届高考数学理二轮黄金考点汇编考点导数的应用单调性、最值、极值解析版

考点10导数的应用(单调性、最值、极值)

【考点分类】

热点1利用导数研究函数的单调性

1.12014全国1高考理第11题】已知函数f(x)=ax3-3x2+\,若/(x)存在唯一的零点七,

且%>0,则a的取值范围是()

A.(2,+8)B.(l,+oo)C.(-8,—2)D.(-co,-1)

【答案】C

t解析】

试题分析：当a=0时，/(x)=-3x:+1,函数/'(x)有两个零点f和•不满足题意，舍去；当a>0

33

时，/(x)=3ax:-6x,令f(/=0,得x=0或m=工三(-x：0)时，/(x)>0；xw(0上)时，

aa

/(x)<0;xw(±+x)时，/(x)>0,且"?"3此时在丫三(一元0)必有零点，故不满足题意，舍

a

去；当a<0时，xe(一七三)时，/(x)<0,xw(三。对，f(好>0；xe©+x)时，/(x)<0,

aa

且/(0)>0,要使得/(X)存在唯一的零点工，且乓、0,只需汽3>0,即a：>4,则a<-2,选C.

a

考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性.

2.【2014高考安徽卷第18题】设函数/(无)=1+(1+。)%-/一次3,其中。>0.

(1)讨论/(X)在其定义域上的单调性；

(2)当xe[O,l]时，求/(x)取得最大值和最小值时的x的值.

【答案】⑴f(x)在(一二不)和(x〉+8、「'j单调道漏在用小)内单调递噌；(2)所以当0<。<1时,

/(x)在x=l处取得最小值；当。=1时・/(x)在X=0/K=1处同时取得最小只；当1<。<4时，

/(X)在x=0处取得最小值.

【解析】

试题分析：(1)对原函数进行求导，/'(x)=l+a-2x-3x:,令/'(x)=0,解得

1ryja+1+4

Xl=----;———.X=-----;——-X1<x.当x<七或x>x：时/'(x)<0；从而得出，当

3;'j:2-一

±<x<三时，/'(x)>O.故/(x)在(一GX1)和(.0.+x)内单调递遍，在(打工2)内单调递噌.(2)依

据第(1)题，对a进行讨论，①当a24时，三21,由。、知，/(x)在［0』上单调述噌，所以/(x)

在x=0和x=l处分别取得最小值和最大值.②更C-a<4时，三<1.由(1)知，f(x)在［0：xJ上单

调递增，在［X、1］上单调递减，因此FG:在•.=七=——0------处取得最大值.又

*3

/(0)=L/(l)=fl,所以当0<avlG,/(幻：工丫=1处取得最小值，当a=l时，/(x)在x=0和

x=l处同时取得最小只；当l<a<4时，/(x)在x=0处取得最小值.

试题解析：⑴/(x)的定义域为R,/'(x)=l+a-2x-3x：令/'(x)=0,得

—1—4+3々-1+4+3a

X［=----;———.X,=-----;———X1<x，所以/'(x)=-3(x一±)(x_x、).当x<演或x>X,

3,3:z

时/'(X)<O；当XiVXVX?时，/'(X)>0.故/(X)在(一8：三)和(三：+8)内单调圜勋在(X［：X：)内

单调递增.

(2)因为a>0,所以网<0；0>0.

①当。24时，x;>l,由(1)知，/(x)在［0］：单调递噌，所以/(x)在x=0和x=l处分别取得最

小值和最大值.②当0<。<4时，三<1.由、D知，/(x)在［O：xJ上单调递噌，在［工：1］上单调

递减，因此/(X)在x=匕=-1+中+3"处取得黑大值,又气。)=L/(l)=a,所以当0<a<1时，

/(X)在x=l处取得最小值；当a=l时，/(x)在x=0和x=l处同时取得最小只；当l<a<4时，

/(x)在x=0处取得最小值

考点：1.含参函数的单调性；2.含参函数的最值求解.

7T

3.【2014高考北京理第18题】已知函数/(x)=xcos%-sinx,x£［0,］］.

