岩石强度准则的修正方法研究

岩石强度准则的修正方法研究

布鲁克-普拉格标准是岩石力学中最重要的强度理论之一。它被广泛应用于岩石工程的计算和研究，尤其是对岩石工程价值分析的应用。强度理论还反映了体积效应、剪应力和中压应力对岩石强度的影响，比其他强度理论更能反映设计的实际情况。然而,工程实际应用表明该强度理论较为保守,以此作为依据进行工程设计计算,其经济性值得考虑,有必要对该强度理论进行合理修正。KrajcinovicD、唐春安和李晓等从岩石材料内部所含缺陷分布的随机性出发,采用轴向应变描述岩石微元强度,并利用岩石微元强度服从Weibull分布的特点,引进统计损伤理论,建立了模拟特定围压条件下岩石破裂全过程的损伤本构关系,但由于轴向应变无法准确表示岩石微元强度,因而,其本构模型存在一定的局限性。曹文贵、陈忠辉和徐卫亚基于Drucker-Prager强度准则提出了岩石微元强度新的表示方法,并在此基础上,利用统计损伤理论,建立了模拟特定围压条件下反映岩石变形破坏全过程的统计损伤软化本构模型,但由于未考虑不同围压对模型参数的影响,因而使之与实际仍存在一定差距。本文将在此基础上,首先探讨该模型参数与围压的关系,进而建立能反映复杂围压条件下的岩石损伤软化本构模型,然后,利用岩石变形软化试验曲线的极值特性,根据岩石屈服或破坏的概念,利用多元函数求极值的方法建立岩石强度理论,从而对Drucker-Prager岩石强度准则进行修正。经过与试验结果及Drucker-Prager强度准则进行比较分析表明,修正后的Drucker-Prager强度准则与试验结果吻合良好,更能反映工程实际情况。1岩石微元强度的预测利用LemaitreJ应变等价性假说,可以建立岩石损伤本构关系:[σ*]=[σ]/(1-D)=[C][ε]/(1-D)(1)式中:[C]为岩石材料弹性矩阵;[σ*]为有效应力矩阵;[σ]为名义应力矩阵;[ε]为应变矩阵;D为岩石损伤变量。过去大多用岩石轴向主应变来表示岩石微元的强度,作者认为它不能反映复杂应力状态对岩石微元强度的影响。因此,基于Drucker-Prager破坏准则,作者提出了岩石微元强度F*的表示方法F*=f(σ*)=αΙ*1+(J*2)1/2(2)式中:α为与岩石粘聚力c和内摩擦角φ有关的参数‚α=sinφ/√9+3sin2φ;I*1为应力张量的第一不变量,I*1=σ*1+σ*2+σ*3;J*2为应力偏量的第二不变量,J*2=[(σ*1-σ*2)2+(σ*2-σ*3)2+(σ*1-σ*3)2]/6,σ*1、σ*2、σ*3为有效应力。设名义应力σ1、σ2、σ3和应变ε1与有效应力σ*1、σ*2、σ*3对应,岩石的弹性模量与泊松比分别为E与μ。由式(1)可得ε1=[σ*1-μ(σ*2+σ*3)]/E(3)或1-D=[σ1-μ(σ2+σ3)]/(Eε1)(4)σ*i=σi/(1-D)(i=1,2,3)(5)从而可得:Ι*1=Ι1Eε1/[σ1-μ(σ2+σ3)](6)√J*2=J1/22Eε1/[σ1-μ(σ2+σ3)](7)由此代入式(2)即可确定出岩石的微元强度F*=(Ι1α+J1/22)Eε1/[σ1-μ(σ2+σ3)](8)式中:I1=σ1+σ2+σ3;J2=[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ1-σ3)2]/6。假定岩石微元强度服从正态分布,则其概率密度函数可以表示为Ρ(F*)=1√2πS0exp[-12(F*-F0S0)2](9)式中:S0、F0为正态分布参数。定义损伤变量为破坏概率D=∫?F*?-∞Ρ(x)dx=1S0√2π∫?F*?-∞exp[-12(F*-F0S0)2]dx(10)这就是所建立的损伤演化方程。将式(10)代入式(1)即可得到岩石损伤软化统计本构方程,其关键在于正态分布参数S0及F0的确定。利用文献的资料,岩石弹性模量E为90.0MPa,泊松比μ为0.15,内摩擦角φ为31.3039°,粘聚力c为54.89MPa。采用文献的方法,可以得到正态分布参数S0及F0,见表1,相关系数均超过0.9661,将其代入上述相关公式即可得到模拟特定围压条件下岩石破裂全过程的统计损伤本构方程,模拟曲线见图1。由此可以看出,该模型充分反映了岩石破裂的全过程,尤其是岩石软化特性,同时也反映了岩石强度受应力状态的影响,围压增大,岩石强度增大,与实际吻合。但是,该模型的建立仅基于某一条试验曲线,无法反映多条试验曲线的综合情况,这就导致了基于任何单一试验曲线建立的本构方程在反映不同应力状态本构关系时仍存在较大误差,因此,应该对其进行修正。2f0与s0对岩石全应力应变曲线非线性变形部分的影响不同的围压或者不同的复杂应力状态对岩石破裂过程损伤本构关系的影响是不同的,为了使上述所建立的模型具有一般性,必须对此模型进行修正,其修正方法必须反映岩石应力与应变关系曲线的特点,因此有必要探讨前述岩石损伤统计本构模型参数的变化规律。参数F0与S0反映了岩石变形的力学性质,如图2、图3所示。由图中可以看出:(1)岩石的应力应变曲线的峰值随F0与S0的增大而增大,但是,F0与S0的变化并不改变峰值前线性变形曲线;(2)F0与S0对岩石应力应变曲线的非线性变形部分,尤其是峰值后曲线影响是明显的,可以改变曲线的形态。