第04讲 数列求和（原卷版）

第04讲数列求和目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查倒序相加法 1题型二：重点考查分组求和（形如） 3题型三：重点考查分组求和（形如） 5题型四：重点考查裂项相消法（等差型） 7题型五：重点考查裂项相消法（无理型：形如） 9题型六：重点考查裂项相消法（指数型：形如） 11题型七：重点考查数列求和之错位相减法 13题型八：重点考查数列求和之通项含绝对值求和 15题型九：重点考查其他方法求和 17题型一：重点考查倒序相加法典型例题例题1．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知，则（

）A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094例题2．（2024·全国·高二假期作业）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则．例题3．（2024·全国·高二假期作业）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为.精练核心考点1．（2024·全国·高二假期作业）设，若，试求：（1）；（2）．2．（2024·全国·高三专题练习）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则.3．（2024·全国·高三专题练习）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为.题型二：重点考查分组求和（形如）典型例题例题1．（2024上·上海浦东新·高二校考期末）己知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和.例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知公比为3的等比数列与首项为1的等差数列，满足．(1)求数列和的通项公式；(2)若数列，数列的前和为，求．例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，（）.(1)求的通项公式；(2)设数列，满足，，求数列的前n项和.精练核心考点1．（2024·四川攀枝花·统考二模）已知数列满足．(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前n项和．2．（2024上·甘肃酒泉·高三校考期末）已知数列是由正数组成的等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前n项和.3．（2024上·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期末）已知是等差数列，其前项和为．若．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求．题型三：重点考查分组求和（形如）典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.例题2．（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)求的前项和.例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．精练核心考点1．（2024·陕西铜川·统考一模）从①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.已知为数列的前项和，，，且________.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.2．（2024·全国·高三专题练习）已知为数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，，求数列的前项和．3．（2024·全国·高三专题练习）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.题型四：重点考查裂项相消法（等差型）典型例题例题1．（2024上·广东广州·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和.例题2．（2024上·全国·高二期末）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前项和，试问：是否存在正整数，，使得？若存在，求出满足条件的所有，的值；若不存在，请说明理由．例题3．（2024上·山东泰安·高三校考期末）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，．(1)求与通项公式；(2)设，求的前项和．精练核心考点1．（2024上·广东深圳·高二校考期末）已知数列满足，数列为等差数列，且，.(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前项和.2．（2024上·重庆·高二校联考期末）已知是等差数列的前项和，若，．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求证：．3．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）等差数列的前项和为.已知且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.题型五：重点考查裂项相消法（无理型：形如）典型例题例题1．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.例题2．（2024·全国·高三专题练习）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.(1)求的值：(2)求数列的通项公式：(3)证明：对一切正整数，有.精练核心考点1．（2024上·天津·高二耀华中学校考期末）对于实数，表示不超过的最大整数.已知数列的通项公式，前项和为，则（

）.A．65 B．67 C．74 D．82（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和.题型六：重点考查裂项相消法（指数型：形如）典型例题例题1．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）记为正项数列的前项和，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，证明：.例题2．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的最大项；(3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.例题3．（2024·全国·高三专题练习）设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.(1)求，的通项公式(2)设，求；(3)设，数列的前项和为，求.精练核心考点1．（2024上·河北邢台·高三统考期末）在正项数列中，，且．(1)求证：数列是常数列，并求数列的通项公式；(2)若，记数列的前项和为，求证：．2．（2024·全国·高二假期作业）设数列的前项和为，且对于任意正整数，都有．(1)求证：数列是等比数列；(2)设，数列的前项和为，求证：．3．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）已知数列是递增的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.题型七：重点考查数列求和之错位相减法典型例题例题1．（2024上·山东德州·高三统考期末）已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和满足关系式．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．例题2．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知正项数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.例题3．（2024上·宁夏银川·高二校考期末）已知数列，其前项和为.数列满足，.(1)求数列、的通项公式；(2)若数列满足，求数列前项和.精练核心考点1．（2024上·湖北·高二期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和2．（2024上·四川泸州·高二泸县五中校考期末）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.3．（2024·全国·高三专题练习）在公差不为零的等差数列中，前五项和，且依次成等比数列，数列的前项和满足，(1)求及；(2)设数列的前项和为，求.题型八：重点考查数列求和之通项含绝对值求和典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．(1)求的最小值；(2)设的前项和为，求．例题2．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足是与的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）记等差数列的前项和为，已知．(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，求．2．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）记为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．3．（2024·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．题型九：重点考查其他方法求和典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，若．(1)求数列，的通项公式；(2)设由，的公共项构成的新数列记为，求数列的前5项之和．例题2．（2023下·河北保定·高二河北省唐县第二中学校考阶段练习）从条件①；②；③中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，，_____________.(1)求的通项公式；(2)表示不超过的最大整数，记，求的前项和.例题3．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知正项数列的前项和为，且，．(1)求；(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．精练核心考点1．（2023·河