专题04 圆的基本性质（重点）（解析版）

专题04圆的基本性质（重点）一、单选题1．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）已知的半径为4cm，点P在上，则的长为（

）A．2cm B．4cm C．5cm D．8cm【答案】B【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解即可．【解析】解：∵的半径为4cm，点P在上，∴．故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外时，；点P在圆上时，；点P在圆内时，．2．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市文晖中学校考期中）下列命题中，错误的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆的两条平行弦所夹的弧相等C．任意一个三角形有且只有一个外接圆D．直径是圆中最长的弦【答案】A【分析】利用垂径定理、三角形的外接圆，圆的有关定义及性质分别判断后即可得出答案．【解析】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题错误；B、圆的两条平行弦所夹的弧相等，正确；C、任意一个三角形有且只有一个外接圆，正确；D、直径是圆中最长的弦，正确；故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的外接圆，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质，属于中考常考题型．3．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由旋转的性质可得，，由三角形内角和可求，即可求∠BOC的度数．【解析】解：∵绕点O逆时针旋转得到，∴，，∵，∴,∴故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．4．（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则水深为（）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用垂径定理可知，再利用勾股定理求出解题．【解析】如图，连接，由题可知，则，，．故选B．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，已知点A，B，C依次在上，，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据等腰三角形的性质得出，，求出，根据圆周角定理得出，再求出答案即可．【解析】解：连接，

∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，能求出的度数是解此题的关键6．（2022秋·浙江湖州·九年级校联考期中）如图，已知正五边形，，A、B、C、D、E均在上，连接，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，，，根据，得出，根据圆周角定理即可得出答案．【解析】解：连接，，，如图所示：∵，∴，∴，∴，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆心角，弦之间的关系，解题的关键是求出．7．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，首先证明，设,在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题【解析】解：如图，连接．，，，点D是弧的中点，，，，，设,在中，则有，解得，，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，是的外角平分线，与的外接圆交于点D，连接交于点F，且，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据圆内接四边形对角互补推出，再由角平分线的定义得到，即可得到，则，再由得到，即可证明，再，即可证明即可判断A；再根据圆周角定理和等量代换把B、C、D三个选项中的角度用表示出来，结合三角形内角和定理即可得到答案．【解析】解：∵四边形是圆内接四边形，∴，∵，∴，∵是的外角平分线，∴，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，故A不符合题意；∵∴，故C不符合题意；∵，，∴，故D不符合题意；∵，∴，根据现有条件无法证明，∴无法证明，故B符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．9．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理解决问题即可．【解析】解：，，，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．10．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，点C是以为直径的半圆上一点，连结，分别以为边向外作等边三角形和等边三角形，点M，点N分别是，的中点．若，，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取半圆的圆心O，连接分别交于点P，Q，连接，根据垂径定理的推论可得，，再由等边三角形的性质可得点O，M，D共线，点O，N，E共线，再根据四边形是矩形，可得，然后设，可得，，从而得到，再根据，列出方程，即可求解．【解析】解：如图，取半圆的圆心O，连接分别交于点P，Q，连接，∵点M，点N分别是，的中点，∴，，∴，∵和是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴点O，M，D共线，同理点O，N，E共线，∵为半圆的直径，，∴，，∴四边形是矩形，∴，设，∴，∴，∴，∵，，∴，解得：，即．故选：B【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，矩形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理的推论，中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线．二、填空题11．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为．【答案】【分析】根据题意得到等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．【解析】解：如下图，圆心角，是等腰直角三角形，，又，作，，，，弧所对的弦长，故答案为：【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键运用勾股定理求出的长度．12．（2022秋·浙江金华·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，D.C是弧BE的三等分点，∠COD=32°，则∠E的度数是．【答案】【分析】先运用等弧对等角得出，再利用三角形外角性质即可求解．【解析】解：由、是的两个等分点，知，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．13．（2021秋·浙江·九年级杭州市文晖中学校考期中）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，交于点C，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为．【答案】/【分析】设，则，先利用勾股定理求出，再求出，最后根据进行求解即可．【解析】解：设，则，在中，由勾股定理得，∴，由题意得，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积，勾股定理，熟知扇形面积公式是解题的关键．14．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，在半圆O中，交弦于点D，若，，则长为．【答案】10【分析】根据，由垂径定理求得的长，然后设，则，由勾股定理可得方程：，解此方程即可求得答案．【解析】解：∵，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴，∴．故答案为：10．【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理．此题难度不大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．15．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，的半径弦于点，是上一点，，，的长的最大值为．【答案】18【分析】连接，根据垂径定理得，设半径为，在中，根据勾股定理得，可知当，，在同一条直线上时最长，的长的最大值为．【解析】解：如图，连接，的半径弦于点，，，设半径为，在中，，即，解得，，可知当，，在同一条直线上时最长，的长的最大值为．故答案为：18．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是利用垂径定理得，属于中考常考题型．16．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，中，，，，是线段上的一个动点，以为直径画，分别交，于，，连接，则；的最小值为．

