专题24 同角三角函数的基本关系及应用（5知识点4题型2考点）（原卷版）

同角三角函数的基本关系及应用常考题型证明三角恒等式常用的方法已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题已知tanα的值，求关于sinα，cosα齐次式的值一个三角函数值求其它三角函数值同角三角函数的基本关系题型一：三角函数值求其它三角函数值及化简题型二：已知tanα的值，求关于sinα，cosα齐次式的值题型三：已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题题型四：证明三角恒等式考法一：已知一个三角函数值求其它三角函数值考法二：利用同角三角函数关系化简求值同角三角函数的基本关系及应用常考题型证明三角恒等式常用的方法已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题已知tanα的值，求关于sinα，cosα齐次式的值一个三角函数值求其它三角函数值同角三角函数的基本关系题型一：三角函数值求其它三角函数值及化简题型二：已知tanα的值，求关于sinα，cosα齐次式的值题型三：已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题题型四：证明三角恒等式考法一：已知一个三角函数值求其它三角函数值考法二：利用同角三角函数关系化简求值知识点一：同角三角函数的基本关系（1）同角三角函数的基本关系描述方式基本关系基本关系式语言描述平方关系sin2α＋cos2α＝1同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1商数关系Tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切（2）“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，例如：成立（3）同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,cosα＝±\r(1－sin2α)，,（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.))(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα).))知识点二：一个三角函数值求其它三角函数值(1)若已知sinα＝m，可以先应用公式cosα＝±eq\r(1－sin2α)，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号，求得cosα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先应用公式sinα＝±eq\r(1－cos2α)，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号，求得sinα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(3)若已知tanα＝m，可以应用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝m⇒sinα＝mcosα及sin2α＋cos2α＝1，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号。求得cosα＝±eq\f(1,\r(1＋m2))，sinα＝±eq\f(m,\r(1＋m2))的值．知识点三：已知tanα的值，求关于sinα，cosα齐次式的值(1)对只含有sinα，cosα的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.(2)对于形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的分式，分子、分母同时除以cosα，cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.(3)对于形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,sin2α＋cos2α)的式子求值.知识点四：已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题（1）常用到公式转化关系①(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；②(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ；③(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题－cosθ)2＝2；④(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.（2）已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.但是要特别注意角的象限决定正负号。知识点五：证明三角恒等式常用的方法（1）证明三角恒等式常用的数学思想①直推法：从条件直推到结论；②代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；③换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.（2）证明三角恒等式常用的方法①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或eq\f(左边,右边)＝1(右边≠0)．④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．题型一：三角函数值求其它三角函数值及化简考法一：已知一个三角函数值求其它三角函数值解题思路：(1)若已知sinα＝m，可以先应用公式cosα＝±eq\r(1－sin2α)，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号，求得cosα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先应用公式sinα＝±eq\r(1－cos2α)，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号，求得sinα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(3)若已知tanα＝m，可以应用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝m⇒sinα＝mcosα及sin2α＋cos2α＝1，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号。求得cosα＝±eq\f(1,\r(1＋m2))，sinα＝±eq\f(m,\r(1＋m2))的值．例1．已知，，则（

）A． B． C． D．例2．计算：(1)已知，，求的值.(2)已知，求，的值例3．已知是三角形的内角，且，则的值是（

）A． B． C． D．例4．已知为锐角，且，则（

）A． B． C． D．变式训练5．已知，，则（

）A． B． C． D．6．（1）若是的一个内角，且，求的值;（2）若，求的值;7．设为第二象限角，若，则.考法二：利用同角三角函数关系化简求值解题思路：利用sin2α＋cos2α＝1，Tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)及变形化简求值例1．化简：(1)－；(2)；(3)．例2．（多选题）下列计算或化简结果正确的是（

）A．＝2 B．若，则C．若，则＝1 D．例3．若，则α不可能是（

）A． B． C． D．变式训练4．化简：(1)；(2)．5．化简：．题型二：已知tanα的值，求关于sinα，cosα齐次式的值解题思路：(1)对只含有sinα，cosα的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.(2)对于形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的分式，分子、分母同时除以cosα，cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.(3)对于形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,sin2α＋cos2α)的式子求值.例1．已知，则（

）A．3 B． C． D．例2．已知，则（

）A． B． C．或1 D．或1例3．已知，则（

）A． B． C． D．例4．若，则（

）A． B． C． D．变式训练5．已知第二象限角的终边过点，则（

）A． B． C． D．16．已知，则（

）A． B． C． D．7．已知，则.8．已知，则.9．已知，，(1)求的值；(2)求的值.题型三：已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题解题思路：（1）常用到公式转化关系①(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；②(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ；③(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2；④(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.（2）已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.但是要特别注意角的象限决定正负号。例1．若，，则（

）A． B．2 C． D．3例2．已知，，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．例3．已知关于x的方程的两根为和，其中.(1)求的值；(2)求实数m的值.变式训练4．已知，，则（

）A． B． C． D．5．已知，则（

）A． B． C． D．6．（多选题）已知，且，则（

）A． B．C． D．7．若，则.8．已知是关于x的方程的两个根，则．9．已知，是关于的一元二次方程的两根．(1)求的值；(2)若，求的值．题型四：证明三角恒等式解题思路：（1）证明三角恒等式常用的方法①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或eq\f(左边,右边)＝1(右边≠0)．④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．例1．证明：.例2．（1）若，化简：；（2）求证：.变式训练3．已知，．求证：．4．（1）化简：（2）证明：5．已知，求证：．一、单选题1．已知，其中，的值为（

）A．－ B．－ C． D．2．“”是“”成立的（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知，则（

）A．7 B． C．1 D．4．若角终边经过点，则的值为（

）A． B．1 C． D．5．若是的一个内角，且，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知，是关于x的方程的两个根，则的值为（

）A．随的变化而变化 B．C． D．二、多选题7．已知，则下列选项正确的是(

)A． B．C． D．8．下列计算或化简结果正确的是（

）A．若B．若，则C．若，则D．若为第二象限角，则9．已知，，则正确的有（

）A．是第二象限角