2024届江苏省南通市通州区十总中学九年级数学第一学期期末统考试题含解析

2024届江苏省南通市通州区十总中学九年级数学第一学期期末统考试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.已知二次函数y=a?+法+3自变量X的部分取值和对应函数值V如表：

X・・.-2-10123…

y…-503430…

则在实数范围内能使得y+5〉0成立的X取值范围是（）

A.x>-2B.x<-2C.-2<x<4D.x>—2或x<4

2.下列说法正确的是（）

A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上

B.通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的

C.“367人中至少有2人生日相同”是必然事件

D.四张分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形的概率是J.

3.如图,线段43=1,点耳是线段AB的黄金分割点（AP1<BA）,点P2是线段AP,的黄金分割点（<片鸟）,点鸟是线

段AP2的黄金分割点（AP3<P2P3依此类推,则线段AP2020的长度是（）

AP3P2PiB

D.(√5-2)'0l°

3

4.下列各点中，在反比例函数y=三图象上的是（）

X

A.（3,1）B.（-3,1）C.（3,ɪ）D.（ɪ,3）

33

5.如图，在边长为4的菱形A5C。中，NABC=I20。，对角线AC与〃。相交于点O,以点。为圆心的圆与菱形ABCD

的四边都相切，则图中阴影区域的面积为（）

A.ɜʌ/ɜ——B.3也——C.6>∕3-2τrD.ðʌ/ɜ-Æ

6.如图，圆锥的底面半径r为6cm,高h为8c，n,则圆锥的侧面积为（）

A.30πcm2B.48πcm2C.60πcm2D.80πcm2

7.若函数y=(m2-3m+2)χMτ是反比例函数，则m的值是()

A.1B.-2C.±2D.2

8.二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）

X......-3-2・101......

y......-17-17-15-11-5......

A.x=-3B.X=—2.5C.X=—2D.尤=O

12

9.赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为y------X9当水面宽度AB为20,〃时，水面与桥拱顶的高

25

C.IOznD.16m

10.如图所示的中心对称图形中，对称中心是（）

B.O2C.O3D.O4

二、填空题（每小题3分,共24分）

k

11.如图，过原点的直线与反比例函数y=—Ck>O)的图象交于A,B两点,点A在第一象限.点。在X轴正半

X

轴上，连结AC交反比例函数图象于点。.AE为NBAC的平分线，过点3作AE的垂线，垂足为E,连结OE.若

O是线段AC中点，AADE的面积为4,则攵的值为.

12.如图，量角器外沿上有A、B两点,它们的读数分别是70。、40。，则Nl的度数为一度.

13.如图，RtAABC中，ZA=90o,ZB=30o,AC=6,以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面

积为,(结果保留π)

k

14.如图，角α的两边与双曲线y=—(k<0,x<0)交于A、B两点，在OB上取点C,作CDLy轴于点D,分别

X

CE

E、F,若OA=2AF,OC=2CB,贝!|—的值为

EF

15.抛物线丫=-仪+1)2+3与丁轴交点坐标为

AB3EF

16.在%BCD中，NABC的平分线8f交对角线AC于点E,交Ao于点入若^—=二，则——的值为

BC5BF

D

17.如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是

18.某种药原来每瓶售价为40元，经过两次降价，现在每瓶售价为25.6元，若设平均每次降低的百分率为X,根据题

意列出方程为.

三、解答题（共66分）

19.（10分）解方程：x2-4x-21=1.

20.（6分）如图，矩形A8C。中，AB=4,BC=6,E是8C边的中点，点尸在线段40上，过尸作P凡LAE于尸，

设PA=x.

备用国

（1）求证：ZkPBis2XABE;

（2）当点P在线段AO上运动时，设E4=x,是否存在实数X,使得以点P,F,E为顶点的三角形也与448E相似？

若存在，请求出X的值；若不存在，请说明理由；

（3）探究：当以。为圆心，OP为半径的。。与线段AE只有一个公共点时，请直接写出X满足的条件：.

