2022-2023学年广东省深圳市光明高级中学、凤凰城实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2022-2023学年广东省深圳市光明高级中学、凤凰城实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一．选择题（每题3分，共30分）1．（3分）一元二次方程5x2﹣2x+5＝0的一次项系数是（）A．5 B．﹣2 C．6 D．22．（3分）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②3x（x﹣4）＝0；③x2+y﹣3＝0；④y2+x＝2；⑤x3﹣3x+8＝0；⑥x2﹣5x+7＝0．其中是一元二次方程的有（）A．2 B．3 C．4 D．53．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE＝3，则BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（3分）一元二次方程（x﹣1）2+k﹣3＝0的一个根是x＝1，则k＝（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣25．（3分）下列说法：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表：射击总次数n1020501002005001000击中靶心的次数m9164188168429861击中靶心的频率0.900.80.820.880.840.8580.861根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是（）A．0.90 B．0.82 C．0.84 D．0.8617．（3分）琳琳在做数学作业时，因钢笔漏水，不小心将部分字迹污染了，作业过程如下（涂黑部分即为污染部分）．如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，求证：AC＝BD．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴①，∠ABC＝∠DCB＝90°．又∵②，∴△ABC≌△DCB．∴AC＝BD．污染部分的内容有以下四个选项供选择，a．AD＝BC；b．AB＝CD；c．AO＝CO；d．BC＝CB．下列说法正确的是（）A．①是a，②是d B．①是b，②是c C．①是a，②是c D．①是b，②是d8．（3分）“武鸣沃柑”是南宁市拥有的地理标志产品之一，具有皮薄肉厚，香甜多汁等特点．武鸣某村合作社2019年种植沃柑100亩，2021年种植沃柑144亩．若设该合作社种植沃柑面积的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．100（1+2x）＝144 B．100+100（1+x）+100（1+x）2＝144 C．144（1﹣x）2＝100 D．100（1+x）2＝1449．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，当四边形ABPQ初次为矩形时，点P和点Q运动的时间为（）秒．A．2 B．3 C．4 D．510．（3分）如图，E是正方形ABCD的边CD右侧一点，CE＝CD，CF平分∠DCE交BE于点F．下列结论：①∠BED＝45°；②∠BEC＝30°；③BF＝CF+EF；④若BE＝8，则四边形BCED的面积为32．以上结论正确的是（）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④二．填空题（每题3分，共15分）11．（3分）一元二次方程（x﹣4）（x+9）＝0的较小的根为．12．（3分）不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的三张卡片，每张卡片标有一个数字，这三张卡片分别标有数字﹣1，2，4，从袋子中随机摸出两张卡片，这两张卡片的数字乘积为负数的概率为．13．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若ac＜0，则它的根的情况是．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．15．（3分）将2017个边长为2的正方形，按照如图所示方式摆放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于．三．解答题（共55分）16．（8分）解方程：（1）x2+2x＝1；（2）（x﹣1）2＝x﹣1．17．（7分）小明的口袋中有5把相似的钥匙，其中只有2把钥匙能打开教室前门锁，但他忘了是哪两把钥匙，于是小明决定随机地从中选一把去逐一试开（不放回）．（1）小明从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是；（2）请用树状图或列表等方法，求出小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．（1）求证：四边形ABEO是菱形．（2）若AC＝4，BD＝8，求四边形ABEO的面积．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）试说明无论k取何值时，这个方程一定有实数根；（2）已知等腰△ABC的一边a＝1，若另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．20．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．22．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．（1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程：（2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．

