数学-第一次月考重难点特训（二）之幂的运算压轴题（解析版）

第一次月考重难点特训（二）幂的运算压轴题【重难点题型】1．（2022秋·全国·八年级期末）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可．【详解】因为，，，，因为，所以，所以，故即；同理可证所以，故选A．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．2．（2022秋·山东德州·八年级统考期末）已知，，，则a、b、c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系．【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同．3．（2023春·七年级单元测试）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（

）

A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案．【详解】解：由题意知，是100的倍数∵与100互质∴是100的倍数∴的末尾数字是01∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数，设：（t为正整数）则：∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01∴t的最小值为5，∴的最小值为10故答案为：B【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键．4．（2023春·七年级单元测试）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为（

）①；②；③若，则；④．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据对数的定义和乘方意义解题即可．

【详解】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意；②设，，则，，∴，即，∴，∴，即，故②正确，符合题意；③设，则，，∴，∴，∴，解得，故③说法正确，符合题意；④设，，则，，∴,∴故说法④正确，符合题意；∴正确的说法有个，故选：A．【点睛】本题以新定义题型为背景，主要考查了学生的数的乘方的计算能力，在解答新定义题型的时候，首先一定要把定义理解透彻，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确．5．（2019秋·四川绵阳·七年级东辰国际学校校考期中）下列说法：①如果，则；②；③若，，则；④若，则；⑤若关于x的方程只有一个解，则m的值为3．其中，正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据幂的运算法则判断①是否正确，根据分数的定义判断②是否正确，根据绝对值的性质判断③和④是否正确，根据解绝对值方程判断⑤是否正确．【详解】解：∵，

∴，故①错误；，故②正确；∵，∴是非正数，∵，∴是非负数，∴，则，∴，故③正确；∵，∴a和b异号，∴，故④正确；若，则，解得，若，则，解得，若，则，解得，若，解得，那么方程的解是或，不成立，若，解得，那么方程的解是，成立，故⑤正确，正确的命题有4个．故选：D．【点睛】本题考查分数的定义，绝对值的性质，幂的运算法则，解绝对值方程，解题的关键是熟练掌握这些知识点．6．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②有理数a、b、c满足，且，则化简的值为5；③若是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是；④若是关于x的一元一次方程，则；

其中正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】D【分析】由相反数的定义判断①；由，且，可得与互为相反数，可得：从而可判断②；由是关于x的一元一次方程，分三种情况讨论，或（）或，从而可判断③；由是关于x的一元一次方程，可得：从而可判断④．【详解】解：仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，故①错误；由，且，所以：＜＜＜故②错误；是关于x的一元一次方程，或（）或，或或或当时，原方程为：当时，原方程化为：，不合题意舍去，当时，原方程化为：

综上：方程的解为：或故③错误；是关于x的一元一次方程，，故④正确；故选：【点睛】本题考查的是相反数的定义，绝对值的化简，一元一次方程的定义，零次幂的含义，掌握以上知识是解题的关键．7．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将化为使两个幂的指数相同，再利用积的乘方逆运算进行计算.【详解】，故选：A.【点睛】此题考查幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟记公式是解题的关键.8．（2020·甘肃天水·统考中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是()A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．【详解】解：由题意得：这组数据的和为：

∵，∴原式=,故选：A．【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．（2023春·七年级课时练习）观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（）A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0【答案】D【分析】存在3种情况：一种是指数为0，底数不为0；第二种是底数为1，指数为任意值；第三种是底数为－1，指数为偶数，分别求解可得．【详解】情况一：指数为0，底数不为0即：a+2=0，2a－1≠0解得：a=－2情况二：底数为1，指数为任意值即：2a－1=1解得：a=1情况三：底数为－1，指数为偶数即：2a－1=－1，解得a=0代入a+2=2，为偶数，成立故答案为：D【点睛】本题考查0指数和底数为±1的指数的特点，本题底数为－1的情况容易遗漏，需要关注．10．（2022秋·八年级课时练习）计算：________．【答案】

【分析】根据，逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则进行计算即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查积的乘方运算法则以及同底数幂相乘的运算法则，熟练掌握并逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则是解题的关键.11．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，，则__________．【答案】1【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果．【详解】解：∵，∴，∴∵，,∴，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键．

12．（2022春·江西九江·七年级统考期中）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是____（填序号）．【答案】①②③【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可．【详解】解：∵，，．∴，，，∴a+2＝b+1＝c，即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，所以a+c＝2b，因此①正确；②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，所以a+b＝2c﹣3，因此②正确；③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确；④b＝a+1，因此④不正确；综上所述，正确的结论有：①②③三个，故选：C．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系．13．（2023·全国·九年级专题练习）比较大小：___________；若正数满足，则___________．【答案】

＞

＜【分析】利用分数指数幂把原数变形为再比较大小，利用幂的运算结合从而可得第二空的答案.【详解】解：而，为正数，

故答案为：＞，＜【点睛】本题考查的是分数指数幂的含义，幂的运算，代数式的值的比较，熟练的运用幂的运算法则是解本题的关键.14．（2021秋·北京·七年级北京八十中校考期中）已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________．【答案】