21.（6分）如图所示，在AABC中，ZB=90°,AB=Ilmm,BC=14mm,动点尸从点A开始，以1，""/S的速度沿

边AB向3移动（不与点B重合），动点。从点B开始，以4/n/s的速度沿边BC向C移动（不与C重合），如果尸、Q

分别从A、B同时出发，设运动的时间为xs,四边形APQC的面积为w",M.

（1）写出y与X之间的函数表达式；

（1）当X=I时，求四边形APQc的面积.

P、

B

QC

22.（8分）如图，AC是。O的一条直径，AP是。O的切线.作BM=AB并与AP交于点M,延长MB交AC于点E,

交。O于点D,连接AD.

(1)求证：AB=BE;

（2）若C）O的半径R=5,AB=6,求AD的长.

23.（8分）解下列方程:

(I)X2-8χ+l=0(配方法)

(2)3MX-I)=2-2x.

24.（8分）如图，在正方形ABCZ）中，点E是BC的中点，连接OE,过点A作AG交OE于点F,交Co于

点G∙

（1）证明：ΔADG^ΔDCE;

（2）连接B/，证明：AB=FB.

25.（10分）某校垃圾分类“督察部”从4名学生会干部（2男2女）随机选取2名学生会干部进行督查，请用枚举、

列表或画树状图的方法求出恰好选中两名男生的概率.

26.（10分）甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张除数字外都相同的牌，正面分别标有数字2,5,1.将三张牌背面朝上,

洗匀后放在桌子上.

（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相

同数字的概率；

（2）若两人抽取的数字和为4的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为奇数，则乙获胜这游戏公平吗？请用概率的知识

加以解释.

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、C

【分析】根据y=0时的两个X的值可得该二次函数的对称轴，根据二次函数的对称性可得X=4时，y=5,根据二次函数

的增减性即可得图象的开口方向，进而可得答案.

【详解】∙.∙y+5>0,

∙∙∙y>一5,

Yx=-I时，y=0,x=3时，y=0,

ʌ该二次函数的对称轴为直线X=二U=L

2

V1-3=-2,1+3=4,

...当x=—2时的函数值与当x=4时的函数值相等，

∙.∙χ=-2时，丁=一5,

.∙.x=4时，y=-5,

∙.∙χ>l时，y随X的增大而减小，XCl时，y随X的增大而增大，

.∙.该二次函数的开口向下，

，当一2<x<4时，y>-5,即y+5>0,

故选：C.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，正确提取表中信息并熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

2、C

【分析】利用随机事件和必然事件的定义对A、C进行判断；利用比较两事件的概率的大小判断游戏的公平性对B进

行判断；利用中心对称的性质和概率公式对D进行判断.

【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上，所以A选项错误;

B、通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，所以B选项错误；

C、“367人中至少有2人生日相同”是必然事件，所以C选项正确；

3

D、四张分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形的概率是“

所以D选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了随机事件以及概率公式和游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小,

概率相等就公平，否则就不公平.

3、A

【解析】根据黄金分割的定义得到Bq=咛ɪ,则Al=三叵，同理得到46=（*亍6）2，AA=（七F）',根据此

规律得到APn=（土泸）".据此可得答案.

【详解】解：线段A6=l,点片是线段AB的黄金分割点（A4<B<）,

:.■AB=

,22

.ʌ/ʒ—13—ʌ/ʒ

.,.AλRd=------=------,

点P2是线段Aq的黄金分割点（AP2<42）,

..3-√53-√53-√5

.%=二'丁=z(丁)λ2，

∙∙∙M=(^¾',

..AP11=(^-Y.

所以线段”的长度是（等严

故选：A∙

【点睛】

本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和3C（AC>3O,且使AC是AB和BC的比例中项（即

AB-.AC=AC-.BC）,叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中/^7=正月48。0.61848,

2

并且线段AB的黄金分割点有两个.

4、A

【分析】根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3∙

【详解】解：A、∙.∙3xl=3,.∙.此点在反比例函数的图象上，故A正确；

B、V(-3)χl=-3W3,.∙.此点不在反比例函数的图象上，故B错误；

C、∙.∙3我=13,.∙.此点不在反比例函数的图象上，故C错误；

D,V⅛=l3,.♦.此点不在反比例函数的图象上，故D错误；

故选A.

