天津市和平区2023-2024学年高三上学期期末质量调查试题数学

本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1．答题Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．·柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．·如果事件互斥，则．·如果事件相互独立，则．·任意两个事件与，若，则．一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合，则（）（A） （B） （C） （D）（2）“”是“”的（）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（3）函数的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（）（第3题）（A） （B） （C） （D）（4）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：．针对这一组数据，以下说法正确的个数有（）①这组数据的中位数为90；②这组数据的平均数为89；③这组数据的众数为90；④这组数据的第75百分位数为93；⑤这组数据的每个数都减5后，这组数据的平均数与方差均无变化．（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个（5）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（）（A）9 （B）21 （C）45 （D）93（6）已知函数，函数图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，将图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）（A） （B）（C） （D）（7）如图，已知四棱锥的体积为是的平分线，，若棱上的点满足，则三棱锥的体积为（）（第7题）（A） （B） （C） （D）（8）已知实数，满足，则下列关系不可能成立的是（）（A） （B） （C） （D）（9）已知双曲线的右焦点为点，过点作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为点（点在第一象限），直线与双曲线交于点，若点为线段的中点，且，则双曲线的方程为（）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题共105分）注意事项：1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．2．本卷共11题，共105分．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）（10）为虚数单位，复数满足，则的虚部为______．（11）在的二项展开式中，的系数为______．（12）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是______；（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是______．（13）直线与圆相交于两点，若点为圆上一点，且为等边三角形，则的值为______．（14）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示______；设，若，则的最小值为______．（第14题）（15）若方程在区间内有两个不等的实根，则实数的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（16）（本小题满分14分）在中，内角所对的边分别为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值．（17）（本小题满分15分）如图，四棱柱中，侧棱底面，，四棱柱的体积为36．（第17题）（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离．（18）（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为点，左，右顶点分别为点，离心率为．已知点是抛物线的焦点，点到抛物线的准线的距离为1．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）直线交椭圆于点（点在第二象限），交轴于点的面积是面积的倍，求直线的斜率．（19）（本小题满分15分）已知等差数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式以及；（Ⅱ）若等比数列满足，且，（ⅰ）求；（ⅱ）若，是与的等比中项且，则对任意，求的最小值．（20）（本小题满分16分）已知函数，（Ⅰ）若，讨论在的单调性；（Ⅱ）若，函数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，求证：．和平区2023－2024学年度第一学期高三年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（9×5分＝45分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）DBDBCABBA二、填空题（6×5分＝30分）（10）．（11）．（12）．（13）．（14）；．（15）．三、解答题（共75分）（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为，已知，所以且，所以，由正弦定理有，所以．（Ⅱ）（ⅰ）因为，所以，由余弦定理得，解得或（舍），所以的值为8．（ⅱ）因为，又因为，所以，法（一），因为，所以，所以，．法（二）因为，所以，则，所以．（17）（本小题满分15分）解：因为侧棱底面，所以以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，又因为棱柱体积为36，易知底面为直角梯形，其面积为，柱体体积，有．所以．（第17题）（Ⅰ）证明：因为，平面的法向量为，，所以，又因为平面，所以平面．（Ⅱ）解：因为，设平面的法向量为，则，令，则，由（Ⅰ）得，设平面与平面的夹角为，则平面与平面的夹角的余弦值为．（Ⅲ）解：因为，所以，点到平面的距离为．（18）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设点的坐标为．依题意，，解得，于是．所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．（Ⅱ）设点坐标为，点坐标为，且由题意，（法一）由，可得，即，即，则，由，即，可得，因为点在第二象限，则，将代入椭圆方程，求得，所以点坐标为，又因为，则直线的斜率为．（法二）因为点在第二象限，则直线的斜率存在且大于0，设直线的方程为，因此点．，联立方程组，整理得到．由韦达定理得，所以，代入直线方程．由，可得，即，所以，则，解得，因为，则直线的斜率为1．或者因为点在第二象限，则直线的斜率存在且大于0，设直线的方程为，因此点．，联立方程组，整理得到，由韦达定理，得，所以．由，可得，即，所以，则，解得，因为，直线的方程为，即，则直线的斜率为1．（法三）因为点在第二象限，则直线的斜率存在且大于0，设直线的方程为，则，因此点．，联立方程组，整理得到．由韦达定理得，所以，代入直线方程．，，，即，解得，因为，则直线的斜率为1．或者因为点在第二象限，则直线的斜率存在且大于0，设直线的方程为，则，因此点．，联立方程组，整理得到，由韦达定理，得，所以．，，，即，解得，因为，直线的方程为，即，则直线的斜率为1．（19）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，即，解得，，则，．所以．（Ⅱ）等比数列满足，且，公比为2，所以，（ⅰ）设，，，，①．②①式－②式得，．所以．又，则．所以．则．所以．（ⅱ）当时，，，两式相除得，，．当为偶数时，单调递增，时有最小值．当为奇数时，单调递减，时有最大值．则，所以的最小值为．（20）（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为，所以，所以，函数在上单调递增，在上单调递减．（Ⅱ）不等式可化为