(1)求证：/(%)<0；

(2)若。(qin把Y对xe(O,T土T)恒成立，求。的最大值与b的最小值.

x2

【答案】(1)详见解析；(2)a的最大值为6的用小值为1

【解析】

试题分析：(1)求1r(K),由xc(O,1),判断出尸(0<o,得出函数f(x)在(0,1)上单调递减，从而

f(x)</(0)=0;(2)由于xw。至)，“竺三>a”等价于“sinx-G>0",“空三<6”等

2xx

1

价于"sinx-6xv0",令g(x)=sinx—ex,T1^**y=cosx-r对c分cWO；c>1；Ovcvl进行讨

论，

用导数法判断函数g(x)=sinx-ex的单调性，从而确定当a<吧工<6时xwQ马恒成立时a的最大值

x2

与6的最小值.

试题解析：(1)由f(x)=xcosx-sinx得f\x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

r

因为在区间(0,彳)上f\x)=-rsinx<0■所以，(x)在区何［0:彳］上单调递减，

从而/(x)</(0)=0.

(2)当x>0时，“吧〉a"等价于"sinx-a、，>0",“吧<方”等价于“sinx-6x<0'',

XX

令g(苗=sinx-cx,则g'(A)=cosx-e

当c40时，8在)>0对任意丫£(05)恒：之，

当c21时，因为对任意xw=cos〔-cv0,巴以g(x)在区间［0：=1上单调递减，从而

g(x)<g(0)=0对任意xw(0,g)恒成:

当0<c<1时，存在唯一的x:€(0,，)使得g'(x：)=cosXj-c=0,

TT

g(x)、g'(x)在区间(0,y)上的情况如卜表：

/x兀、

X(O,xo)Xo(o，万)

g'(x)+0—

g(x)TJ

因为g(x)在区间[Q毛]上是增函数，所以g(x；)>g(0)=0,进一步“g(x)>0对任意xc恒成立“

，当且仅当g(])=l-?c20,即0<cW2.

综上所述，当且仅当c«二时，g(x)>0对任意xe(0=)'尸二立.当且仅当c21时，g(x)〈0对任意

xe(61)恒成立.

所以，若。<色竺对x©(o一马恒成立如■的最大值％工与方的最小值1.

x2冗

考点：导数法求函数的单调性，恒成立、分芈讨论.

Q

4.【2014高考辽宁理第21题】己知函数/(x)=(cosx—x)5+2x)-§(sinx+l),

.2x

g(x)=3(x-x)cosx-4(1+sinx)ln(3---).

71

jr

证明：(I)存在唯一与€((),'),使/(%)=0；

(H)存在唯一X]e乃)，使g(X1)=0,且对⑴中的Xo+X]<7T.

【答案】(I)详见解析；(0)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)当16。：)时，/'(x)=-(l+sinX)(,T+2X)-2X--^COSX<0,函数/'(x)在(0：/上

为减函数，又/(0)=,T-^>0:/(^)=一三-2<0,所以存在唯一X；e(0:§,使/(x0)=0.(II)考

虑函数；?(x)="；一空吧-41n(3一2力.xe[1司，令r=0-x,!I!iJxe[-.^]W，re[0.-],

1+sinx7T222

cost，3(t)

记〃-41n(l+上r),则/(r)=——-q----，有3)得，当rw(0,x：)时，

1+sinr7l(rr-J*\l+sinr)

当时，〃'(r)<0.在(0：J上认。是噌I虱k，又认0)=0,从而当rwQx。]时，

u(r)>0»所以认。在(0⑼上无零点花(天一)上是减班.亚，又。(xJ>02(令=-41n2<0,存在

唯一的&e,使此)=0.所以苗工唯一的[三(X：A)/必)=0.因此存在唯一的

再=笈-4w(f一磅，使7?(演)=，?(丁一。1)=〃(4)=0.因为当xw时，l+sinx>0,故

g(x)=(1+sinx)7z(x)与方(x)有相同的零点，所以存在唯一的国€(^-S,T),使名(项)=0.因

X,=7T-tx>tx>xo,所以玉)+王<万，即命题得证.

试题解析：(I)当xe(O，)时，/'(x)=-(1+sinX)(,T+2X)-2x-^cosr<0,函数f(x)在(04)上

232

为够函数，又/(0)="一?>0,/(1)=—,三一学<0,所以存在唯一吃£(0,1),使7•(x°)=0.