5、C

【分析】如图，分别过O作OE_LAB于E、OFJ_BC于F、OGJ_CD于G、OH_LDA于H,则

S阴影=S箜形ABCD一2S扇形加E-4SOEB•分别求出上式中各量即可得到解答.

【详解】如图，过O作OE_LAB于E,由题意得：

ZEOB=ZOAB=90-ZABO=90NABC=90-60=30，AB=4

ΛOB=2,OA=2√3»OE=√3,BE=1,ZHOE=180-60=120

ΛBD=2OB=4,AC=2OA=4√3,

2

-SOEB=^BE.OE=smε=ɪl^×πOE=ɪlʒ×=π

S阴影=S菱形ABcD_2S扇形HoE-4S0EB=工XACXBD-2π-^×=-×4>∕3χ4—2%—2G=6百-1π-

222

故选C.

【点睛】

本题考查圆的综合应用，在审清题意的基础上把图形分割成几块计算后再综合是解题关键.

6、C

【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果.

【详解】V⅛=8,r=6,

可设圆锥母线长为/,

由勾股定理，∕=√82+62=1θ^

圆锥侧面展开图的面积为：Sfl8=JX1X6TrXlO=60兀，

所以圆锥的侧面积为60τrcM.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可.

7、B

【解析】根据反比例函数的定义,列出方程求解即可.

【详解】解：由题意得，∣m∣-3=-l,

解得m=+l,

当m=l时，m'-3m+l=l'-3×l+l=2,

当m=-l时，ml-3m+l=(-1)*-3×(-1)+1=4+6+1=11,

.∙.m的值是-L

故选：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义，熟记一般式y=±(k≠2)是解题的关键，要注意比例系数不等于2.

X

8、B

【分析】当x=—3和％=-2时，函数值相等，所以对称轴为x=-2.5

【详解】解：根据题意得，当x=—3和x=-2时，函数值相等，

—3—?

所以二次函数图象的对称轴为直线X=——=-2.5

2

故选B

【点睛】

本题考查了二次函数的性质.

9、B

1,

【分析】根据题意，水面宽度AB为20则B点的横坐标为10,利用B点是函数为)，=五Y图象上的点即可求解丫的

值即DO

【详解】根据题意B的横坐标为10,

1

把x=10代入y=­X7,

得y=-4,

.,.A(-10,-4),B(10,-4),

即水面与桥拱顶的高度Do等于4m.

故选B.

【点睛】

本题考查了点的坐标及二次函数的实际应用.

10、B

【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案.

【详解】解：如图所示的中心对称图形中，对称中心是O∣.

故选:B.

【点睛】

本题考查中心对称图形，解题关键是熟练掌握中心对称图形的性质.

