专题01 集合与常用逻辑用语 -2023-2024学年高一数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）原卷版

专题01集合与常用逻辑用语目录目录【知识梳理】 2【重点保分】 5【重点保分一】集合的概念 5【重点保分二】子集、真子集个数 8【重点保分三】集合间的包含关系与Venn图 10【重点保分四】并集、交集与补集的基本运算 12【重点保分五】充分条件与必要条件 15【重点保分六】全称量词与存在量词 17【难点增分】 19【难点增分一】空集的应用 19【难点增分二】并集、交集与补集的性质及应用 23【难点增分三】容斥原理的应用 26【培优满分】 29【培优满分一】利用集合运算求参数 29 【培优满分二】充要条件的判定与证明 32【培优满分三】集合新定义 36【技巧总结】 40【单元检测】 45知识梳理知识梳理1、元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.2、集合中元素的特征集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.3、元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.4、常用的数集及其记法名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR5、列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法.6、描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.7、子集的含义(1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.(2)子集的概念文字语言符号语言图形语言一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)8、真子集与集合相等(1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).9.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C：①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC.10、空集一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集.11、并集自然语言符号语言图形语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}12、交集自然语言符号语言图形语言一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}13、交集与并集的运算性质(1)A∪A＝A，A∪∅＝A；A∩A＝A，A∩∅＝∅.(2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.14、全集与补集的含义一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言15、补集的性质∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U.16、命题的概念(1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.(2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题.(3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论.17、充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件，q是p的必要条件p不是q的充分条件，q不是p的必要条件18、充要条件命题真假若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题推出关系p⇔q条件关系p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件19、全称量词与全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x).20、存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”21、全称量词命题的否定(1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.(2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.全称量词命题全称量词命题的否定结论∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题22、存在量词命题的否定存在量词命题存在量词命题的否定结论∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题重点保分重点保分【重点保分一】集合的概念【典例精讲】（多选）（2023上·江苏常州·高一校联考阶段练习）下列四个命题中正确的是（

）A．方程的解集为B．由所确定的实数集合为C．集合可以化简为D．中含有三个元素【变式训练】一、单选题1．（2023上·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高级中学校联考期中）已知集合，且，则（

）A． B．或 C． D．2．（2023上·广东江门·高一江门市第一中学校考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B．或1 C．3 D．二、多选题3．（2023上·福建·高一校联考期中）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．三、填空题4．（2022上·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知，则实数.【重点保分二】子集、真子集个数【典例精讲】（多选）（2023上·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）下列各个选项中，满足的集合有（

）A． B． C． D．【变式训练】一、单选题1．（2023上·山东日照·高一校考阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·四川成都·高一成都七中校考期中）集合的一个子集是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023上·四川成都·高一石室中学校考期中）下列说法正确的是（

）A．任何集合都是它自身的真子集B．集合共有16个子集C．集合D．集合三、填空题4．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）已知集合且，则集合A的非空真子集的个数为.【重点保分三】集合间的包含关系与Venn图【典例精讲】（多选）（2023上·江苏无锡·高一校考阶段练习）如图所示，全集，，则下列说法正确的是（）A．阴影部分表示的集合是M的子集B．阴影部分表示的集合是N的子集C．阴影部分表示的范围是D．阴影部分表示的范围是【变式训练】一、单选题1．（2023上·甘肃白银·高一校考期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（2023上·四川泸州·高一校考期中）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8二、多选题3．（2023上·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（

）A．2 B．1 C．0 D．1三、填空题4．（2023上·上海·高一校考期中）已知集合．若，则实数的取值范围是．【重点保分四】并集、交集与补集的基本运算【典例精讲】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（）A． B．C． D．【变式训练】一、单选题1．（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）设全集，集合，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题4．（2023上·河南·高一校联考期中）已知集合，，则．【重点保分五】充分条件与必要条件【典例精讲】（多选）（2023上·福建厦门·高一厦门大学附属科技中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．，，若p是q的充分条件，则．B．是命题，成立的一个充分不必要条件．C．“”是“”的必要不充分条件．D．“关于x的不等式对任意恒成立”的充要条件“”．【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（

