第02讲 利用导数研究函数的单调性解析版

第02讲利用导数研究函数的单调性目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查利用导数求函数的单调性（不含参） 1题型二：重点考查已知函数在上单调求参数 4题型三：重点考查已知函数在上存在单调区间求参数 6题型四：重点考查已知函数在上不单调求参数 9题型五：重点考查导数图象与原函数图象之间的关系 13题型六：重点考查讨论函数的单调性 16题型七：重点考查构造函数解不等式 23题型一：重点考查利用导数求函数的单调性（不含参）典型例题例题1．（2023上·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数在上的单调递减区间为.【答案】【详解】由题意知，.即，，因为，所以，所以在中，，所以在上的单调递减区间为.故答案为：例题2．（2024上·陕西榆林·高二统考期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；【答案】(1)(2)单调增区间为，单调减区间为和(3)【详解】（1）因为，所以，，，故曲线在点处的切线方程；（2），且.当时，，当时，，故的单调增区间为，单调减区间为和；例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，求的单调区间.【答案】的单调递增区间为，无递减区间.【详解】由已知可得，定义域为，.令，则.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以在上恒成立，所以，在上单调递增.所以，的单调递增区间为，无递减区间.精练核心考点1．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间.【答案】(1)(2)单调递增区间为；单调递减区间为【详解】（1）由，的定义域为.则，所以，又，所以在点处的切线方程为.（2），由，得，或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为.2．（2023上·河南南阳·高三统考期中）已知函数.(1)求的单调区间；【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)三条【详解】（1）因为，所以.令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.3．（2023·河南·模拟预测）设函数.(1)讨论的单调区间；【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）依题意，的定义域是，，令解得在定义域内，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；因此的单调递增区间为，，单调递减区间为.题型二：重点考查已知函数在上单调求参数典型例题例题1．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】由题设在区间上单调递增，所以恒成立，所以上恒成立，即恒成立，而在上递增，故.所以A符合要求.故选：A例题2．（2023上·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】因为函数在区间上是单调函数，则在上有或恒成立，当时，即，则，当时，即，则，综上：实数a的取值范围是.故答案为：例题3．（2023下·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是．【答案】【详解】函数，求导得，依题意，，，即恒成立，显然函数是开口向上的二次函数，因此，解得，所以的取值范围是.故答案为：精练核心考点1．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：函数在上单调递减，则在上恒成立，所以，在上恒成立，设函数，则，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，则实数的取值范围是.故选：D.2．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为．【答案】【详解】因为，所以．由的图象在区间上单调递增，可知不等式即在区间上恒成立．令，则，当时，，所以在上单调递减，故要使在上恒成立，只需．由，解得，故实数a的取值范围为，则a的最小值为．故答案为：3．（2023上·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是：.【答案】【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为.故a的取值范围是.故答案为：题型三：重点考查已知函数在上存在单调区间求参数典型例题例题1．（2023下·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，当时，在区间上单调递减，不符合题意.当，时，，在区间上单调递减，不符合题意.当时，令，解得，要使在区间上不单调，则，即，解得,此时在区间上递减；在区间上递增.故选：B例题2．（2023下·四川眉山·高二统考期末）若在上存在单调递增区间，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数，求导得，因为函数在上存在单调递增区间，则不等式在上有解，而，当时，，因此，解得，所以的取值范围是.故选：B例题3．（2023下·福建福州·高二校联考期中）若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是．【答案】【详解】，则，函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，即在区间上有解，又，则，所以在区间上有解，所以，，令，，则，令，则在区间恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以，所以实数的取值范围是．故答案为：．精练核心考点1．（2023下·江西萍乡·高二统考期末）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，则，因为函数在区间上存在单调递增区间，则存在，使得，即，可得，设，因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，当时，，故.故选：B.2．（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为．【答案】【详解】由题意得的定义域为，所以，因为函数在区间上存在递增区间，即在区间上能成立，即，设，开口向上，对称轴为，所以当时，单调递增，所以，所以，则，即.故答案为：.3．（2023上·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数在上不是单调函数，则实数的取值范围为．【答案】【详解】因为，则，因为函数在上不是单调函数，则函数在内存在极值点，又因为函数在上是增函数，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故答案为：.题型四：重点考查已知函数在上不单调求参数典型例题例题1．（2023上·山西忻州·高三校联考阶段练习）已知函数在上不单调，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意可知，，若函数在上单调，则或，当时，恒成立，当，转化为，或，设，则或恒成立，即或，，所以，所以函数在上不单调，则.故选：B例题2．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意，函数在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是．【答案】【详解】，若存在，在区间上为单调函数，则①在上恒成立，或②在上恒成立．由①得在上恒成立，由于，所以，即在上恒成立，由于函数均为上的单调递减函数，所以单调递减，当时，取最大值，则，又存在，所以，当时，取到最小值-5，所以，即；由②得在上恒成立，则，即，所以存在，函数g(x)在区间(t,3)上为单调函数的m的取值范围为或，因此使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为.故答案为：例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】由，得，当在内为减函数时，则在内恒成立，所以在内恒成立，当在内为增函数时，则在内恒成立，所以在内恒成立，令，因为在内单调递增，在内单调递减，所以在内的值域为，所以或，所以函数在内单调时，a的取值范围是，故在上不单调时，实数a的取值范围是．故答案为：．精练核心考点1．（2021上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为在区间上不是单调函数，所以在区间上有解，即在区间上有解．令，则．当时，；当时，．故在上单调递减，在上单调递增．又因为，且当时，所以在区间上单调递增，所以，解得.故选：A2．（2020下·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考期中）已知函数.若函数在区间上不是单调函数，则实数t的取值范围为．【答案】【详解】求导得，易知，，单增；，，单减；若使在区间上不单调，只需，则.故答案为：3．（2020·全国·高三专题练习）若函数在区间上不是单调函数，则函数在R上的极小值为．【答案】【详解】解：，∵函数在区间上不是单调函数，，由，解得：或，由，解得：，的极小值为，故答案为：题型五：重点考查导数图象与原函数图象之间的关系典型例题例题1．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）若，则函数的图象可能是（

