【欧氏空间的性质及应用11000字】

[2]：定理在实数域上的内积空间中，对于任意的两个向量α,β，存在这样的一个不等式是成立的，即α,β≤当且仅当α,β线性相关时，等号成立.证明在平面几何中，若α,β是线性无关的，那么cos也就是α,β2如果α,β是欧氏空间里面的两个线性不相关的向量，接下来由α,β生成的欧氏空间，就同构于平面上的全部向量所组成的欧氏空间，故而有：α,β2成立.通过之前所给定的命题，我们可以知道，下面这三个命题是等价的关系：（1）α,β2（2）α,αα,β（3）α,β线性相关；故定理得证.在线性空间Rn里（实数域上的），如果记α=a1α,β我们就可以得到柯西不等式：i=1将柯西不等式左右两端，同时求解它们的算术平方根：i=1则i=1也就是i=1等号成立的条件是ai（三）n维欧氏空间标准正交基的其他求法若想要了解n维欧氏空间，就要了解它的基.欧氏空间中，一组标准正交基具有很多的优点，而将一般的基化成一组标准正交基，我们通常采用的是施密特正交化的方法.在线性空间中，我们可以利用初等列变换，将一组基向量，化成一组标准正交基：（1）首先，在n维的线性空间中，α1,α2,…αn（2）构造矩阵ATAA2n×n，并且，对它进行初等列变换，直到把ATA化成一个下三角形式的矩阵，此时矩阵A同时被化成了（3）取γi=βi例如已知有向量α1=(1,0,−1)，α2解令A=α则ATAA则做合同变换化得：A取B=显然β1实际上，在欧氏空间中，除施密特正交化的方法之外，还有几许求解标准正交基的方式，以下将给出其中一种更为简洁的，计算标准正交基的途径.主要依据n维线性空间中所得出的线性无关组的若干性质为背景，进行研究.规定：以下所讨论的向量均是限制在n维欧氏空间V中的向量.相关理论：（1）α1,α2,…αn是一组线性无关的向量，并且它与线性无关的向量组β1,β2,…（2）若向量组α1,α2,…αr(r<n)（3）向量组α1,α2,…αn是一个正交的向量组，对于方程组α1推论1：若α1,α2,…推论2：若向量组α1,α2,…α下面看具体求解标准正交基的例子：已知α1=(1,2,0,1)，α2解选取α11,2,0,1x由此得到一个非零解ε1(α又得到一个非零的解ε2(α得到一个非零的解ε3T=(0,0,1,0)T，从而（四）n维欧氏空间正交基函数的构造由欧氏空间中内积的定义，为研究欧氏空间的空间曲线及曲面问题，我们可以由标准正交基构造出一组新的欧氏空间基函数，且该基函数是正交基函数.有以下这样几个定理：定理1：ε1,ε2定理2：（1）02π（2）02π（3）02π（4）02π定理3：设1,是连续函数（定义在区间0,2π上），由它能够生成一个欧氏空间，并且可以证明出它是这个欧氏空间里的一组基函数.证明：对于这组基函数1,的任意两个基函数，我们有以下性质：cos=cossin=sincos=sink∙=k∙cosk∙=k∙sink∙=k∙sincosmxsinmxcosmxcosmxcosnx1,coscosmx因此它符合内积的定义，也就是说1,可以构成欧氏空间的一组基函数.定理3：上述的一组欧氏空间的基函数1,是一组线性无关的正交基函数.证明：那么通过定理3中所得到的结论，若m≠n，我们可以得到：02π02π02π故而它就是一组正交的基函数，以下，我们可以用θ11,并证明此正交向量组线性无关.设：k用基函数1,分别与以上等式作内积运算，可以得到：k又因为sin故k故1,cosx,（五）度量矩阵在二次型化标准型中的应用已知，任意的一个对称矩阵，都可以通过合同变化，将它化为一个对角形矩阵.也即，如果A是一个对称矩阵，那么都存在一个矩阵C（可逆），有CTAC是一个对角形矩阵.现在在实数域上建立对于一个n元二次型，如果我们将它的系数限制在实数域R中，那么这个二次型就可以对应写成：f其中aijϵR,i<j,i,j=1,2,……,n，令aijA=aXT那么，又可以将二次型表示为fx现在将把此二次型与n维欧氏空间的内积之间建立起一种对应的关系，即有：设V为R上的一个n维欧氏空间，令它的一组基ε1,ε2,…,εn，从而，存在唯一的一个内积φ，能够对应于二次型证明存在性：取上述矩阵A，也即二次型fx1,令φx,y=XTAY，而XT和YT是x，y在基ε通过内积φ可以指定一个二次型fx1,x2,…,下面，利用以上所得结论，考虑将计算二次型f的标准型的问题，也就是作可逆的一种线性替换X=CY,其中C是非退化的矩阵，

XT=(x1,x2,…x由之前的命题，我们可以知道，A即是φ在基ε1,ε2,…,εn下的度量矩阵.由基θ1,θ2,…,θCT因而二次型fx1,x2,…,xn化为标准型的问题就转化成为了对内积φ并且，我们可以得到，在实数域中二次型的标准型里，平方项的系数为正（负）的个数被唯一确定下来，且与一个内积函数φ对应.通过可逆的线性替换X=CY把二次型化为标准型的问题，就转化成把C作为过渡矩阵，把θ1,θ

结论欧氏空间利用对内积的定义，具体刻画了线性空间中所不包含的长度和夹角，对长度和夹角的一般规定提供了证明一些特殊公式的其他方法，并且人们在绘制3维物体的2维图片方面已经发展了很多技能，同样，人们可以尝试绘制4维对象（例如超立方体）的3维图片.欧氏空间中，它的每一个单位矩阵都对应与它的一个标准正交基，而内积又可以被度量矩阵完全确定，从而确定了内积与具体二次型的标准型的对应关系.通过欧氏空间中定义的内积以及定义的标准正交基，构造出新的标准正交基函数对研究欧氏空间曲线、曲面等方面具有重要意义.参考文献郭茜,吴桂康.欧式空间在几何上的运用研究[J].赤峰学院学报（自然科学版）.2018,34(10)：28-29.王赵泉,李丽.柯西不等式的几种证明方法[J].价值工程.2010,29(11):2109翟元宁.浅议欧氏空间的基[J].胜利油田师范专科学校学报,1999(04):1-2.郭茜.欧氏空间标准正交基的几种求法[J].科技风,2013(12):117-118.周晓中.欧氏空间标准正交基的一种求法[J].黄淮学刊(自然科学版),1992(S2):61-64.王萼方,石明生.高等代数（第四版）[M].北京高等教育出版社,1900.陈峰.二次型和对称双线性函数的对应关系[J].台州学院学报,2004(03):23-25.唐桂林,陈明武.欧式空间正