(II)考虑函数A(x)="一二八*-4ln(3一£x\xc[三，用，

1+sinx7t2

令t-贝幻时，re[05-],

记〃S=W；r-r)=^^-41n(l+：。，则"'«)=---------------,

1+sinr7t(^,+2/^(1+sinr)

有(I)得，当ree均)时，"")>0,I当fu(孙当的，

在(0,七)上〃缶是噌函数，又“(0)=0,从而当re。1时，所以"(。在(0,七]上无零点.

在(x>g)上〃(。是减函数，又〃(x：)>(X〃d=-41n2v0,।子在唯一的&W,使〃Gi)=0.

所以存在唯一的txe(x0,^)使岫)=0

因此存在唯一的内=乃一4W(三,工)，卢:“内)=•<!-?!)=£.^)=0.

因为当工€(三1)时，l+sinr>0>故以工)=(1+5出工)砥丫)与砥丫)有相同的零点，所以存在唯一的

项呜㈤'使g(』)=o

因$=1一4声>七，所以毛+X1<；T

考点：1.零点唯一性的判断；二.函数的单调性的应用.

bex~'

5.12014高考全国1第21题】设函数/(x)=ae'lnx+、•，曲线y=/(x)在点(1J⑴)

x

处的切线方程为y=e(x—1)+2.

(I)求a,b;

(II)证明：/(x)>l.

【答案】(I)4=11=2；(H)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)由切点(l,/(l))在切线y=e(x-l)+2.上，代入得/(l)=2①.由导数的几何

意义得f(l)=e②，联立①②求a,。：(H)证明/*)>1成立，可转化为求函数/(x)的最小

值，只要最小值大于1即可.该题不易求函数/(X)的最小值，故可考虑将不等式结构变形为

22

x\nx>xe~x——，分别求函数g(x)=xlnx和力(九)=旄一"——的最值，发现g(x)在(0,+8)

ee

的最小值为gd)=-L,/i(x)在(0,+8)的最大值为〃(1)=-』.且不同时取最值，故

eee

2

xlnx>xe-x-一成立，即/(x)>1,注意该种方法有局限性/(x)>g(x)只是不等式

eminmin

/(x)>g(x)的充分不必要条件，意即当/(x)>g(x)成立，最值之间不一定有上述关系.

xx1

试题解析：(D函数的定义域为(0,+工).f(x)=aelnx+-e-^e^+-.

Xx"X

由题意可得，f(1)=25/(1)=e.故a=l：6=2.

(II)由⑴知，f(x)=orInx+—,从而f(x)>1等价于Ynx>X，'一二，设函数g(x)=xlnx,

xe

则g(x)=l+lnx.所以当xw(O」)时，g(x)<0；当+x)时，8(冷>0.故80)在(0上)递减，

ece

11

在(-8+oc)递噌,从而g(x)在(0：+x)的最小值生£(-)=一一,设r(x)=-一，则，2(x)=量(1-x).所

eeee

以当xw((M)时，U(力>0；当xwQm)陆h\x)<Q,故乂。在(01)递增，在(L+x)递减，从而〃(X)

在(0,+H)的最大值为4=综上，当，>0时，g(x)>2八即f(x)>L.

e

【考点定位】1、导数的几何意义，2、利用导数判断函数的单调性，3、利用导数求函数的最值.

6.【2014高考全国2第21题】已知函数〃x)=e，—e-，—2x.

(I)讨论/(x)的单调性；

(H)设g(x)=〃2x)—4/(x),当x>0时,g(x)>0,求〃的最大值；

(III)已知1.4142<8<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001)

【答案】(I)函数/(x)在R匕是增函数;(II)2；(III)0.693

【解析】试题分析：本题第(I)问，判断函数的单调，关键是判断导数的正数；对第(II)

问，可构造函数g(x)=/(2x)—4V(x),对(III)问，可根据b的取值讨论.

试题解析：(I)因为f'(x)=ex+-\-2>0,当且仅当x=0时等号成立，所以函数/(x)在

R上是增函数;

(II)因为g(x)=/Qx)-4"(x)=e*-£±-421-「一〜M-4)》，

所以g(力=2[户+产-2H以+尸)+(-rf>-2)]=二⑷+1-2)(/+e-z-2b+2).