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、3

3

【分析】连接OE,CE,过点A作AF_LX轴，过点D作DH_Lx轴，过点D作DG_1AF；由AB经过原点，则A与B

关于原点对称，再由BEj_AE,AE为NBAC的平分线，

可得AD〃OE,进而可得SAACE=SAAoc;设点A(m,—),由已知条件D是线段AC中点，DlI〃AF,可得2DH=AF,

m

∣i131

贝!!点D(2m,--),证明ADHCgAAGD,得至!]SAHDC=SAADG,所以SAAOC=SAAOF+S锦形AFHD+SAHDC=-k+—k+—A=8；

2”?244

即可求解；

【详解】解：连接OE,CE,过点A作AFLX轴，过点D作DHJ_x轴，过点D作DG_LAF,

V过原点的直线与反比例函数y=&(k>0)的图象交于A,B两点,

X

；.A与B关于原点对称,

是AB的中点，

VBE±AE,

ΛOE=OA,

ΛZOAE=ZAEO,

YAE为NBAC的平分线，

ΛZDAE=ZAEO,

，AD〃OE,

:∙SAACE=SAAOC,

YD是线段AC中点，ΔAD石的面积为4,

：・AD=DC,SΔACE=SΔAOC=8,

k

设点A(m,—),

m

YD是线段AC中点，DH√AF,

Λ2DH=AF,

，点D(2m,ʌ),

2m

VCH∕7GD,AG∕7DH,

ΛZADG=ZDCH,ZDAG=ZCDH,

在AAGD和ADHC中，

ZADG=NDCH

<AD=DC

ZDAG=ZCDH

∙*∙SAHDC=SAADG>

11z、

•：SΔAOC=SΔAOF+S梯形AFHD+SAHDC=—k+—X(DH+AF)×FH+SΔHDC

故答案为T∙

【点睛】

本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将AACE的面积转化为AAoC的面积是解题的关键.

12、15

【分析】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

【详解】解：；NAOB=70°-40°=30°

/.Zl=-ZAOB=ISo

2

故答案为：15。.

【点睛】

本题考查圆周角定理.

13、9√3-3π

【解析】试题解析：连结AD.

ΛZC=60o,AB=6√3»

VAD=AC,

.∙.三角形ACD是等边三角形，

二ZCAD=60o,

二ZDAE=30o,

.∙.图中阴影部分的面积=i×6×6√3--1-×6×3√3-307rx6^=9√3-3Λ-

22360

【解析】过C,B,A,F分别作CMJ_x轴，BNLX轴，AG,X轴，FHLX轴，设Do为2a,分别求出C,E,F的

坐标，即可求出C三E的值.

EF

【详解】如图：过C,B,A,F分别作CMJ_x轴，BNJ_x轴，AGJ_x轴，FHJ_x轴，

k

设Do为2a,贝UE(—,2a),

2a

.∙BN∕7CM,

,.ΔOCMSAOBN,

.COCM_2

'~BO~~BN~1,

,.BN=3a,

.,k

'∙B(—>3a),

3a

z

直线OB的解析式y=竺9aχ,

k

c,2k、

C(—，2a),

9a

FH/7AG,

,.ΔOAG^ΔOFH,

.OAAG_2

'~OF~~FH~3,

."FH=OD=2a,

4

,.AG=-a,

3

,3k4、

.A(—,—a),

4a3

•.直线OA的解析式y=叱X,

9k

,9k

F(——，

8。

.CE_942a_4

^~EF~k9k-9

2a8。

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的特征，相似三角形的判定，关键是能灵活运用相似三角形的判定方法.

15、（0,2）

【分析】令χ=0,求出y的值即可.

【详解】解：Y当χ=0,贝Uy=-l+3=2,

二抛物线与y轴的交点坐标为（0,2）.

【点睛】

本题考查的是二次函数的性质，熟知y轴上点的特点，即y轴上的点的横坐标为0是解答此题的关键.

16、

8

【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解.

【详解】解：V四边形ABeZ）是平行四边形，

.,.AD∕∕BC,

∖NAFB=NEBC,

VBF是NABC的角平分线，

二NEBC=/ABE=ZAFB,

：.AB=AF,

.ABAF3

"BC^BC^5,

'JAD∕∕BC,

IAAFEsdCBE,

.AFEF_3

"~BC~~BE~5,

•EF_3

"BF^8；

3

故答案为：I

O

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质、角平分线的性质及相似三角形的判定

定理.

1

17、-

5

【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可.

【详解】解：黑色区域的面积=3X3-ɪ×3×l-ɪ×2×2-'x3Xl=4,

222

41

.∙.击中黑色区域的概率=一=一.

205

故答案是：ɪ.

【点睛】

本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比，面积比，体积比等.

18、40(1-X)2=25.6

【分析】设平均每次降低的百分率为X,根据某种药原来每瓶为40元，经过两次降价，现在每瓶售价25.1元列出方程,

解方程即可.

【详解】设平均每次降低的百分率为，，根据题意得：40(l-x)2=25.1.

故答案为：40(l-x)2=25.1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列

出方程，再求解.

三、解答题(共66分)

19、xι=7,Xi=-2.

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，由于-21=-7x2,且-7+2=-4,所以本题可用十字相乘法分解因式求解.

