新教材适用2023-2024学年高中数学第1章预备知识3不等式3.2基本不等式第1课时基本不等式课后训练北师大版必修第一册

第1课时基本不等式课后训练巩固提升一、A组1.设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有().A.1≤ab≤a2+b22 BC.ab<a2+b22<1解析:因为a≠b,所以ab<a+b22=1,又因为a2+b22>a+答案:B2.若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2ab,2ab,a2+b2中最大的一个是().A.a2+b2 B.2ab C.2ab D.a+b解析:∵0<a<1,0<b<1,a≠b,∴a2+b2>2ab,a+b>2ab,a>a2,b>b2,∴a+b>a2+b2,故选D.答案:D3.(多选题)设a>0,b>0,则下列不等式恒成立的有().A.a2+1>a B.(a+1a)(b+1b)C.(a+b)(1a+1b)≥4 D.a2+解析:a2+1-a=(a-12)2+34>0,故A恒成立;(a+1a)(b+1b)=ab+1ab+ba+ab≥2ab·1ab+2ba·ab=4,当且仅当a=b=1时“=”成立,故B恒成立;(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2ab·ba=4,当且仅当ab答案:ABC4.设a>0,b>0,且a+b≤4,则有().A.1ab≥12 B.1a+1b≥1解析:由a>0,b>0,a+b≤4,可知a+b2≥ab≥21a+1b,故1a+1b≥1成立,而对于A,当a=1,答案:B5.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a(a>0),第三年的增长率为b(b>0),这两年的年平均增长率为x(x>0),则().A.x=a+b2 B.x≤a+b2 C.x>解析:∵这两年的年平均增长率为x,∴A(1+x)2=A(1+a)(1+b),∴(1+x)2=(1+a)(1+b),由题设知,a>0,b>0,x>0.∴1+x=(1+a)(1+b)≤(1+a当且仅当1+a=1+b,即a=b时等号成立.故选B.答案:B6.设x>0,求证:x+22证明:因为x>0,所以x+12>0,所以x+22x+1=x+1x+12=x+12+17.是否存在正实数a和b,同时满足下列条件:①a+b=10;②ax+by=1(x>0,y>0),且x+y≥18?若存在,求出a,b的值;解:因为ax+by=1,x>0,y>0,a>0,b>0,所以x+y=(x+y)(ax+by)=a+b+bxy+ayx≥a+b+2ab=(a+b由(a+故存在实数a=2,b=8或a=8,b=2满足条件.二、B组1.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,若M=1a-11b-A.0≤M<18 B.18≤C.1≤M<8 D.M≥8解析:因为a+b+c=1,所以M=(a+b+ca-1)(a+b+cb-1)(a+b答案:D2.已知实数a,b,c满足条件a>b>c,且a+b+c=0,abc>0,则1a+1b+A.一定是正数 B.一定是负数C.可能是0 D.正负不确定解析:因为a>b>c,且a+b+c=0,abc>0,所以a>0,b<0,c<0,且a=-(b+c),所以1a+1因为b<0,c<0,所以b+c≤-2bc,所以-1b+c≤12bc,所以-1b+c+1b+1c≤答案:B3.(多选题)下列不等式一定成立的有().A.x2+14>x(x>0) B.x+1x≥2(C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.1x2+1>1(x解析:对于A,当x=12时,x2+14=x,所以A不一定成立;对于B,当x>0时,x+1x≥2x·1x=2,故B一定成立;对于C,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|,所以C一定成立;对于D,因为x2+1≥1,所以0<1答案:BC4.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么().A.ab≤c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且当等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一解析:因为a,b,c,d均为正数,且a+b=cd=4,所以由基本不等式得a+b≥2ab,故ab≤4.又因为cd≤(c+d)24,所以c+d≥4,所以ab≤c+d,当且仅当答案:A5.已知a>b>c,则(a-b)(解析:∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0.∴a-c2=(a-b)答案:(6.已知a,b,c为互不相等的正实数,且abc=1.求证:a+证明:因为a,b,c为互不相等的正实数,abc=1,所以1a+1b>21ab=2c,1b+1c>