）A． B． C． D．2．（2023上·福建福州·高一校联考期中）“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题3．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．是的充分不必要条件B．若集合中只有一个元素，则或0C．已知，，则对应的的集合为D．已知集合，则满足条件的集合的个数为三、填空题4．（2023上·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合，集合，命题：，命题：，若是的充分条件，则实数的取值范围是.【重点保分六】全称量词与存在量词【典例精讲】（多选）（2023上·宁夏吴忠·高一校考阶段练习）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（）A． B．C． D．【变式训练】一、单选题1．（2023上·云南昆明·高一云南省昆明市第十四中学校考期中）若命题“”是真命题，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023上·北京大兴·高一校考阶段练习）命题p：，的否定是（

）A．， B．，C．， D．，二、多选题3．（2023上·贵州黔东南·高一凯里一中校考阶段练习）下列说法正确的有（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．“”是“”的充分不必要条件C．命题，成立的充要条件是D．已知集合，，若，则实数的取值集合为三、填空题4．（2023上·福建莆田·高一莆田二中校考阶段练习）已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是．难点增分难点增分【难点增分一】空集的应用【典例精讲】（多选）（2023上·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校考阶段练习）已知集合，求：(1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围；(2)当、满足什么条件时，集合为空集.【变式训练】一、单选题1．（2021·上海·高一专题练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（

）A．1 B．3 C．4 D．6二、多选题2．（2023上·重庆荣昌·高一重庆市荣昌中学校校考期中）下列说法正确的是（

）A．任何集合都是它自身的真子集B．集合共有4个子集C．集合D．集合3．（2023上·山西晋中·高二校考阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则或D．若，则或或三、解答题4．（2023上·上海嘉定·高一校考期中）已知集合(1)若A中只有一个元素，求a的值(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围(3)若，求a的取值范围【难点增分二】并集、交集与补集的性质及应用【典例精讲】（多选）（2023上·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考阶段练习）已知全集，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．【变式训练】一、单选题1．（2023上·北京·高一北京市八一中学校考阶段练习）已知，且，则的值为（

）A．4 B． C． D．5二、多选题2．（2023上·山东潍坊·高一校考阶段练习）设全集，若，，，则下列结论正确的是（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且3．（2020·高一课时练习）设全集，若，，，则下列结论不正确的是（）A．，且 B．，且C． D．，且三、解答题4．（2023上·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知集合，集合．(1)求和；(2)设，若，求实数a的取值范围．【难点增分三】容斥原理的应用【典例精讲】（多选）（2023·全国·高一课堂例题）学校举办了排球赛，高一（1）班45名同学中有12名同学参赛.后来又举办了田径赛，班上有20名同学参赛.已知两项都参赛的有6名同学.两项比赛中，高一（1）班共有多少名同学没有参加过比赛？【变式训练】一、单选题1．（2023上·辽宁·高一校联考阶段练习）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（

）A．16 B．17 C．18 D．192．（2017·北京·高三强基计划）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为（

）A．108名 B．120名 C．125名 D．前三个答案都不对二、多选题3．（2021上·河北石家庄·高一校考阶段练习）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法正确的是（

）A．赞成A的不赞成B的有9人 B．赞成B的不赞成A的有11人C．对A，B都赞成的有21人 D．对A，B都不赞成的有8人三、填空题4．（2023上·陕西·高一校联考阶段练习）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论：①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；②只报名舞蹈的有36人；③只报名声乐的有20人；④报名两门课程的有14人.其中，所有正确结论的序号是.培优满分培优满分【培优满分一】利用集合运算求参数【典例精讲】（多选）（2022上·江苏无锡·高一无锡市市北高级中学校考期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：已知集合，．(1)当时，求；(2)若___________，求实数的取值范围．【变式训练】一、单选题1．（2023上·江苏徐州·高一统考期中）设全集，集合，，若，则的取值范围是（）A． B．C． D．2．（2023上·山西晋中·高二校考阶段练习）已知集合，若有两个元素，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．二、多选题3．（2023上·河南省直辖县级单位·高一济源高中校考阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（

