福建省三明市夏坊初级中学2022年高二数学理联考试卷含解析

福建省三明市夏坊初级中学2022年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．－

B．2 C．4 D．－参考答案：C2.已知函数,且=2,则的值为

A．1

B．

C．－1

D．0参考答案：A略3.函数的图像大致形状是

（

）参考答案：A4.已知A．B．C是球O的球面上三点，三棱锥O﹣ABC的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O的表面积为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C由，则，设的外接圆半径为，则，即，，.5.如果直线：与直线：垂直，那么的值为A．

B．

C．

D．参考答案：A6.已知a>0,b>0,a+b=2,则的最小值是

（

）A、

B、4

C、

D、5参考答案：C7.若全集U=R,集合M＝，S＝，则=（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：B8.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若，且，则C的离心率为(

)A.

B.2－

C.

D.－1参考答案：D9.等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点（n，Sn）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】等差数列的前n项和，等价于二次函数，根据二次函数的图象和性质即可到答案．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，∴Sn=na1+×d=n2+（a1﹣）n，∴点（n，Sn）在曲线y=x2+（a1﹣）x，∵d＜0，∴二次函数开口向下，∵对称轴x=﹣＞0，∴对称轴在y轴的右侧，故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式以及二次函数的性质，属于基础题．10.如图是函数的部分图象，f(x)的两零点之差的绝对值的最小值为，则f(x)的一个极值点为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若

参考答案：51012.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则t的取值范围是______.参考答案：【分析】构造函数，利用函数的导数研究函数的单调区间以及极值、最值，结合恒成立，求得的取值范围.【详解】依题意恒成立，即，构造函数，，令得，注意到图像在第一象限有且只有一个交点，设为，当时，，递增，当时，，递减.即在处取得极小值，也即是最小值.即，可得.则当时，不等式恒成立，所以的取值范围是.【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调区间以及极值、最值，考查恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.13.不等式对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是______________.参考答案：略14.两个相交平面能把空间分成

▲

个部分参考答案：415.定义在上的函数满足，且当＞2时，单调递增，若，，则的值为

．（判断符号）参考答案：负略16.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是

▲

．参考答案：17.双曲线的离心率为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣a|．（1）若f（x）的最小值为2，求a的值；（2）若f（x）≤|2x﹣4|的解集包含[﹣2，﹣1]，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值为2，求得a的值．（2）由题意可得，x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）≤|2x﹣4|恒成立，即﹣5+a≤2x≤5+a恒成立，即，由此求得a的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣a|≥|2x+1﹣（2x﹣a）|=|a+1|，且f（x）的最小值为2，∴|a+1|=2，∴a=1或a=﹣3．（2）f（x）≤|2x﹣4|的解集包含[﹣2，﹣1]，即x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）≤|2x﹣4|恒成立，即|2x+1|+|2x﹣a|≤|2x﹣4|恒成立，即﹣2x﹣1+|2x﹣a|≤4﹣2x恒成立，即|2x﹣a|≤5恒成立，即﹣5+a≤2x≤5+a恒成立，即，∴﹣7≤a≤1．19.已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=﹣，且对于任意的n∈N*有Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列；（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）已知bn=n（n∈N+），记，若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．参考答案：【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和；8I：数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比，利用对于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差得2S3=S1+S2，代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an和已知bn=n代入整理，然后利用错位相减法求Tn，把Tn代入（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）后分离变量m，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，∵对于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差，∴2．整理得：．∵a1≠0，∴，2+2q+2q2=2+q．∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=．又，把q=代入后可得．所以，；（Ⅱ）∵bn=n，，∴，∴．．∴=∴．若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）?2n+1+2﹣n﹣1]对于n≥2恒成立，也就是（n﹣1）2≤m（n﹣1）?（2n+1﹣1）对于n≥2恒成立，∴m≥对于n≥2恒成立，令，∵=∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=．∴m．所以，（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[）．20.已知O为坐标原点，抛物线与直线相交于A，B两点．(1)求证：；(2)当△OAB的面积等于时，求实数k的值．参考答案：(1)见解析.(2).【分析】(1)将直线方程与抛物线方程联立，得到一元二次方程，通过根与系数的关系，结合两直线斜率乘积为，即可说明两直线垂直；(2)求出直线与轴交点，表示出三角形的面积，根据面积为，解方程即可求出实数的值.【详解】（1）显然直线的斜率存在且．联立，消去，得．如图，设，则，由根与系数的关系可得，．因为在抛物线上，所以，，．因为，所以．(2)设直线与轴交于点，令，则，即．因为，所以，解得．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．21.如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（I）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求二面角B一PC﹣D的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接PO，CO，AC，由已知条件推导出PO⊥AB，CO⊥AB，从而AB⊥平面PCO，由此能证明AB⊥PC．（Ⅱ）由已知得OP⊥OC，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B一PC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接PO，CO，AC，∵△APB为等腰三角形，∴PO⊥AB…又∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴△ACB是等边三角形，∴CO⊥AB…又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，又PC?平面PCO，∴AB⊥PC

…（Ⅱ）解：∵ABCD为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=，∴PO=1，CO=，∴OP2+OC2=PC2，∴OP⊥OC，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（，0，0），P（0，0，1），D（，﹣2，0），=（，﹣1，0），=（），=（0，2，0），设平面DCP的法向量=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，0，），设平面PCB的法向量=（a，b，