初中数学-1.2 直角三角形（备课件）-2021-2022学年八年级数学下册同步备课系列（北师大版）

北师大版

八年级下册数学第一章

三角形的证明

1.2

直角三角形直角三角形的两个锐角互余.问题1

直角三角形的定义是什么？问题2三角形内角和的性质是什么？有一个是直角的三角形叫直角三角形.三角形内角和等于180°.这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.问题3

前面我们探究过直角三角形的哪些性质？在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.复习引入问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？问题引入根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？一、直角三角形的性质与判定如图，在△ABC中，∠A

+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.知识回顾勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.acb勾弦股二、勾股定理及其逆定理证明欣赏bacbac1．美国第二十任总统的证法：cabcabcabcab∵(a+b)2=

c2+，a2+2ab+b2=

c2+2ab，∴a2+b2=c2.大正方形的面积可以表示为

；也可以表示为

；(a+b)2c2+2．利用正方形面积拼图证明：c∵c2=+(b-a)2，c2=2ab+b2-2ab+a2，c2=a2+b2，∴a2+b2=c2.大正方形的面积可以表示为

；也可以表示为

．c2+(b-a)23．赵爽弦图ca

ca

cb

aabbb如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．勾股定理反过来，怎么叙述呢？这个命题是真命题吗？为什么？ABC已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:△ABC是直角三角形．分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证明过程吗？

证明此命题：证明：作Rt△DEF,使∠E=90°,DE=AC,FE=BC，则DE2+EF2=DF2(勾股定理)．∵AC2+BC2=AB2(已知),DE=AC,FE=BC(作图),∴AB2=DF2，∴AB=DF，∴△ABC≌△DFE（SSS）．∴∠C=∠E=90°,∴△ABC是直角三角形．DFE

┏ABC归纳总结定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.再观察下面三组命题：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.三、逆命题与互逆定理（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称

为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆

命题．2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么

它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理

的逆定理，这两个定理称为互逆定理．例判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a＞b，那么a2＞b2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假．解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a＞b.逆命题是假命题．(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为

零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，

那么ab＜0.逆命题是真命题．写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例就可以了．归纳总结问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ABCDEF四、直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ABC作图探究画图方法视频（点击文字播放）画图思路（1）先画∠MC′

N=90°ABCM

C′N画图思路（2）在射线C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC′画图思路（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′MC′ABCNB′A′画图思路（4）连接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？知识要点“斜边、直角边”判定方法文字语言：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.几何语言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∴Rt△ABC

≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,证明：斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等.已知：如图在△ABC和△A

′B′C′中，∠C=∠C′=90º,AB=A′B′,AC=A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：在△ABC中，∵∠C=90º,∴BC²=AB²-AC²（勾股定理）,同理，B′C′²=A′B′²-A′C′²,∵AB=A′B′,AC=A′C′,∴BC=B′C′∴△ABC≌△A′B′C′ABCA′B′C′判定两个直角三角形全等的方法：”边、边、边”或“SSS””边、角、边”或“SAS””角、边、角”或“ASA””角、角、边”或“AAS””斜边、直角边”或“HL”知识要点例1已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，BC=B′C′，BD、B′D′分别是AC、A′C′边上的中线且BD=B′D′(如图)．求证：Rt△ABC≌CORt△A′B′C′．证明：在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中，∵BD=B′D′,BC=B′C′,∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′(HL定理)．CD=C'D'．又∵AC=2CD，A′C′=2C′D′，∴AC=A′C′．∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∵BC=B′C′，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，∴Rt△ABC≌CORt△A′B′C′(SAS)例2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜∠B和∠F的大小有什么关系.

解：∠BAC=∠EDF=90°在Rt△ABC与Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠B=∠DEF（全等三角形对应角相等），又∵∠DEF+∠F=90º∴∠B+∠F=90°1．如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是()A．30°B．60°C．90°D．120°2．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是()A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A＝34°，∠B＝56°C．∠B＝42°，∠C＝38°D．∠A＝72°，∠B＝18°3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为()A．1B．2C．3D．4CCD课堂练习4．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是()A．HLB．ASAC．AASD．SAS5．不能判断两个直角三角形全等的条件是(

)A．两锐角对应相等的两个直角三角形

B．一锐角和锐角所对的直角边分别对应相等的两个直角三角形

C．两条直角边分别对应相等的两个直角三角形

D．一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形AA6.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有()A．3对B．4对C．5对D．6对7．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE，若BD＝3，CE＝5，则DE＝．

8D8．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE＝CF，AB