(1)当642时，g(x)N0：等号仅当x=OP;成立，M以g(x)江飞上单调递噌，而g(0)=0,所以对任意

x>0>g(x)>0»

(2)当6>2时，若x满足2<e'+e~~<2Z>-1>CP0<x<ln(u-1+/)：-2b)时,g(x)v0,而g(0)=0(

因此当0<ln(b-1+Jb：-26)时,g(x)<0,

综上，6的最大值为2.

(III)由(II)知，g(ln^2)=1-2>/26+2(2d-l)ln2,

当6=2时，g(ln>/2)=1-4V2+61n2>0,In20.6928s

当6=芈+1时，、3-1+6-券)=山0,g(ln0)=--：-2/+(30+2)ln2<O,

In2<I*®<0,6934，所以In2的近似值为0.693

28

【易错点】对第3)间，函数单调性的判断，七易;对第(H)间,考虑不到针对6去讨论；对第(III)|n],

找不到思路.

【考点定位】本小题主要考查利用导数研空为数的学丐在、极值.最值等知识，综合性较强，考查函数与

方程、分类讨论等数学思想方法，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数与导致的基础知识以

及基本题型是解答好本类题目的关键.

【方法规律】

求可导函数单调区间的一般步骤和方法

(1)确定函数的定义域.

(2)求4M，令4M=0,求出它们在定义域内的一切实数根.

(3)把函数AM的间断点(即AM的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大

的顺序排列起来，然后用这些点把函数AM的定义区间分成若干个小区间.

(4)确定4M在各个开区间内的符号，根据4M的符号判定函数AM在每个相应小开

区间内的增减性.

【解题技巧】

讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于o或小于o的不等式的解集，一

般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数

等于o的根的情况下，根的大小是分类的标准

【易错点睛】

(1)注意函数定义域的确定.

(2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好ra)=o时的情况；区分极值

点和导数为0的点.

例1：已知aCR,函数/5)=(-f+iujelveR,e为自然对数的底数).

(1)当。=2时，求函数/㈤的单调递增区间；

(2)若函数火外在(一1,1)上单调递增，求a的取值范围；

(3)函数/")能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由.

i解析i(1)一般地，涉及到函数1儿其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可以借助导数这一重要

工具蛀行求解.函数在定义域内存在单调区间，就是不等式f或^在定义域内有解.这样就可

以把问题转化为解不等式问题.

心)已知函数在某个区间上单调求参数问题，通常是解决一个后成立问题，方法有①分离参数法，②利

用二次函数中恒成立问题解决.

(3)一般地，可导函数既在Q坊上是胤或减)函数的充更冬件是：对任意b),都有「(工20(或

f(x)WQ),且F(工在a,虫的任何子区间六都不慎等千)廿别是在已知函数的单调性求参裁的取值范围

时，要注意“等号”是否可以取到.

解⑴当a=2时，，[x)=(—r+2x)1；

：»f(x)=(—2v+2)r+(—x:+2x)r—(—+2)r.

&f(x)>0,gp(-x:+2)r>0,

Vr>0,/.-x-+2>0,解得一S<xvS.

二函数,Rx)的单调递螃区间是(一亚，0

(2);•函数/U)在(-1,1)上单调递增，

二「(x)》O对都成立.

".'f(x)=[-x2+(a-2)x+a]ev

[-x2+(a-2)x+a]e*》O对xG(-1,1)都成立.

VeA>0,

-x2+(a-2)x+a/O对x£(-1,1)都成立，

即x2-(a-2)x-a〈O对x€(-1,1)恒成立.

设h(x)=x2~(a-2)x~a

只须满足t%l()-lW)。WO’解得一3

(3)若函数7(x)在R上单调递减，

则/'(x)WO对x6R都成立，即[-『+(a-2)x+a]e、WO对x€R都成立.

,"'e'>0.-2)x-对xWR都成立.

••.A=(a-2)2+4a^0,即J+4W0,这是不可能的.

故函数人r)不可能在R上单调递减.

若函数以上单调递增，则/⑶20对x€R都成立，即［-f+(a-2)x+fl|eX20对

x€R都成立.

'''e'>0>.1x?-(a-2)x-aWO对x£R都成立.

而x2-(a-2)x-aWO不可能恒成立，

故函数J(x)不可能在R上单调递增.

