广东省潮州市宏安中学高二数学理联考试题含解析

广东省潮州市宏安中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知且设命题p:函数为减函数，命题q:函数

（）恒成立，若p且q为假命题，p或q为真命题，

则实数的取值范围为

()A．

B．C．

D．参考答案：C略2.给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】选择结构．【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．【解答】解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．故选C．3.已知在等比数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=，则该数列的公比等于(

)A． B． C．2 D．参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知得，由此能求出该数列的公比．【解答】解：∵在等比数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=，∴，∴10q3=，解得q=．故选：A．【点评】本题考查等比数列的公式的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．4.椭圆2x2+y2=6的焦点坐标是（）A．（±，0） B．（0，±） C．（±3，0） D．（0，±3）参考答案：B【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及c的值，由焦点坐标公式即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆2x2+y2=6的标准方程为+=1，其焦点在y轴上，且c==，则其焦点坐标为（0，±），故选：B．5.将函数f（x）=sin2x（x∈R）的图象向右平移个单位，则所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是(

) A．（﹣，0） B．（0，） C．（，） D．（，π）参考答案：B考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；复合三角函数的单调性．专题：计算题．分析：将函数f（x）=sin2x（x∈R）的图象向右平移个单位，可得到g（x）=f（x﹣）=sin2（x﹣）=﹣cos2x（x∈R），求得其单调递增区间，再判断即可．解答： 解：f（x）=sin2x（x∈R）g（x）=f（x﹣）=sin2（x﹣）=﹣cos2x=cos（2x+π）（x∈R），∵g（x）=cos（2x+π）的单调递增区间由2kπ﹣π≤2x+π≤2kπ得：kπ﹣π≤x≤kπ﹣（k∈Z）．∴当k=1时，0≤x≤．而（0，）?[0，]，故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，关键在于掌握图象变换的规则（方向与单位），属于中档题．6.直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m等于(

)A．或 B．或 C．或 D．或参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心到直线的距离等于半径，求解即可．【解答】解：圆的方程（x﹣1）2+y2=3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径或者故选C．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，是基础题．7.变量与相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5)；变量与相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则A．

B．

C．

D．参考答案：C8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．24 C．40 D．72参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用棱锥和长方体的体积公式，可得答案．【解答】解：由三视图得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥和长方体的组合体，长方体的长宽高分别为3，4，2，故长方体的体积为3×4×2=24，四棱锥的底面积为：3×4=12，高为6﹣2=4，故四棱锥的体积为：×12×4=16，故组合体的体积V=24+16=40，故选：C9.与圆都相切的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条参考答案：A10.如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y=f（x）在区间内单调递增；②函数y=f（x）在区间内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=﹣时，函数y=f（x）有极大值．则上述判断中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④⑤ D．③参考答案：D【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】利用使f′（x）＞0的区间是增区间，使f′（x）＜0的区间是减区间，分别对①②③进行逐一判定，导数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值，再对④⑤进行判定．【解答】解：对于①，函数y=f（x）在区间（﹣3，﹣）内有增有减，故①不正确；对于②，函数y=f（x）在区间（﹣，3）有增有减，故②不正确；对于③，函数y=f（x）当x∈（4，5）时，恒有f′（x）＞0．故③正确；对于④，当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故④不正确；对于⑤，当x=﹣时，f′（x）≠0，故⑤不正确．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某种树苗成活的概率都为，现种植了1000棵该树苗，且每棵树苗成活与否相互无影响，记未成活的棵数记为X，则X的方差为．参考答案：90【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】直接利用独立重复试验的方差公式求解即可．【解答】解：由题意可得X∽B，则X的方差为：1000×=90．故答案为：90．12.某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论：①等式对恒成立；

②函数的值域为；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．其中正确结论的序号有________________（请将你认为正确的结论的序号都填上）参考答案：.①②③ks5u略13.