）A．若，则实数的取值范围是B．若，则实数的取值范围是C．若，则实数的取值范围是D．若，则实数的取值范围是三、填空题4．（2022上·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是.【培优满分二】充要条件的判定与证明【典例精讲】（多选）（2023·高一单元测试）记关于x的方程的解集为M，其中．(1)求M恰有3个元素的充要条件；(2)在（1）的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件．【变式训练】一、解答题1．（2023·全国·高三对口高考）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件．2．（2022上·安徽淮南·高一校联考阶段练习）已知集合，．(1)若“，”为假命题，求的取值范围；(2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或．3．（2021上·福建福州·高一校联考期中）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.4．（2020上·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知一元二次方程.（1）若是方程的两个根，求b的值；（2）求证：“是方程的一个根”的充要条件是“”.【培优满分三】集合新定义【典例精讲】（多选）（2023上·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）定义集合运算且，称为集合与集合的差集；定义集合运算称为集合与集合的对称差，有以下4个命题：则4个命题中是真命题的是（

）A．B．C．D．【变式训练】一、单选题1．（2023上·上海·高一上海市宜川中学校考期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题：①若为“完美集合”，则一定有；②“完美集合”一定是无限集；③集合为“完美集合”；④若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”.其中真命题是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④2．（2023上·湖南怀化·高一沅陵县第一中学校考阶段练习）已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数.定义，若，则实数的所有可能取值构成的集合为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中学校联考期中）如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为.用表示有限集的元素个数.下列命题中正确的是（

）A．若，则；B．存在集合，使得；C．若，则；D．若，则.三、填空题4．（2023上·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）已知非空集合A，B同时满足以下四个条件：①；②；③；④.注：其中、分别表示A、B中元素的个数.如果集合A中有3个元素，则有序集合对的个数是.技巧总结技巧总结1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.2.判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现.(2)推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.3.利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.4.用列举法表示集合应注意的两点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.5.利用描述法表示集合应注意三点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.6.若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.7.判断集合关系的三种方法8.假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个；(3)A的真子集有(2n－1)个.9.求给定集合的子集的两个注意点：(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.10.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.11.求集合并集的两种方法利用定义：若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性.数形结合：(1)若集合是实数集的子集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍.(2)若集合中元素无限，且不连续，可借助Venn图求解.12.若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.13.利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点(1)依据：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.(2)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝的情况，否则易漏解.14.求补集的基本方法(1)全集及其子集是用列举法表示的，从全集U中去掉所有属于集合A的所有元素组成的集合.(2)较为复杂的集合，还可借助于Venn图求解.(3)全集及其子集是用不等式构成的无限集表示的，常借助于数轴求解.15.解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分.16.由集合的补集求解参数的方法(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.17.要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.18.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.19.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.20.探求充要条件的两种方法：(1)等价法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的.(2)非等价法：先寻找必要条件，再找充分条件，从必要性和充分性两方面说明.21.一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.22.应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.23.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.24.要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要举一个反例.25.依据含量词命题的真假求参数取值范围：(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.26.全称量词命题否定的关注点(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x).(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可以补上量词后进行否定.27.存在量词命题否定的关注点(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定.28.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题.单元检测单元检测一、单选题1．（2020上·北京西城·高一统考期末）方程组的解集是（

）A． B．C． D．2．（2023上·贵州黔西·高一校考阶段练习）已知命题，，则命题p的否定为（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023上·黑龙江鸡西·高一统考期中）以下四个关系式：，，，中，错误的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023上·湖南·高三南县第一中学校联考阶段练习）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．5．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考阶段练习）“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2023上·安徽·高三校联考期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（2023上·河北唐山·高一统考期中）下列结论中不正确的是（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件C．若，则“”是“不全为”的充要条件D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件8．（2023上·广东深圳·高一校考期中）己知集合，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023上·