八年级数学上册《第十四章 勾股定理》单元测试卷及答案（华东师大版）

八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案（华东师大版）

一、选择题

1.下列各组数据中是勾股数的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.32,4?，52

111

C.9,12,15D.一,一,—

345

2.有一直角三角形纸片，NC=9(TBC=6,AC=8,现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B

rc7C7c

A.2A/7B.—C.—D.4

42

3.在△ABC中，NA、NB、NC的对边分别为a、b、c,下列条件中，能判断△ABC是直角三角

形的是（）

A.a=32,b=42,c=52B.a=b,ZC=45°

C.ZA：ZB：ZC=6：8：10D.a=百，b=币，c=2

4.在^ABC中，已知43=4,BC=5和AC="i，则下列说法正确的是（）

A.△ABC是锐角三角形B.△ABC是直角三角形且=90

C.△ABC是钝角三角形D.△ABC是直角三角形且/8=90

5.要说明命题“若a2>b2,则a>b”是假命题，能举的一个反例是（）

A.a=3,b=2B.a-3,b=2

C.a-=3,b=-1D.a=-1,b=3

6.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD平分NBAC,则AD等于（）

BDC

A.6B.7C.8D.9

7.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是

9cm,则图中所有正方形的面积的和是（）

B.81cm2C.\62cm2D.243C77?

8.将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（）

A.同加一个相同的数B.同减一个相同的数

C.同乘以一个相同的正整数D.同时平方

9.如图，在.ABC中=点P为内一点，连接Q4、PB、PC且NA尸8w/A尸C

求证：PBxPC用反证法证明时，第一步应假设（）

A.AB^ACB.PB=PC

C.ZAPB=ZAPCD.ZPBC^ZPCB

10.如图，圆柱的底面周长是24,高是5,—只在A点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B点的食物，需

要爬行的最短路径是（）

24=

13C.14D.-----h5

兀

二、填空题

11.若直角三角形的斜边长为灰，一条直角边长为1,则另一条直角边长为.

12.如图，每个小正方形的边长为1,则NABC的度数为度.

13.反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假

设.

14.如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中

间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘43=8=16,点E在上，CE=4一名滑雪

爱好者从A点滑到E点时，他滑行的最短路程约为（兀取3）.

三'解答题

15.如图，在.ABC中，AB=AC,AD平分/BAC,已知BC=10,AD=12,求AC的长.

16.如图，在，ABC中，D为A6边上一点，已知AC=13,CD=12,AD=5,AB=BC.请判断

的形状，并求出的长.

17.求证：对顶角相等（请画出图形，写出已知、求证、证明.）

18.一个零件的形状如图所示，按规定NB4C应为直角，工人师便测得NADC=90。，AD=3,

CD=4,AB=12,BC=13请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么.

四、综合题

19.如图，在,ABC中N84C=60°,NB=45°且AZ＞是NBA。的平分线，且AC=26

。“_143于点"，交AO于点。.

C

(1)求证：AC。是等腰三角形；

(2)求线段3。的长.

20.如图，.ABC的三边分别为AC=5,BC=12和A8=13,如果将ABC沿AD折叠，使AC

恰好落在A8边上.

(2)求线段CD的长.

21.综合与实践

美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形.

图1图2图3

(1)如图1,弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a,较短

的直角边为b,斜边长为C,结合图1,试验证勾股定理；

(2)如图2,将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(实线)的周长为24

OC=3求该飞镖状图案的面积；

(3)如图3,将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正

方形MNKT的面积分别为乐S2,S3,若E+S2+S3=42,求S2的值.

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：A、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；

B、（32）2+（42）V（52）2,故不是勾股数，不符合题意；

C、92+122=152,三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确，符合题意；

D、不是正整数，故不是勾股数，不符合题；

故答案为：C.

【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：在RtAACB中，AC=8,BC=6

AB=VAC2+5C2=762+82=18

根据翻折不变性得△EDA丝ZXEDB

.*.EA=EB

.•.在RtABCE中，设CE=x,则BE=AE=8-x

.-.BE2=BC2+CE2

（8-x）2=62+x2

7

解得X~T-

4

故答案为：B.

