初三数学反比例函数知识点及举例

汇报人：XXX初三数学反比例函数知识点及举例2024-01-28目录反比例函数基本概念反比例函数与直线关系反比例函数应用举例反比例函数图像变换规律解题技巧与易错点分析经典题目解析与拓展延伸01反比例函数基本概念Chapter性质反比例函数的图象是双曲线，且两支分别位于第一、三象限或第二、四象限。在每个象限内，随着$x$的增大，$y$值逐渐减小。当$k>0$时，图象在第一、三象限；当$k<0$时，图象在第二、四象限。定义：形如$y=frac{k}{x}$（$k$为常数，$kneq0$）的函数称为反比例函数。定义与性质03对称性反比例函数的图象关于原点对称。01图象形状双曲线。02与坐标轴的关系反比例函数的图象与坐标轴没有交点。图象特征表达式：$y=frac{k}{x}$（$k$为常数，$kneq0$）。01表达式及参数意义参数意义02$k$是比例系数，决定了双曲线的形状和位置。03当$k>0$时，双曲线位于第一、三象限；当$k<0$时，双曲线位于第二、四象限。04$|k|$的大小决定了双曲线离坐标轴的远近，$|k|$越大，双曲线离坐标轴越远。0502反比例函数与直线关系Chapter反比例函数图像不会与坐标轴相交。当$k>0$时，反比例函数的图像位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，$y$随$x$的增大而减小；当$k<0$时，反比例函数的图像位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，$y$随$x$的增大而增大。与坐标轴交点反比例函数图像关于原点对称。若直线与双曲线两支各有一个交点，则直线与双曲线相交；若直线与双曲线两支共有两个交点（重合也算），则直线与双曲线相切；若直线与双曲线没有交点，则直线与双曲线相离。与其他直线位置关系代入法把直线方程代入反比例函数方程，消去$y$（或$x$），得到一个关于$x$（或$y$）的一元二次方程，根据判别式$Delta=b^{2}-4ac$来判断。若$Delta>0$，则直线与双曲线有两个不同的交点，即相交；若$Delta=0$，则直线与双曲线有一个交点（即切点），即相切；若$Delta<0$，则直线与双曲线没有交点，即相离。图象法画出直线和双曲线的图象，通过图象直接观察判断。如果直线与双曲线图象有两个交点，则相交；如果有一个交点（即切点），则相切；如果没有交点，则相离。特殊值法取反比例函数上的几个特殊点，代入直线方程进行验证。如果所有特殊点都不在直线上，则直线与双曲线相离；如果有特殊点在直线上，则进一步判断是相交还是相切。判定方法03反比例函数应用举例Chapter已知矩形的长和宽成反比例关系，若长增加，则宽减少，保持面积不变。矩形面积三角形面积平行四边形面积已知三角形的底和高成反比例关系，若底增加，则高减少，保持面积不变。已知平行四边形的相邻两边长成反比例关系，若一边长增加，则另一边长减少，保持面积不变。030201面积问题已知速度和时间成反比例关系，若速度增加，则时间减少，保持路程不变。匀速直线运动已知加速度和时间成反比例关系，若加速度增加，则时间减少，保持速度变化量不变。变速直线运动行程问题已知工作效率和工作时间成反比例关系，若工作效率提高，则工作时间减少，保持工作量不变。工作效率问题已知工程造价和工程规模成反比例关系，若工程规模扩大，则单位造价降低，保持总造价不变。工程造价问题已知工程进度和剩余时间成反比例关系，若工程进度加快，则剩余时间减少，保持总工期不变。工程进度问题工程问题04反比例函数图像变换规律Chapter反比例函数的图像在x轴方向上平移，不会改变其形状，只会使其与坐标轴的交点发生变化。例如，y=1/x向右平移一个单位得到y=1/(x-1)。反比例函数的图像在y轴方向上平移，同样不会改变其形状。例如，y=1/x向上平移一个单位得到y=1/x+1。水平平移垂直平移平移变换反比例函数的图像关于原点对称，即如果(x,y)在图像上，那么(-x,-y)也在图像上。反比例函数的图像不具有轴对称性，但可以通过与坐标轴的交点来理解其对称性。对称变换轴对称原点对称横向伸缩通过改变x的系数，可以实现反比例函数图像的横向伸缩。例如，y=2/x的图像相对于y=1/x在x轴方向上拉伸了2倍。纵向伸缩通过改变函数值前的系数，可以实现反比例函数图像的纵向伸缩。例如，y=1/x与y=2/x在纵向上有伸缩关系，y=2/x的图像相对于y=1/x在y轴方向上拉伸了2倍。伸缩变换05解题技巧与易错点分析Chapter理解反比例函数的基本概念01反比例函数是形如$y=frac{k}{x}$(其中$k$是常数且$kneq0$)的函数。理解这一基本概念是解题的基础。掌握反比例函数的图像和性质02反比例函数的图像是双曲线，且当$k>0$时，图像位于第一、三象限；当$k<0$时，图像位于第二、四象限。掌握这些性质有助于判断函数的增减性和变化趋势。灵活运用反比例函数的表达式03在解题过程中，需要灵活运用反比例函数的表达式，将其转化为其他形式或与其他知识点结合，如与一次函数、二次函数等结合，解决复杂问题。解题技巧总结反比例函数的定义域是$xneq0$，在解题过程中容易忽视这一点，导致计算错误。纠正方法是时刻注意函数的定义域，确保在正确的范围内进行运算。忽视反比例函数的定义域有时会将反比例函数与其他函数混淆，如与一次函数、二次函数等混淆。纠正方法是明确各类函数的特点和性质，正确区分和应用。混淆反比例函数与其他函数在解决与反比例函数相关的问题时，容易忽视符号问题，如正负号的处理不当。纠正方法是细心审题，注意符号的变换和处理，确保计算结果的准确性。不注意符号问题易错点提示及纠正方法06经典题目解析与拓展延伸Chapter将点A的坐标代入反比例函数$y=frac{m}{x}$，得到$3=frac{m}{-2}$，解得m=-6。根据反比例函数的定义，可以设y与x的函数关系式为$y=frac{k}{x}$。将已知条件代入，得到$6=frac{k}{2}$，解得k=12。因此，函数关系式为$y=frac{12}{x}$。当x=-4时，代入得$y=frac{12}{-4}=-3$。已知y与x成反比例，且当x=2时，y=6。求y与x的函数关系式，并求当x=-4时，y的值。反比例函数$y=frac{m}{x}$的图像经过点A(-2,3)，则m的值为多少？解析题目一题目二解析经典题目解析已知反比例函数$y=frac{2m-1}{x}$，当x>0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是什么？题目一由于反比例函