【详解】解：x2-4x-21=l,

(x-7)(x+2)=1,

X-7=1,x+2=l,

xι=7,X2=-2.

20、(1)证明见解析；(2)3或生.(3)或OVX<1

65

【分析】(1)根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；

(2)由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当ZPEF=ZEAB时，则得到四边形43£尸为

矩形，从而求得X的值；当NPEF=NAEB时,再结合(1)中的结论，得到等腰VAP£.再根据等腰三角形的三线

合一得到尸是的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解.

(3)此题首先应针对点P的位置分为两种大情况：①。与AE相切，②。与线段AE只有一个公共点，不一定

必须相切，只要保证和线段AE只有一个公共点即可.故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段AE外的

情况即是X的取值范围.

【详解】⑴证明：•••矩形A5CO,

：.AD//BC.

.-.ZABE=90.

ΛZPAF=ZAEB.

XVPF±AE,

.∙.ZPFA=ZABE=90.

"FAS^ABE.

(2)情况1,当AE/PSAA8E,且NPEk=NE43时,

则有PE//AB

.∙.四边形ABEP为矩形，

PA=EB=3,即x=3.

情况2,当APFESAABE,且NpEF'=NAEB时，

VZPAF=ZAEB,

：.NPEF=NPAF.

：.PE=PA.

•：PFlAE,

二点尸为AE的中点,

AE=y∣AB2+BE2=√42+32=√25=5,

.-.EF=-AE=-

22

5

PE笫即pe

^AEɪ

53，

∙--p^τ

25

・・・满足条件的X的值为3或丁.

6

6

(3)X=W或OVXVL

【点睛】

两组角对应相等，两三角形相似.

21、(1)y=4xi-14x+144;(1)lllm/nɪ.

【分析】(1)用X表示//和8Q.利用两个直角三角形的面积差求得答案即可；

(1)求出X=I时，y的值即可得.

【详解】解：(1)I.运动时间为X,点尸的速度为L"w∕s,点。的速度为4w∕s,

.,.PB=Il-lx,BQ=4x,

112,

ΛJ=-X12×24--×(12-2X)×4X=4X-24Λ+144.

(1)当x=l时，j=4×l*-14X1+144=111,

即当X=I时，四边形AP。C的面积为

【点睛】

本题考查了几何动点与二次函数的问题，解题的关键是根据动点的运动表示出函数关系式.

48

22、(1)见解析；(2)AD=M.

【分析】⑴由切线的性质可得NBAE+NMAB=90。，进而得NAEB+NAMB=90。，由等腰三角形的性质得NMAB

=NAMB,继而得到NBAE=NAEB,根据等角对等边即可得结论；

⑵连接BC根据直径所对的圆周角是直角可得NABC=90。，利用勾股定理可求得BC=8,证明△ABCsaEAM,可

Λ「AO

得NC=NAME,——=——，可求得AM=一,再由圆周角定理以及等量代换可得ND=NAMD,继而根据等角

EMAM5

48

对等边即可求得AD=AM=y.

【详解】(I)TAP是。O的切线，

ΛZEAM=90o,

ΛZBAE+ZMAB=90o,NAEB+NAMB=9()。，

又YAB=BM,

ΛZMAB=ZAMB,

ΛZBAE=ZAEB,

ΛAB=BE;

⑵连接BC,

Λ/

TAC是。O的直径，

ΛZABC=90o

在RtAABC中，AC=10,AB=6,

ΛBC=√ΛC2-AB2

由⑴知，NBAE=NAEB,

又NABC=NEAM=90°,

Λ∆ABC(^∆EAM,

ACBC

.∙.NC=NAME,

~EM~~MΛ

即WJ

12AM

.48

/.AM=—

5

又∙.∙∕D=NC,

AZD=ZAMD,

48

AAD=AM=—.

5

【点睛】

本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，准确识图，正确

添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

__ɔ

23、(1)X=4±>∕L5；(2)x=l或x=

【解析】试题分析：

(D先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把方程左边写完全平方的形式，然

后用直接开平方法求解；