【分析】在RIAACB中，利用勾股定理算出AB,根据折叠性质得EA=EB,在RsBCE中，设

CE=x，则BE=AE=8-x,利用勾股定理建立方程，求解可得x的值，从而得出答案.

3.【答案】D

222

【解析】【解答】解：A、...42+^=337,/=625Aa+h^c,不是直角三角形，故A不符

合题意；

1QQ

B、a=b,ZC=45°.*.ZA=ZB=-------------=67.5°,不是直角三角形，故B不符合题意；

♦°-4502

C、ZA：ZB：/C=6：8：10,解得/^=180。*3=75。，不是直角三角形，故C不符合题意；

24

D、•••<）[）,.♦.是直角三角形，NB是直角，故D符合题意

故答案为：D.

【分析】A、分别计算a2+b2和c2的值，是否满足a2+b2=c2,根据勾股定理的逆定理即可判断求解;

B、由等边对等角可得NA=NB,然后用三角形内角和定理可判断求解；

C、由三角形内角和定理并结合/A、NB、NC的比值计算即可判断求解；

D、分别计算a?+b2和c2的值，是否满足a?+b2=c2,根据勾股定理的逆定理即可判断求解.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意知回2=16，3。2=25和402=41

,/AB2+BC2=AC2

ABC是直角三角形，且/8=90°

故答案为：D.

【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。

5.【答案】B

【解析】【解答】解：A、32>22,且3>2,不能作为反例，故A不符合题意；

B、(-3)2>22,但一3<2,能作为反例，故B符合题意；

C、32>(-1)2,且3>-1,不能作为反例，故C不符合题意；

D、(-1)2<32,不能作为反例，故D不符合题意.

故答案为：B.

【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：：AB=AC,AD平分/BAC

AADIBC,BD=DC=2BC=6

2?22

在RtAABD中，AD=VAB-BD=710-6=8

故答案为：C.

【分析】根据等腰三角形的性质可得AD1_BC,BD=DC=，BC=6,然后利用勾股定理进行计算.

2

7.【答案】D

【解析】【解答】解：如图所示，根据勾股定理可知

S正方形2+S正方形3=S正方形i=92=81

S正方形A+S正方形E=S正方形2

S正方形c+S正方形。=S正方形3

则S正方形c+S正方形。+S正方形A+S正方形£=S正方形I

贝USjE方形［+止方形2+S正方形3+S正方形c+S正方形o+S正方形A+SJE方形£=3s正方形I=3x9.=3x81=243(cm~),故答案为：

D.

【分析】利用勾股定理可得

2

S正方形］+正方形2+S正方形3+S正方形c+S正方形+S正方形A+S正方形E=3s正方形］=3x9?=3x8］=243(cw)。

8.【答案】C

【解析】【解答】解：设直角三角形的三边长分别为：a,b,c(斜边)

cr-vb1=c2

若三边都加上(或减去)同一个m,则三边分别为。±勿2h±mc±m

此时(a±/n)2+(/?±m)2w(c±m)2

AA,B不符合题意；

若三边都乘以n(n为正整数)，则三边分别为助bncn

(加)2+(加7=(/=(C72)2

・••此时三角形还是直角三角形，故C符合题意；

若三边都平方，则三边分别为：/修c2

...㈤匕年+哈⑷+.丫

故D不符合题意;

故答案为：C.

【分析】设直角三角形的三边长分别为：a,b,c(斜边)，则a2+b2=c2,若三边都加上(或减去)同

一个m,则三边分别为a±m,b±m,c±m,此时(a±m)2+(b±m)2,(c±m)2,据此判断A、B；同理可判断

CD.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：假设PB=PC

在^APB和^APC中

AB=AC,PB=PC,AP=AP

APB丝△APC

，NAPB=NAPC

与已知/APBr/APC相矛盾

假设结论不成立

APB^PC成立.

二用反证法证明时，第一步应假设B成立.

故答案为：B.

【分析】利用反证法的书写要求求解即可。

10.【答案】B

【解析】【解答】解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示

根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB

A6恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半

即长为24+2=12,宽为5

...AB=V52+122=13

即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13.

故答案为：B.

【分析】将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AB的长即可。

11.【答案】75

【解析】【解答】解：•••直角三角形的斜边长为遥，一条直角边长为1

/.另一条直角边长为“府—F=石

故答案为：75.