参考答案：0略14.若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数=

．参考答案：【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由图得到点Z对应的复数z，代入复数，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：由图可知：z=﹣1+2i．则复数==，故答案为：．15.定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…xn，…，若，则x1+x2+…+x2n=．参考答案：6×（2n﹣1）【考点】数列与函数的综合；函数零点的判定定理．【分析】利用已知当x∈[1，2）时，；?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．可得当x∈[2，4）时的解析式，同理，当x∈[4，8）时，f（x）的解析式，分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3，依此类推：x3+x4=2×6，…，x2013+x2014=2×3×2n﹣1．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵①当x∈[1，2）时，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．当x∈[2，4）时，∈[1，2），f（x）=2f（x）=2（﹣|﹣|）=1﹣|x﹣3|，x∈[4，8）时，∈[2，4），f（x）=2f（x）=2（1﹣|x﹣3|）=2﹣|x﹣6|，同理，则，F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有1个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3=6，依此类推：x3+x4=2×6=12，x5+x6=2×12=24…，x2n﹣1+x2n=2×3×2n﹣1．∴当时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=6×（1+2+22+…+2n﹣1）=6×=6×（2n﹣1），故答案为：6×（2n﹣1）．【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题．16.已知时，函数有最_______值最值为________.参考答案：5;

大；－6略17.函数的定义域为

▲

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx+x2+ax，a∈R．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，函数g（x）=﹣x在区间[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，求t的最大值．（参考数值：自然对数的底数e≈2.71828）参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）函数f（x）在其定义域上为增函数?f'（x）≥0，即对x∈（0，+∞）都成立．通过分离参数a，再利用基本不等式的性质即可得出．（2）当a=1时，g（x）=.．由于函数g（x）在[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，可知：方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，即方程在[t，+∞）（t∈N*）上有解．再利用导数研究其单调性、函数的零点即可．【解答】解：（1）：函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=lnx+x2+ax，∴．∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0，即对x∈（0，+∞）都成立．∴对x∈（0，+∞）都成立．当x＞0时，，当且仅当，即时，取等号．∴，即．∴a的取值范围为．（2）当a=1时，．．∵函数g（x）在[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，∴方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，即方程在[t，+∞）（t∈N*）上有解．令（x＞0），由于x＞0，则，∴函数φ（x）在（0，+∞）上单调递减．∵，，∴函数φ（x）的零点x0∈（3，4）．∵方程φ（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，t∈N*∴t≤3．∵t∈N*，∴t的最大值为3．19.已知曲线C1的方程为，曲线C2的参数方程为（t为参数）.（1）求C1的参数方程和C2的普通方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值.参考答案：（1）的参数方程为（为参数），的普通方程为;（2）1【分析】(1)由椭圆的参数方程的公式可直接写出的参数方程；由曲线的参数方程消去参数可得到的普通方程；(2先由的参数方程设出点的坐标，由题意知求的最小值即是求点到直线的距离，再由点到直线的距离公式可直接求解.【详解】解：（1）曲线的参数方程为（为参数），曲线的普通方程为.（2）设，点到直线的距离为，则的最小值即为的最小值，因为，其中，当时，的最小值为1，此时.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及参数的方法求两点间的距离，只需熟记公式即可，属于基础题型.20.设函数（、），若，且对任意实数（）不等式0恒成立．（Ⅰ）求实数、的值；（Ⅱ)当[－2，2]时，是单调函数，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）∵

∴∵任意实数x均有0成立∴解得：，（Ⅱ）由（1）知∴的对称轴为∵当[－2，2]时，是单调函数∴或∴实数的取值范围是．略21.(本小题满分16分)将正整数作如下分组:(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，….分别计算各组包含的正整数的和如下，，，，，，，(1)求的值；

(2)由,,,的值，试猜测的结果，并用数学归纳法证明.

参考答案：(1)………………2分(2)………3分猜测=………………5分证明如下：记,①当n=1时，猜想成立。②设当n=k时，命题成立，即.………………7分下面证明当n=k+1时，猜想也成立.事实上，有题设可知.所以10分所以

从而，………14分所以猜想在n=k+1时也成立。综合（1）（2）可知猜想对任何.………………16分

22.已知函数．（1）设是的极值点．求a，并求的单调区间；（2）证明：当时，．参考答案：(1)a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f（x）的定义域为，f′（x）=aex–．由题设知，f′（2）=0，所以a=．从而f（x）=，f′（x）=．当0<x<2时，f′（x）<0；当x>2时，f′