上述两个特点反映了F0与S0对岩石应力应变曲线的影响。大量试验曲线表明,不同围压下岩石全应力应变曲线存在如下普遍特点:(1)岩石全应力应变曲线的峰值随围压的变化而变化,峰值前应力较高的非线性部分与峰值后软化曲线部分同样随围压变化而变化;(2)峰值前低应力线性部分并不随围压的变化而变化。对岩石损伤软化统计本构模型进行修正也必须反映上述特点。对比前述得到的F0、S0对岩石损伤统计本构模型影响的特点与规律,可以看出,如果能建立起F0及S0与围压σ3的关系,那么就能比较有效地对岩石损伤统计本构模型进行修正。考察根据前述方法得到的文献中不同围压下岩石应力应变试验曲线的统计损伤本构方程参数F0与S0,如果分别以F0与S0为纵坐标,围压σ3为横坐标,即可得到F0-σ3与S0-σ3散点分布图,见图4和图5。用对数曲线进行拟合,可以得到如下关系:F0=98.960ln(σ3+9.785)(11)S0=38.251ln(σ3+3.649)(12)它们的线性相关系数分别为0.9708与0.9641。将式(11)及式(12)代入式(10),再将式(10)代入式(1),即可得到修正后模拟在不同围压下岩石全应力应变曲线的三维损伤统计本构方程。3drcker-prger准则的建立对Drucker-Prager强度准则进行修正的基本思路就是通过寻找最大主应力或最大剪应力的极值(即岩石抗压或抗剪强度)点,从而找到此时对应的岩石或材料内部应力分量之间的关系。具体做法是利用式(4)取全微分,得到下式:dσ1=∂σ1∂ε1dε1+∂σ1∂ε2dε2+∂σ1∂ε3dε3(13)然后,对σ1求极值,即令:∂σ1∂ε1=0(14)并整理可得:Η1+Η2∂F*∂ε1=0(15)式中:Η1=E(1-D),Η2=-Eε1exp[-12(F-F0S0)2]‚∂F*∂ε1=αΙ1+J1/22σ1-μ(σ2+σ3)E。利用式(4),经过整理,式(15)亦可表示为1-1(1-D)21S0√2πexp[-12(F-F0S0)2](αΙ1+J1/22)=0(16)利用式(10)可得:∂D∂F*=1S0√2πexp[-12(F-F0S0)2](17)而且,将式(5)代入式(2)可得:αΙ1+J1/22=F*/(1-D)(18)将式(17)与式(18)代入式(16)可得:∂D∂F*=1-DF*(19)将式(19)进行积分,可得:F*/(1-D)=g(F0‚S0)(20)将式(18)代入式(20)可得:αΙ1+J1/22=g(F0‚S0)(21)结合式(11)、式(12),知g(F0,S0)是σ3的函数,即:g(F0,S0)=f(σ3)。于是有:αΙ1+J1/22=f(σ3)(22)式(22)的关键在于f(σ3)的确定。这里无法求得f(σ3)的显式函数,可考虑利用三轴试验结果进行拟合,引用文献的资料,可以得到不同围压下的岩石抗压强度,由此利用式(22)可计算得到不同围压下的αI1+J1/22值,即f(σ3)值,见表2。如果以f(σ3)为纵坐标,以围压σ3为横坐标,可以得到f(σ3)-σ3散点分布图,如图6所示。用对数曲线拟合得到如下关系:f(σ3)=54.439ln(σ3+13.628)(23)其相关系数为0.9808,拟合效果较好。由此代入式(22)即可得到修正后的Drucker-Prager准则。修正的Drucker-Prager强度准则与试验结果及Drucker-Prager强度准则的比较见图7,由图7可见,本文修正的Drucker-Prager强度准则与试验结果吻合良好。4修正的drwell-prger准则湖南某高速公路路基为石灰岩,石灰岩弹性模量E=25590MPa,泊松比μ=0.25,内摩擦角φ=31.19°。建立本文提出的修正Drucker-Prager准则,分两步进行:(1)首先建立模拟不同围压下岩石破裂过程的损伤本构关系模型;(2)利用上述建立的本构模型,引进多元函数求极值的方法,对Drucker-Prager准则进行修正。由此,可以得到石灰岩修正的Drucker-Prager准则为αΙ1+J1/22=66.187ln(σ3+3.4721)。将本文修正的Drucker-Prager准则与试验曲线和Drucker-Prager强度准则进行比较分析,见图8。值得注意的是,图8中结果是在假定σ2=σ3的条件下得到的,与试验条件一致。由图8并结合图7结果可以看出,本文得到的修正的Drucker-Prager准则存在如下特点:(1)修正的Drucker-Prager准则与Drucker-Prager准则一样,同时考虑了体积应力、剪应力以及中间主应力对岩石强度的影响,并且表明岩石强度随最小主应力而变化;(2)Drucker-Prager强度准则明显趋于保守,修正后的Drucker-Prager准则能较好的反映实际;(3)修正的Drucker-Prager强度理论表明岩石强度随围压增加而增大,但增大的幅度越来越小,能较好的反映岩石强度莫尔包络线的曲线特点,说明本文修正的Drucker-Prager准则较莫尔库仑强度准则更能反映工程实际。5岩石强度理论本文利用连续损伤理论和统计强度理论,从岩石微元强度服从正态分布的角度出发,建立了