【答案】/度【分析】根据三角形内角和定理求得，连接、，作于，作于，如图，根据圆周角定理得到＝，再计算出＝，则最小时，的长度最小，此时圆的直径的长最小，利用垂线段最短得到的长度最小值为的长，接着计算出，从而得到的最小值，然后确定长度的最小值．【解析】解：∵中，，，∴连接、，作于，作于，如图，

＝＝＝，而＝，，＝，＝，在中，＝，当最小时，的长度最小，此时圆的直径的长最小，即的长最小，的长度最小值为的长，的最小值为，长度的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形，推出＝是解题的关键．三、解答题17．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在中，弦、交于点，且．求证：．

【答案】见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【解析】证明：连接，

，，∴，，；【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．18．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，(1)求的半径长；(2)连接，作于点F，求的长．【答案】(1)5(2)【分析】（1）连接，利用垂径定理得到，再设，在中，利用勾股定理建立方程解得；（2）先在中利用勾股定理求得，再利用垂径定理求得的长度，最后在中利用勾股定理求得的长度．【解析】（1）解：如图，连接，的直径垂直于弦，，，设，则，在中，，，解得，即，的半径长为5；（2）解：由（1）得，，，，在中，，，，，在中，，．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解决本题的关键是掌握相关的定理并能熟练运用，连接辅助线构造直角三角形．19．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，由小正方形构成的网格，经过，，三点，仅用无刻度的直尺按要求画图．（保留作图痕迹）(1)在图（1）中画弦的弦心距；(2)在图（2）中的圆上找一点，使点是的中点．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据垂径定理解决问题即可；（2）取格点，作直径交于点，解决问题即可．【解析】（1）解：如图1，线段即为所求；（2）解：如图2，点即为所求．【点睛】本题考查作图应用与设计作图，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．

(1)求证：点D为的中点；(2)若，，求的直径．【答案】(1)见解析(2)20【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由平行线的性质可得，从而可得，再根据垂径定理即可得出结论；（2）根据垂径定理可得，再利用勾股定理进行计算即可．【解析】（1）证明：∵是直径∴，∵，∴，∴，∴，∴点D为的中点；（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的直径为20．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．21．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接，过点B作平行于，交于点P，连接．(1)求证：点D为的中点；(2)求的长度．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，可得，再由等腰三角形的性质，即可求证；（2）由等腰三角形的性质，可得，再根据四边形为的内接四边形，可得，然后根据，可得，从而得到，然后根据圆周角定理可得，再根据弧长公式计算，即可求解．【解析】（1）证明：如图，连接，∵为的直径，∴，即，∵，∴，即点D为的中点；（2）解：∵，，∴，∵四边形为的内接四边形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴半径，∴的长度为．【点睛】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握弧长公式，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．22．（2021春·浙江·八年级期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点绕点B顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为，记旋转角为．（1）如图①，，边上的一点M旋转后的对应点为N，当时，点N的坐标为_____；（2），边上的一点M旋转后的对应点为N，当取得最小值时，在图②中画出点M的位置，并求出点N的坐标．（3）如图③，P为上一点，且，连接，在绕点B顺时针旋转一周的过程中，的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（-3，4）；（2）N（-3，）；（3）最大值为，最小值为【分析】（1）利用旋转变换的性质求解即可．（2）由题意，，作点关于的对称点，连接交于，连接，的值最小．求出直线的解析式，可得点的坐标，求出，可得结论．（3）如图③-1中，当点落在的延长线上时，△的面积最大，如图③中，当点落在上时，△的面积最小，分别求解即可．【解析】解：（1）点，点，，，由旋转的性质可知，，，，．故答案为：．（2）如图②中，，，作点关于的对称点，连接交于，连接，的值最小．，，直线的解析式为，，，，．（3）存在．理由：如图③中，当点落在的延长线上时，△的面积最大．由题意，，，，，，，△的面积的最大值．如图③中，当点落在上时，△的面积最小，最小值为．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，轴对称最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．23．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）已知中，，以为直径的交于D，交于E，连接．(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，当为锐角时，证明；(3)若②中的边不动，边绕点A按逆时针旋转，当为钝角时，如图③，的延长线与相交于E．请问：与的关系是否与（2）中关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请找出其它关系，并证明．【答案】(1)(2)证明见解析(3)相同，证明见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，得出，再根据三角形的外角的性质，即可得出答案；（2）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据同圆或等圆所对的圆周角相等，得出，再根据等量代换，即可得出结论；（3）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据圆内接四边形的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论．【解析】（1）解：∵是直径，∴，又∵，，∴，∴．（2）证明：如图2，连接，∵为直径，∴，又∵，∴，∵，∴．（3）解：相同，证明如下：如图3，连接，∵为直径，∴，又∵，∴，∵是圆内接四边形的外角，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、三线合一