2022-2023学年广东省深圳市光明高级中学、凤凰城实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一．选择题（每题3分，共30分）1．（3分）一元二次方程5x2﹣2x+5＝0的一次项系数是（）A．5 B．﹣2 C．6 D．2【解答】解：一元二次方程5x2﹣2x+5＝0的一次项系数是﹣2．故选：B．2．（3分）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②3x（x﹣4）＝0；③x2+y﹣3＝0；④y2+x＝2；⑤x3﹣3x+8＝0；⑥x2﹣5x+7＝0．其中是一元二次方程的有（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程；②3x（x﹣4）＝0是一元二次方程；③x2+y﹣3＝0不是一元二次方程；④y2+x＝2是二元二次方程；⑤x3﹣3x+8＝0是一元三次方程；⑥x2﹣5x+7＝0是一元二次方程．所以是一元二次方程的有2个．故选：A．3．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE＝3，则BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴DO＝BO，∵点E是CD的中点，OE＝3，∴BC＝2OE＝6，故选：D．4．（3分）一元二次方程（x﹣1）2+k﹣3＝0的一个根是x＝1，则k＝（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2【解答】解：将x＝1代入原方程得（1﹣1）2+k﹣3＝0，即k﹣3＝0，解得k＝3．故选：A．5．（3分）下列说法：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故（1）错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故（2）正确；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故（3）错误两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故（4）正确；即正确的个数是2，故选：B．6．（3分）某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表：射击总次数n1020501002005001000击中靶心的次数m9164188168429861击中靶心的频率0.900.80.820.880.840.8580.861根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是（）A．0.90 B．0.82 C．0.84 D．0.861【解答】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是0.861，故选：D．7．（3分）琳琳在做数学作业时，因钢笔漏水，不小心将部分字迹污染了，作业过程如下（涂黑部分即为污染部分）．如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，求证：AC＝BD．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴①，∠ABC＝∠DCB＝90°．又∵②，∴△ABC≌△DCB．∴AC＝BD．污染部分的内容有以下四个选项供选择，a．AD＝BC；b．AB＝CD；c．AO＝CO；d．BC＝CB．下列说法正确的是（）A．①是a，②是d B．①是b，②是c C．①是a，②是c D．①是b，②是d【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴①AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°．又∵②BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）．∴AC＝BD．故选：D．8．（3分）“武鸣沃柑”是南宁市拥有的地理标志产品之一，具有皮薄肉厚，香甜多汁等特点．武鸣某村合作社2019年种植沃柑100亩，2021年种植沃柑144亩．若设该合作社种植沃柑面积的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．100（1+2x）＝144 B．100+100（1+x）+100（1+x）2＝144 C．144（1﹣x）2＝100 D．100（1+x）2＝144【解答】解：依题意得：100（1+x）2＝144，故选：D．9．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，当四边形ABPQ初次为矩形时，点P和点Q运动的时间为（）秒．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故选：C．10．（3分）如图，E是正方形ABCD的边CD右侧一点，CE＝CD，CF平分∠DCE交BE于点F．下列结论：①∠BED＝45°；②∠BEC＝30°；③BF＝CF+EF；④若BE＝8，则四边形BCED的面积为32．以上结论正确的是（）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣∠DCE），∵BC＝CE，∴∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝[180°﹣（90°+∠DCE）]＝（90°﹣∠DCE），∴∠BED＝∠CED﹣∠BEC＝（180°﹣∠DCE）﹣（90°﹣∠DCE）＝45°，故结论①正确；②∵∠BEC＝（90°﹣∠DCE），∠DCE不确定，∴∠BEC＝30°不一定成立，结论②错误；③如图1，过点C作CG⊥CF，交BE于点G，∵CF平分∠DCE，∴∠DCF＝∠ECF＝∠DCE，∴∠BFC＝∠BEC+∠ECF＝（90°﹣∠DCE）+∠DCE＝45°，∵CG⊥CF，∴∠FCG＝90°，∴△CFG是等腰直角三角形，∴CF＝CG，FG＝CF，∵∠BCG+∠DCG＝90°，∠DCF+∠DCG＝90°，∠DCF＝∠ECF，∴∠ECF＝∠BCG，在△CEF和△CBG中，，∴△CEF≌△CBG（SAS），∴EF＝BG，∵BF＝FG+BG，∴BF＝CF+EF，故③正确；④如图2，过点C作CH⊥BF于点H，连接DF，在△CDF和△CEF中，，∴△CDF≌△CEF（SAS），∴DF＝EF，∴∠FDE＝∠BED＝45°，∴∠DFE＝90°，∴DF⊥BE，∵BE＝8，BF＝CF+EF，∴CF+2EF＝8，∴CF+EF＝4，∵∠BFC＝45°，CH⊥BF，∴△CFH是等腰直角三角形，∴CF＝CH，∴CH＝CF，∴DF+CH＝EF+CF＝4，∴S四边形BCED＝S△BDE+S△BCE＝BE•DF+BE•CH＝BE•（DF+CH）＝×8×4＝16，故结论④错误，综上所述，结论正确的是①③，故选A．