综上可知函数八x)不可能是R上的单调函数.

【易错点】导数与。的等号是否能选取选取

例2:(2009,辽宁)已知函ax+(a—l)lnx,a>\.

(1)讨论函麴(x)的单调性；

(2)证明：若a<5,则对任意不，*2©(0,+8),X1^x2,有人汨)二八"2)>一［.

两%2

【里析】⑴先求导，根据参数a的值进行分类讨论；⑵若>>七，结论等价干心i)+x：之长)+.当若

x：〈t，问题等价干.心；)+工工*注)+4，故问题等价千了=,心)+工是单加增函数.

⑴解.心］的定义域为(0,+<»).

~.a-1x：-av+a-1fx-lifx+1-a),,,

f(x)=x-a+-=-------------------------.［2分］

_iY*™-1

①若a—1=1,即。=2时，/(x)=——.

故然浓［0,+叼上单调递增.

②若a—1<1,而故1Q<2时，药当工■-1：1)时，.(x)<0；当xE(0,q—1汲工日1,+8)时，

/(.x)>0,故尔：在4-1：1)上单调递减，在(0.a—1),(b+8让单调递增.

③若a—1n1,即心二时，同理可得个，,在［1,u-i)上单一耳述减，

在01),(々-1,+8)上单调递增.［6分］

(2)记萌考虑函数%•)=„+工

=5%;一av+(a—l)lnx+x.

q-［/］

则g'(x)=x-1)H■——---

=1—«a—1—1)-.

由于故gf(x)>0,

即在［0,+8)上单调递增，

从而当X］>X2>0时，有g(Xi)—g(x：)>£b

即叉后)一兀3+不一比lQ，

金三如>T.［1Q分］

工】X：

当gg-时，有虫匕务—蹩I.

'X1-4X：-X1

综上，若a<5,对任意x：G(0,+°°),x：Wa有'"""」>一1.［12分］

X;-X2

【易错点】对变量a分类不当

热点2利用导数研究函数的最值极值

1.12014辽宁高考理第11题】当xe［—2,1］时，不等式4*3一了2+4*+320恒成立，则实

数。的取值范围是()

/9.

A.[-5,-3]氏[r-6,--]C-[-6,-2]D.[-4,-3]

【答案】C

【解析】

试题分析：当X。时，原式恒成立；

4，;3

当xw（0J时，原式等价于a＞（―-'-）max恒成立；

X

当xw[-2,0）时，原式等价于。4（二=三）向11恒成立；

.一

X*—4x—3/一4x—31431

令〃x）=：__^;X6[-2:0）U（0:11.v/（x）=--j-=——T--＞令『=一，即

XXXx.XX

322—1-1

j*=—3r~4r-r19y'=—9t—8r+l,可知（—L§）为j的噌区间，（―8：—1）：（§：+K）为7的城区

间，所以当xw（0J时，即fE[L+%）时，r=l时丁的=一6,即f（x）1Mx=一6,々2-6；当XE[-2.0）

时，即空（一6一£）时，）在（一吟一1）上递减，在（T-〈]上述噌，所以L1时].n=-2,即

/（x）min=-2:.a＜-2；综上，可知，的取值范围是[一6「2],故选C

着点：不等式恒成立问题.

2.[2014高考江西理第18题】已知函数侬=（xs+bx+bN'IF（beR）.

（1）当b=4时，求fCxi的极值；

（2）若f区》在区间（0,；）上单调递增，求b的取值范围.

【答案】（1）/（X）在x=-2取极小值Q,在x=CL取极大值4.C）（-x,l].

【解析】

试题分析：（D求函数极值，首先明确其定、,、域：，=「X』），然后求导数：当b=4W，=

再在定义域下求导函数的零点：1=-2或工=：；.根中.央苻号变化规律，确定极值：当工w（-x「2）时，

r（x）＜0J（x）单调述减，当xw（-2⑼时，/"z："（x）单调递.，，当心（0二）时，r（x）＜QJ（x）单调递

滥，故/（x）在x=-2取极小值Q,在x=n取极大值」＜2）已知叱数单调性，求参数取值范围，一般转化

为对应导致恒非负，再利用变量分离求最值由题意得''5）=曰?泮220对工£（0,3恒成立，即

Vl-2x3

5x+3b-240对xe(O,g)恒成立,即匕4(与把)而，xe(O,g),即

试题解析：(1)当b=4W，/'(x)=二］。，由/(x)=0胃K=-2或x=0.