【分析】设第n个拐弯处的数为，由已知数据可以分析得到当时，n为奇数，，当n为偶数，，由此进行计算即可．【详解】解：设第n个拐弯处的数为由题意知：，，，，观察可得：，，，∴当且n为奇数时，，当n为偶数时，,∴，即第六个拐弯处的数是．故答案为：

∴第一百个拐弯处的数是故答案为：【点睛】本题考查数字的规律探索以及同底数幂相乘的计算法则，能够由已知数据得到通项公式是解题关键．15．（2021春·安徽合肥·七年级统考期末）已知，则_______．【答案】1．【分析】利用幂的乘方与同底数幂相乘，得到2a+1＝2a×2＝6，3b+1＝3b×3＝6，进而得到，求出答案即可．【详解】解：∵2a+1＝2a×2＝3×2＝6，3b+1＝3b×3＝2×3＝6，∴，，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查幂的乘方与同底数幂相乘，掌握幂的乘方与同底数幂相乘的运算法则是解题关键．16．（2023·全国·九年级专题练习）已知，则________．【答案】-3．【分析】根据幂的运算法则进行计算，再根据指数相同列方程即可．

【详解】解：由得，，∴，故答案为：-3．【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练运用幂的运算化简等式，再整体代入．17．（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）观察等式：；；按一定规律排列的一组数：，若，则用含a的代数式表示下列这组数的和_________．【答案】【分析】观察发现规律，并利用规律完成问题．【详解】观察、发现∴===（把代入）==．故答案为：．【点睛】此题考查乘方运算，其关键是要归纳出规律并运用之．18．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．【答案】【分析】由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．【详解】解：；；

；，，，，原式，故答案为：．【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．19．（2021春·浙江·七年级专题练习）已知实数a，b，定义运算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，则a＝_____．【答案】3或1或﹣1【分析】根据a+1＞a﹣2知(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，据此可得a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，从而得出答案．【详解】∵a+1＞a﹣2，∴(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，即(a﹣2)a+1＝1，则a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，解得，a＝3或a＝1或a＝﹣1，故答案为：3或1或﹣1．【点睛】本题属于新定义题型，考查了幂的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握1的任何次幂都等于1、-1的偶数次幂等于1、非零数的零指数幂等于1是解题的关键．20．（2022春·江苏·七年级专题练习）已知整数满足且，则的值为_____．【答案】2【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由

和即可得到a，b，c，d的值，故可求解．【详解】∵，3不是10000的公约数，∴则b=0∴∵整数满足∴符合题意∴a=-2，b=0，c=3，d=4∴=-8+0+6+4=2故答案为：2．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．21．（2023春·七年级单元测试）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．【答案】(1)2，4，6(2)(3)(4)证明见解析【分析】（1）根据对数的定义求解；

（2）认真观察，即可找到规律：，；（3）由特殊到一般，得出结论：．（4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论．【详解】（1）∵，，∴，故答案为：2，4，6；（2）∵，，，，∴，故答案为：；（3）由（2）的结果可得，故答案为：．（4）设，，则，∴，∴，∴．【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．22．（2023春·七年级课时练习）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题：(1)的末尾数字是，的末尾数字是；

(2)求的末尾数字；(3)求证：能被5整除．【答案】(1)3，6；(2)4；(3)证明见解析．【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解；（2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论；（3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证．【详解】（1）解：，的末尾数字为3；的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，…的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是6；故答案为：3，6；（2）解：，∵的末尾数字是6，∴的末尾数字是4；（3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字为6；同理可得：的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1；的末尾数字9，∴的末尾数字是5，∴能被5整除．【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方

与积的乘方法则是解答此题的关键．23．（2023春·七年级课时练习）如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．(1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____，d（10-2）=______；(2)“劳格数”有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数）(3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）．【答案】(1)1，﹣2(2)3(3)0.6020，0.699．【分析】（1）由“劳格数”的定义运算转化为同底数幂解答即可；（2）根据幂的乘方公式转化求解即可；（3）根据积的乘方公式、幂的乘方转化求解即可.【详解】（1）解：∵10b＝10，∴b＝1，∴d（10）＝1；10b＝10﹣2，∴b＝﹣2，∴d（10﹣2）＝﹣2；故答案为1，﹣2；（2）解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）∴故答案为3；（3）解：∵d（2）＝0.3010，∴d（4）＝2d（2）＝0.6020，d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699．【点睛】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂

的乘方与积的乘方运算是解题的关键.24．（2023春·七年级课时练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3(1)根据上述规定，填空：（5，25）＝

，（2，1）＝

，（3，）＝

．(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：①计算（8，1000）﹣（32，100000）；②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．【答案】(1)2，0，-2(2)①0；②见解析【分析】（1）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可；（2）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可．【详解】（1）解：∵52=25，∴（5，25）=2；∵20=1，∴（2，1）=0；∵∴故答案为：2，0，-2；（2）①（8，1000）-（32，100000）=（23，103）-（25，105）=（2，10）-（2，10）=0；②设3x=2，3y=5，则3x·3y=3x+y=2×5=10，所以（3，2）=x，（3，5）=y，（3，10）=x+y，