二．填空题（每题3分，共15分）11．（3分）一元二次方程（x﹣4）（x+9）＝0的较小的根为x＝﹣9．【解答】解：由方程（x﹣4）（x+9）＝0，可得x﹣4＝0或x+9＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣9，所以一元二次方程（x﹣4）（x+9）＝0的较小的根为x＝﹣9，故答案为：x＝﹣9．12．（3分）不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的三张卡片，每张卡片标有一个数字，这三张卡片分别标有数字﹣1，2，4，从袋子中随机摸出两张卡片，这两张卡片的数字乘积为负数的概率为．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中两张卡片的数字乘积为负数的结果有4种，∴两张卡片的数字乘积为负数的概率为＝，故答案为：．13．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若ac＜0，则它的根的情况是有两个不相等实数根．【解答】解：∵ac＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0．∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若ac＜0，则它有两个不相等实数根．故答案为：有两个不相等实数根．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故答案为：3．15．（3分）将2017个边长为2的正方形，按照如图所示方式摆放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于2016．【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，则一个阴影部分面积为：1．n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）×4＝（n﹣1）．所以这个2017个正方形重叠部分的面积和＝×（2017﹣1）×4＝2016，故答案为：2016．三．解答题（共55分）16．（8分）解方程：（1）x2+2x＝1；（2）（x﹣1）2＝x﹣1．【解答】解：（1）x2+2x＝1，x2+2x+1＝2，（x+1）2＝2，x+1＝±，所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）（x﹣1）2＝x﹣1，（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣2）＝0，x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以x1＝1，x2＝2．17．（7分）小明的口袋中有5把相似的钥匙，其中只有2把钥匙能打开教室前门锁，但他忘了是哪两把钥匙，于是小明决定随机地从中选一把去逐一试开（不放回）．（1）小明从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是；（2）请用树状图或列表等方法，求出小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率．【解答】解：（1）小明从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：（用A、B表示能打开教室前门锁，C、D、E表示不能打开教室前门锁）共有20种等可能的结果，其中小明至多试开两次就能打开教室前门锁的结果数为14，所以小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率＝＝．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．（1）求证：四边形ABEO是菱形．（2）若AC＝4，BD＝8，求四边形ABEO的面积．【解答】证明：（1）∵BE∥AC，OE∥AB，∴四边形ABEO是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，∵AC＝2AB，∴AO＝AB，∴四边形ABEO是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC＝2，OB＝BD＝4，连接AE交BO于M，由（1）知，四边形ABEO是菱形，∴AE、OB互相垂直平分，∴OM＝BO＝2，∴AM＝＝＝4，∴AE＝8，∴四边形ABEO的面积＝AE•OB＝×8×4＝16．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）试说明无论k取何值时，这个方程一定有实数根；（2）已知等腰△ABC的一边a＝1，若另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【解答】证明：（1）∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴方程总有实根；（2）①当b＝c时，则Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，∴k＝2，方程可化为x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，而b＝c＝2，∴C△ABC＝5；②当b＝a＝1，∵x2﹣（k+2）x+2k＝0．∴（x﹣2）（x﹣k）＝0，∴x＝2或x＝k，∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，∴k＝1，∴c＝2，∵a+b＝c，∴不满足三角形三边的关系，舍去；综上所述，△ABC的周长为5．20．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，整理，得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【解答】（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解得t＝．∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形．（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