-s/l-2x

当xw(F-2)时，r(x)<0J⑶单调两斯当心、一2。时，r(x)>0J⑶单调递增，当xw(04)时,

r(x)<0J(x〕单调递减，故/(X)在x=-二取极小％0,在x=。.取极大值4.

(2)r(x)=7丁乎一口因为当X€吗时齐

Vl-2x3V!-->

依题意当xe(0$时，有5x-3匕-240,忒；-^-2<0

所以b的取值范围为(-工］1

考点：利用导数求极值，利用导致求参号取值范围

x2

3.12014高考山东卷第20题】设函数f(x)=，e一♦*+lnx)(&为常数,e=2.71828…

xx

是自然对数的底数).

(I)当女<0时，求函数/*)的单调区间；

(II)若函数/(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围.

【答案】(Df(x)的单调递修区间为(0.2),单,品增区间为(2,+x).

(II)函数在(0二)内存在两个极值点时，k的取值范围为(41).

【解析】

试题分析：(I)函数j=f1x)的定义域斗q+力，

/(力==(*一2)(夕一”)由K勺0可得产一H>0,

X，

得到_/(x)的单调递减区间方22)，¥扃递噌区篮内(2,+X).

(II)分上40,k>0,0<A;<1,女>1时，

讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.

试题解析：(I)函数y=/(x)的定义域为(0,+8),

XX

f'(x)=2/—2/一左(一-^-+-)

4

XXX

xex-2e'_k(x-2)

x3x2

(x2)(/丘)

由k«0可得《一气〉0,

所以当xe(0,2)时，/1(x)<0,函数y=/(x)单调递减，

当xe(2,+oo)时，f(x)〉0,函数y=/(x)单调递增.

所以/(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+oo).

(I：)由(I)知，kWO时，函数在(0二)内单调递减，

故/(.Y)在(0:2)内不存在极值点；

当k>0时，设函数g(©,

因为g(x)=e'-k=/-**,

当OvkMl时，

当xw(0：2)时，g(x)=e~-k>0,j,=g(x、iW调递噌,

故/(x)在(0:2)内不存在两个极值占

当k>l时，

得xe(O」nk)时，g(x)<0,函数:j=g(x)单调递减，

xe(InA-:+x)B^,g(x)>0,函数j=g(x)单调递噌,

所以函数y=g(x)的最小值为g(ln左)=封1-Ink)，

函数/(x)在(0,2)内存在两个极值点

g(0)>0

g(ln&)<0

当且仅当《

g⑵>0

0<In<2

解得e<k<—，

2

综上所述，函数在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为(e,^).

考点：应用导数研究函数的单调性、极值，分类讨论思想，不等式组的解法.

4.12014高考四川第21题】已知函数/(%)="一々(：2一公一1,其中4/€/?,e=2.71828…

为自然对数的底数.

(I)设g(x)是函数/*)的导函数,求函数g(x)在区间［0,1］上的最小值:

(H)若/(1)=0,函数/(x)在区间(0,1)内有零点，求。的取值范围

【答案】(I)当a4±时，g(x)>g(0)=l-i；当gvaS；时，g(it)>2a-2aln(2a)-d；

当4>■!■时，g(x)>e-2a-b.(II)a号范围为也］).

【解析】

x

试题分析：(I)g(x)=e*-lax-b:g'(x)=e-2a,再对夕a情况确定g(x)的单调区间，根据g(x)

在［0』上的单调性即可得g(x)在［0」上的最小值.(H)设'为f(x)在区间(0」)内的一个零点，注意到

/(0)=0,/(1)=0.联系到函数的图象可知，导函涉.口在区间(0,电)内存在零点七，g(x)在区间(七」)

1Q

内存在零点七，即g(x)在区间(01)内至少有卢个零点.由(I)可知，当aW彳及a2彳时，g(x)在(01)

内都不可能有两个零点.所以gva<：此时•g(x)在「6In?旬J■单调递减，在［In2a1］上单调递噌，因此

甬c(0.ln(2a)Lx;e(ln(2a),l),且必有g(0)=1-b>0.g(l)=e-2a-b>0.由/(I)=e-a-b-1=0

得：b=e-a-l,代入这两个不等式即可得a的取值范围.

x::

试题解答：(I)g(x)=e-2ax-bzg\x)=e-2a

①当a&O时，g'(x)=e'-2R/O,所C、g(x)N；八。)=1-6.

fX

②当a>0时,由g(x)=0-2t户。得/>2asx^ln(2<?).