所以（3，2）+（3，5）=（3，10）．【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键．25．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．如：数列1，3，9，27，为等比数列，其中，公比为．然后解决下列问题．(1)等比数列3，6，12，的公比为，第4项是．(2)如果已知一个等比数列的第一项（设为和公比（设为，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，，．由此可得第项（用和的代数式表示）．(3)若一等比数列的公比，第2项是10，求它的第1项与第4项．(4)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．【答案】(1)2，24(2)(3)第1项是5，第4项是40(4)1536【分析】（1）根据第一项是3，第二项是6求出公比为2，再根据第三项是12求出第四项为24；（2）发现的q的幂指数为项数减1，第n项；（3）用第二项的10除以公比2得第一项是5，第四项为；（4）设这个等比数列的第一项为，公比为q，根据第三项为12，第六项为96列方程组求出第一项为3，公共比为2，再求第十项是1536．【详解】（1）根据题意知公比，第4项是，故答案为：2，24；（2）根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，．由此可得第项，故答案为：；（3）根据题意知，第1项为，第4项为；（4）设这个等比数列的第一项为，公比为q，

根据题意知，，即，则，这个等比数列的第10项为．【点睛】本题考查了等比数列的概念，理解等比数列的概念，熟练运用等比数列的概念和性质进行计算是解决本题的关键．26．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：设①则②②①得，．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）______；（2）求______；（3）求的和；（请写出计算过程）（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；（2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果；（3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果；（4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解．【详解】解：根据阅读材料可知：（1）设s＝①，2s＝22＋23＋…＋220＋221②，

②−①得，2s−s＝s＝221−2；故答案为：221−2；（2）设s＝①，s＝②，②−①得，s−s＝-s＝-1，∴s＝2-，故答案为：2-；（3）设s＝①-2s＝②②−①得，-2s−s＝-3s＝+2∴s＝；（4）设s＝①，as＝②，②-①得：as-s=-a-，设m=-a-③，am=-④，④-③得：am-m=a-，∴m=，∴as-s=+，∴s=+．【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．27．（2023春·七年级课时练习）观察下面三行单项式：x，，，，，，；①，，，，，，；②，，，，，，；③

根据你发现的规律，解答下列问题：（1）第①行的第8个单项式为_______；（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）．【分析】（1）观察第①行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得；（2）分别观察第②行和第③行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得；（3）先计算整式的加减进行化简，再将x的值代入即可得．【详解】（1）第①行的第1个单项式为，第①行的第2个单项式为，第①行的第3个单项式为，第①行的第4个单项式为，归纳类推得：第①行的第n个单项式为，其中n为正整数，则第①行的第8个单项式为，故答案为：；（2）第②行的第1个单项式为，第②行的第2个单项式为，第②行的第3个单项式为，第②行的第4个单项式为，归纳类推得：第②行的第n个单项式为，其中n为正整数，则第②行的第9个单项式为，第③行的第1个单项式为，第③行的第2个单项式为，第③行的第3个单项式为，第③行的第4个单项式为，

归纳类推得：第③行的第n个单项式为，其中n为正整数，则第③行的第10个单项式为，故答案为：，；（3）由题意得：，当时，，，，则，，．【点睛】本题考查了单项式的规律型问题、整式的化简求值，正确归纳类推出一般规律是解题关键．28．（2021秋·上海·七年级期中）（1）已知：则的值是_____（2）如果记那么_____（3）若则x=_____（4）若则_____【答案】（1）2001（2）（3）（4）﹣120【分析】（1）根据题意，得到；再将原式进行变形即可得出答案（2）先设原式等于m，利用2m－m求出原式的值，最后将a代入即可（3）根据幂的乘方运算公式对原式进行变形，然后进而的出答案（4）采用赋值法进行计算【详解】（1）由题意得：；

∴======2001（2）设，则；∴，即∴原式=（3）=∙==192∴∴∴（4）当x=1时，1=

……①当x=﹣1时，=

……②当x=0时，1=①＋②==即=∴=＋1=﹣120【点睛】本题主要考查了代数式的变形求值，掌握各类代数式求值的特点是解题关键29．（2023春·七年级课时练习）阅读下列材料,并解决下面的问题:我们知道,加减运算是互逆运算,乘除运算也是互逆运算,其实乘方运算也有逆运算,如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中,3叫做以2为底8的对数,记为一般地,若则叫做以为底的对数,记为且具有性质:其中且根据上面的规定,请解决下面问题:(1)计算:_______(请直接写出结果)；(2)已知请你用含的代数式来表示其中(请写出必要的过程).

【答案】（1）0;2（2）【分析】（1）根据材料给出的运算法则计算即可（2）先变形再带入即可【详解】解：（1）（2）已知所以【点睛】此题考查幂的乘方和积的乘方的应用以及学生分析理