）A． B．

C．

D．

【答案】B【详解】对比各个选项可知，由三次函数图象与性质可得，（）是函数的零点，令，可知（）且，都是函数的极值点，由此可以排除A，C；若，则函数的图象形状为增减增，具体为在单调递增，在单调递减，在单调递增，可知B符合；若，则函数的图象形状为减增减，具体为在单调递减，在单调递增，在单调递减，可知D不符合．故选：B.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（

）

A． B．C． D．【答案】D【详解】由题图可知，且当和时，，当时，，则原不等式等价于，等价于或，等价于或，解得:或或．故选：D．例题3．（2023下·高二课时练习）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为．

【答案】【详解】由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，当时，；当时，；当时，；当时，.当时，由可得，此时；当时，由可得，此时.综上所述，解集为.故答案为：.精练核心考点1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数为的导函数，则的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】令函数，定义域为，函数为偶函数，又，且，当时，在单调递增，则，函数在单调递增.故选：C.2．（2023下·山东菏泽·高二统考期中）已知在R上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】观察函数的图象知，的单调递增区间为，递减区间为，因此不等式的解集为，的解集为，不等式化为：或，解得：，无解；解得：，解得或，所以所求解集为.故选：C.3．（2023上·陕西西安·高二校考期末）函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由函数图象知为偶函数，则，因为的导数存在，两边取导数可得，由复合函数的求导公式可得，故，即为奇函数，排除CD，由原函数图象可知当时，先递增再递减，故在时，函数值先正后负，故排除B，故选：A题型六：重点考查讨论函数的单调性典型例题例题1．（2023上·湖北·高二期末）已知函数(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1），当时，，，单调递增；，，单调递减．当时，当或，，单调递增；当，，单调递减，当时，，所以在R上单调递增．当时，当或，，单调递增；，，单调递减．例题2．（2023上·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数.(1)在上是增函数，求a的取值范围；(2)讨论函数的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）因为，所以的定义域为，则，因为在上是增函数，即在上恒成立，则在上恒成立，因为在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，即，因为，所以，则，所以，则.（2）由（1）得，当时，，则在上是增函数；当时，，所以；或；，所以在上是减函数，在和上是增函数.例题3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）因为的定义域为，且，所以当时，，，单调递增，，，单调递减，，，单调递增；当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，，，单调递增，，，单调递减，，，单调递增．综上所述，当时，的减区间为，的增区间为；当时，的增区间为，无减区间；当时，的减区间为的增区间为．例题4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数的单调性.【答案】答案见解析.【详解】，()令，，①当，即时，即，恒成立，所以，此时，在区间上是增函数；②当，得到或，又，其对称轴为，且，所以，当时，，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，此时在区间上是增函数；当时，，且，由，得到或，时，，时，，即时，，时，此时，在上是减函数，在上是增函数.综上所述，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数.精练核心考点1．（2023上·广东深圳·高三校考期末）已知函数(1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；(2)讨论函数的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）由题意，若函数在处的切线与直线垂直，则，解得.（2）由题意，所以若，则，所以此时在定义域内单调递增；若，令，解得，若，则当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增；若，则当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增；综上所述，若，在定义域内单调递增；若，则当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增；若，则当时，单调递减，当时，单调递增.2．（2024上·重庆·高二校联考期末）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求出这条切线的方程；(2)讨论函数的单调性.【答案】(1)(2)见详解【详解】（1）由题得,则在点处的切线与直线平行,即又曲线在点处的切线为即.（2）令得或（i）当即时,单调递增极大值单调递减极小值单调递增（ii）当即时,恒成立,在上单调递增,无单调递减区间.（iii）当即时,单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述,当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为；当时,在上单调递增,无单调递减区间；当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为.3．（2024·河南·模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递增，当时，由，得，函数在上单调递减，由，得，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，则，令函数，求导得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，则，于是，有，当时，则，因此，所以.4．（2016·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）已知函数(1)若，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性．【答案】(1)(2)在上单调递增【详解】（1）（1）时，所以所以函数在处的切线方程为，整理得所以函数在处的切线方程是：.（2）因为所以令，即当时，即时，恒成立，此时在R上单调递增.当时，即或时，解得所以当时或当时，此时在单调递减，单调递增区间为，.题型七：重点考查构造函数解不等式典型例题例题1．（2022上·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】当，则不等式等价为，即，设，，则，即函数在上单调递增，则，，，，即，，，，则，故A正确；，得不出，故B错误．，故C错误．，故D错误．故选：A．例题2．（2022上·云南德宏·高三校考阶段练习）定义域R的奇函数，当时恒成立，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因