Q

若a>:，则ln(2a)>0；若a、:，则!以「a)>l

所以当Ova“：时，g(x)在上单调底二所以g(x)2g(0)=1-M

当!时，g(x)在［01n2史上单调递激，在［In2aJ上单调述噌，所以

g(x)>gQn2a)=2a-2aIn2a-b.

当a>：时，g(x)在［0」上单调递减，所以g(x)2g(l)=o-2a-b.

(n)设x：为/(x)在区间(o:i)内的一个零点，则由/(0)=/(%.)=o可知，

/(X)在区间(0:天)上不可能单调递窄也不可笃单调递祷

则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负

故g(x)在区间(Osx:)内存在零点xP

同理g(x)在区间(专」)内存在零点上.

所以g(x)在区间(051)内至少有两个雪点.

由(I)知，当aW：时，g(x)在［0J与调速增，故g(x)在(01)内至多有一个零点.

当a2：时，g(x)在［0」上单调屋瀛，故g(x)在(0」)内至多有一个零点.

所以

此时，g(x)在［0Jn2a］上单调递减，在［IntaJ上单调递噌，

因此再e(0:ln(2a)］,x;e(ln(2a):l),且必有

g(0)=1-d>O.g(l)=e-la-b>0.

由/'(1)=e—a—6—1=0得：5=e--v—1,代、上两个不方式得：

g(0)-1-b=a-e+2>0=g(l)=e-la-b=l-a>0.

解得e-2<a<1,

当时，g(x)在区间［0J内有最小式g(ln(］切.

若g(ln(2a))>0,则20(xe［0:P),

从而f(x)在区间［0」］上单调递噌，这与〃==八1)=0矛质，所以g(ln(2a))<0.

又g(°)=a-e+l>0.g(l)=1-a>0.

故此时g(x)在(0.ln(2a))和(ln(2a)」)内各或日一个零点内和七.

由此可知/(x)在［0,再］上单调递噌•比(冷xj上单调课7,在［七」］上单调递增.

所以了(再)>/(0)=0,/(x,)</(l)=0,

故/(X)在(项，上)内有零点.综上可知，a的取值范围是(e-2」).

【考点定位】导数的应用及函数的零点.

5.【2014高考重庆理科第20题】已知函数/(x)=ae2x—匕0-2工-cx(a,b,ceR)的导函数

f\x)为偶函数，且曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线的斜率为4-C.

(I)确定见人的值；

(II)若c=3,判断/(x)的单调性；

(IH)若/(x)有极值，求c的取值范围.

【答案】3)a=1力=1；(0)噌瓯沌，(III)J+X).

【解析】

试题分析：(I)由/(x)=aez~-be'2x-cx(a.b.ceRj=f(x)=2aez：:+1be~z~-c

因为f'(x)是偶函数，所以f(-x)=f'(x又日线y=1力在点(0J(0))处的切线的斜率为4一c,

所以有F'(0)=4-c,利用以上两条件和方程组广口a力的使，

xx

(II)由(I),f(x)=2e+2e--c,当c=3时，利用了'(XI的符号判断/(x)的单调性；

(III)要使函数/(x)有极值，必须广(X)有零点，由于2/+2夕工24,所以可以对c的取值分类讨论,

得到时满足条件的c的取值范围.

试题解析：

解F(I)对〃xl求导得r(x)=2a/+2&4-c,由fix)为偶函数，知/(-x)=/(x),

即2(a-6)(|=0,因=+，•>0,所!1.二5

又f(0I=c，故a=L6=l.

(II)当c=3时，/(X)=©-'-1'一3工，那么

f(X)=2e：x+2产-3>-3=1>0

|故/(x)在K上为噌函数.

（Ill）由（I）知，'仁卜？/、？。-"一,而2厂工21'产产=4,当x=0时等号成立.