【分析】直接利用勾股定理计算即可求出另一条直角边的长.

12.【答案】45

【解析】【解答】解：连接AC

由勾股定理得：AC2=22+12=5

BC2=22+12=5

AB2=l2+32=10

二AC2+BC2=5+5=1O=BA2

/.△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°

，NABC=45°

故答案为：45.

【分析】连接AC,利用勾股定理求出AC2+BC2=5+5=10=BA2,再利用勾股定理的逆定理可得

△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,从而得解。

13.【答案】同旁内角不互补的两条直线平行

【解析】【解答】解：由题意可得，反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行''时，应先假

设同旁内角不互补的两条直线平行

故答案为：同旁内角不互补的两条直线平行.

【分析】用反证法证明的第一步为假设结论不成立，故只需找出不平行的反面即可.

14.【答案】15

【解析】【解答】解：将半圆面展开可得，如图所示：

•.•滑行部分的斜面是半径为3的半圆

，AD=—X2KX3=3TI®9

2

VAB=CD=\6CE=4

：.£)E=16—4=12

在RLADE中

AE=\IAD2+DE2=A/92+122=15-

故答案为：15.

【分析】将立体几何转化为平面几何，再利用勾股定理求出AE的长即可。

15.【答案】解：AB=AC,AD平分/BAC

BD=CD」BC=5

AD±BC2

AD=12

..AC=VAD2+CD2=V122+52=13

故AC的长为13.

【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得ADLBC,BD=CD=5在RsACD中，利用勾股定

理算出AC的长即可.

16.【答案】解：在AACZ）中

：m+C/y=5?+122=169AC2=132=169

AD2+CD2=AC2

....AC。是直角三角形，且NA0C=9O°；

在RtABCD中CO=12,AB=3C=5+30即8。=5c—5

BD2+CD2=BC2,EP(BC-5)2+122=BC2

解得：BC=16.9.

【解析】【分析】先利用勾股定理逆定理证明NADC=9（）。，再利用勾股定理可得

(BC-5>+122=802,最后求出80=16.9即可。

17.【答案】解：已知：如图，直线AB与CD交于点O.

AD

求i正：ZI=Z2.

证明：:AB、CD相交于0（已知）

.•.Zl+Z3=l80°,Z2+Z3=180。（邻补角的定义）

.•.N1=N2（同角的补角相等）

【解析】【分析】首先根据命题写出题设：两个角为对顶角；写出结论：两个角相等。将题设作为已

知条件，求证的内容为结论，进行证明即可。

18.【答案】解：这个零件符合要求，理由如下：

VZADC^90°,AD=3,CD=4

•■­AC7cbi+AD?=5

.•.AB=12,BC=13

二AC2+AB2=BC2

乙ABC是直角三角形

Zfi4C=90°

故这个零件符合要求.

【解析】【分析】利用勾股定理先求出AC=5,再求出ABC是直角三角形，最后判断求解即

可。

19.【答案】（1）证明：VZBAC=60°,ZB=45°

ZACB=180°-ZBAC-ZB=180o-60°-45o=75°

VAD平分NCAB

.-.ZCAD=-ZCAB=30°

2

，NADC=180°-NCAD-NACD=180°-30°-75°=75°

/.ZADC=ZACB

.\AC=AD

/.△ACD是等腰三角形

（2）解：过点D作DELAB于点E

.•.ZAED=ZDEB=90°

在RtAADE中，ZDAE=30°

.•.DE=-AD=-AC=V3

22

,:NB=NEDB=45°

/.DE=BE=V3；

/.DE2+BE2=BD2

/.3+3=BD2

解之：BD=46

.•.BD的长为"

【解析】【分析】(1)利用三角形的内角和定理求出/ACB的度数；再利用角平分线的定义求出

NCAD的度数，再利用三角形的内角和定理求出NADC的度数，由此可证得/ADC=NACB,利用

等角对等边可得到AC=AD,即可证得结论.

(2)过点D作DE_LAB于点E,可得到NAED=NDEB=90。，在RtAADE中，利用30。角所对的

直角边等于斜边的一半，可求出DE的长，利用等腰直角三角形的性质可求出BE的长，然后利用勾

股定理求出B