的单价，请你按小红的思路完成解答：不列式，画图可以求解吗？（2）小莉设计了一幅算图（如图①），设计方案与使用方法如下：设计方案：过点A（1，0），C（3，0）分别作x轴的垂线AB，CD．使用方法：把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标表示，连接EF，EF与AB的交点记为P，则点P的纵坐标就是什锦糖的单价．请你用一次函数的知识说明小莉方法的正确性；增加一种糖果呢？（3）小明将原问题的条件改为：甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合成什锦糖售卖，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为12元/千克、15元/克、16元/千克．请你帮小明在图②中设计一幅算图，求出什锦糖的单价．要求：标注必要的字母与数据，不写设计方案与使用方法，不必说明理由．【解答】解：（1）设甲糖果质量为x千克，则乙糖果质量为2x千克，根据题意得：什锦糖果的单价为mx+n⋅2xx+2x如图，△ABC表示甲乙两种糖果混合后的什锦糖果，AD把BC分为BD：CD＝1：2，则△ABD表示甲糖果，△ACD表示乙糖果，BD表示甲糖果质量，CD表示乙糖果质量，BC表示什锦糖果质量，根据题意得：BC＝3BD，CD＝2BD，∴什锦糖果的单价为mDB+nCDBC（2）根据题意得：E（0，n），F（3，m），点P的横坐标为1，设直线EF的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴3k+b=mb=n，解得∴直线EF的解析式为y=m-n3x+当x＝1时，y=m-n3×1+即什锦糖果的质量为m+2n3元/（3）设计方案如下：过点A（1，0），C（3，0），P（6，0），分别作AB、CD、PQ垂直x轴；使用方法：把乙糖果的单价用y轴上的点E的纵坐标15表示，甲糖果的单价用直线CD上的点F的纵坐标12表示，连接EF与AB的交点记为K，则点K的纵坐标就是甲乙糖果混合后的什锦糖的单价；将丙糖果的单价用y轴上的点M的纵坐标16表示，甲乙混合用的什锦糖的单价用直线PQ上的N点的纵坐标表示，连接MN与直线CD交于点L，则点L的纵坐标即为甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合后的什锦糖单价，设直线EF的解析式为y＝k′x+b′，（k′≠0），把点E（0，15），F（3，12）代入得：b'解得：k'∴直线EF的解析式y＝﹣x+15，当x＝