下面分三种情况进行讨论.

当c＜4时，对任意xw凡/''（X）=2/：+2/"一-0,此时/（寸无极值；

当c=4时，对任意XHO：f'（x）=+2?-'-4＞0,此时fix）无极值；

当c＞4忖，令*=t,注意到方程2f+Z—c=0有两根，（c±Jc二-16〉0,

t-4

即/'（x）=°有两个根玉=；1"或=；1鹏.

当不＜无＜々时、r（x）＜o：又当时:/'（》）＞0从而/"）在了=々处取得极小值.

综上,若/（x）有极值,则c的取值范围为（4,+8）.

考点：1、导数的几何意义及导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.

【方法规律】

1.求函数极值的步骤

（1）确定函数的定义域.

（2）求方程4M=0的根.

（3）用方程4A）=0的根和不可导点的X的值顺次将函数的定义域分成若干个小开

区间，并形成表格.

（4）由f⑻=0的根左右的符号以及在不可导点左右的符号来判断在这个根

或不可导点处取极值的情况.

2.函数的最大（小）值是在函数极大（小）值基础上的发展.从函数图象上可以直观地

看出：如果在闭区间［a,b］上函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必

有最大值和最小值，只要把函数y=f（x）的所有极值连同端点处的函数值进行比较，

就可以求出函数的最大（小）值.

【解题技巧】

1.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判

定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.

2.对于可导函数式x),f(刖)=0是函数Ax)在x=xo处有极值的必要不充分条件.

3.可导函数极值存在的条件：

(1)可导函数的极值点xO一定满足F(xO)=0,但当？(xl)=0时，xl不一定是极

值点.如Rx)=x3,f(0)=0,但x=0不是极值点.

⑵可导函数y=f(x)在点xO处取得极值的充要条件是P(xO)=0,且在xO左侧与

右侧？(x)的符号不同.

4.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值

是比较极值点附近的函数值得出来的.函数的极值可以有多有少，但最值只有一

个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有

最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.

5.求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，

其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

【易错点睛】

(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下

结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念.

(2)f(xo)=0是y=危)在X=XQ取极值的既不充分也不必要条件.

如①y=网在x=0处取得极小值，但在x=0处不可导；

®f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是人%)=%3的极值点.

⑶若y=/)可导，则/(xo)=0是危)在x=xo处取极值的必要条件.

4

例1：若函数/'(X)=a*3—6x+4,当x=2时，函数f(x)有极值一可.

(1)求函数/l(x)的解析式；

(2)若关于加方程f(x)=%有三个零点，求实数4的取值范围.

【解析】

本题研究函数的极值问题.利用待定系数法，由极值点的导数值为0,以及极大值、极小值

,建立方程组求解.

解(1)由题意可知-(x)=3af—6.

'f2=12ai=0f_1

于是「c。”"4'解得

f2=8d-2，+4=一3，/

I3[b=4

故所求的函数解析式为/'(x)=；f—4x+4.

•J

⑵由(1)可知，(王)=/一4=(才-2)(x+2).

令f(x)=0得x=2或x=-2,

当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表所示:

X(—8,—2)-2(—2,2)2(2,+8)

f(x)+0—0+m

极大

F(x)单调递增单调递减单调递增

值

4

当x=2时，f(x)有极小值一§,

所以函数的大致图象如图，

故实数比的取值范围为

【易错点】判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要

判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值.

例2：(2010•安徽)设a为实数，函数f(x)=e,-2x+2a,xGR.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln2—1且x>0时，e'>x'—2ax+1.

【解析】(1)解由f(x)=e'—2x+2a,x6R,

知，(x)=e'-2,xWR.

令F(x)=0,得x=In2.于是当x变化时，

f(才)，f(x)的变化情况如下表：

X(-8,In2)In2(In2,+8)

f(X)—0+

f(.x)极小值

故Hx)的单调递减区间是(-8,In2),

单调递增区间是(In2,+8),

f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为

Ain2)=eln2-21n2+2a=2(l—In2+a).

(2)证明设g(x)=e*—V+2ax—l,xGR.

于是g'(x)=e*—2x+2a,xGR.

由(1)知当a>ln2T时,

g'(x)最小值为g