2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市丰台区高二(上)期末数学试卷

一、单选题(本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知经过4(0,2),8(1,0)两点的直线的一个方向向量为(l,k),那么k=()

A.-2B.-1C.—ɪD.2

2.圆C：(X-2)z+(y-2)2=4的圆心坐标和半径分别为()

A.(-2,-2),2B.(2,2),2C.(-2,-2),4D.(2,2),4

3.有一组样本数据X2....Xn的方差为0」，则数据Xi+2,X2+2,Xn+2的方差

为()

A.0.1B.0.2C.1.1D,2.1

4.已知m,n是实数，若W=(2,2m—3,2),K=(4,2,3n-2)-0-α∕∕K>则?n+n=()

A.-4B.0C.2D.4

5.记录并整理某车间10名工人一天生产的产品数量(单位：个)如表所示：

工人赵甲钱乙孙丙李丁周戊吴己郑庚王辛冯壬陈癸

产品数

46485153535656565871

量/个

那么这10名工人一天生产的产品数量的第30百分位数为()

A.49.5B.51C.52D.53

6.某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘

制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[6,26],样本数据分组为[6,10),[10,14),[14,18),

[18,22),[22,26],己知样本中产品净重小于14克的个数是36,则样本中净重大于或等于10克

并且小于22克的产品的个数是()

频率/组距

0.075

0.0625

0.05........................

0.0375.............................................

0.025................

-¼-∣~~~~~~~

61014182226竟

A.90B.75C.60D.45

7.已知生产某种产品需要两道工序，设事件4="第一道工序加工合格”，事件B="第二

道工序加工合格”，只有第一道工序加工合格才进行第二道工序加工，那么事件“产品不合

格”可以表示为()

A.AB.ABC.ABD.A›JAB

8.已知圆M：/+y2=1和N：(χ—2企/+⑶一2口产=r∏2(m>0)存在公共点，则小的

值不可能为()

A.3B.3√2C.5D.4√2

9.已知双曲线AAI(Q>0,Z?>0)的右支与圆/+y2=02+人2交于/,B两点,。为坐

标原点.若△。4B为正三角形，则该双曲线的离心率为()

A.IB.乎C.√2D.2

10.在平面直角坐标系Xoy中，方程J(X+3)2+y2∙J(X-3)2+y2=13对应的曲线记为C，

给出下列结论：

①(0,0)是曲线C上的点；

②曲线C是中心对称图形；

③记4(-3,0),B(3,0),P为曲线C上任意一点，则△PAB面积的最大值为6.

其中正确结论的个数为()

A.0B.1C.2D.3

二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.双曲线χ2-V=4的渐近线方程为.

12.甲、乙两人独立地破译某个密码，若两人独立译出密码的概率都是0.5,则密码被破译

的概率为.

13.写出过点2(2,3)且与圆(X-l)2+y2=1相切的一条直线的方程

14.在空间直角坐标系。一XyZ中，已知过坐标原点。的平面α的一个法向量是元=(0,0,-1),

点P(3,-4,5)到平面α的距离为

15.棱长为2的正方体ABCO-4当的劣中，点P满足前=

xBA+yJC+其中X，y，z∈[0,1]，给出下列四个结

论：

①当X=0,Z=I时，ABPDi可能是等腰三角形；

②当X=0,y=l时，三棱锥P-BDOI的体积恒为右

③当z=l,且x+y=l时，ZiBPOi的面积的最小值为企；

④当z=l,且X+y=：时，NBPDl可能为直角.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共6小题，共85.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题13.0分)

已知△OAB的三个顶点分别是O(0,0),A(2,0),B(4,2).

(I)⅛<∆04B的外接圆C的方程；

(11)求直线1：4x+3y-8=0被圆C截得的弦的长.

17.(本小题14.0分)

如图，在正四棱柱力BCD-力IBIClDl中，AA1=2AB=2BC=2,M是棱CCl上任意一点.

(I)求证：AM1BD；

(∏)若M是棱CCl的中点，求异面直线4M与BC所成角的余弦值.

B

18.(本小题14.0分)

某公司为了了解力，B两个地区用户对其产品的满意程度，从力地区随机抽取400名用户，从B

地区随机抽取100名用户，通过问卷的形式对公司产品评分.该公司将收集的数据按照[20,40),

[40,60),[60,80),[80,100]分组,绘制成评分分布表如下:

分组4地区8地区

[20,40)4030

[40,60)12020

[60,80)16040

[80,100]8010

合计400100

(I)采取按组分层随机抽样的方法，从4地区抽取的400名用户中抽取10名用户参加座谈活

动.求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有多少名？

(11)从(1)中参加座谈的且评分不低于60分的用户中随机选取2名用户，求这2名用户的评分

恰有1名低于80分的概率；

(IiI)若A地区用户对该公司产品的评分的平均值为%,B地区用户对该公司产品的评分的平均

值为〃2,两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为的，试比较的和空的大小，

并说明理由.

19.(本小题14.0分)

已知抛物线C：y2=2pχ(p>0)过点A(1,2).

(I)求抛物线C的方程及其焦点坐标；

(∏)过点A的直线，与抛物线C的另一个交点为若A(MB的面积为2,其中。为坐标原点，求

点B的坐标.

20.(本小题15.0分)

如图，在四棱锥P-ABCC中，PD1平面力BCC,AB//CD,Z.ADC=90°,且AD=CD=PD=

2AB.

(I)求证：ABI平面P4D；

(II)求平面PAO与平面PBC夹角的余弦值；

(IIl)在棱PB上是否存在点G(G与P,B不重合)，使得OG与平面PBC所成角的正弦值为|?若存

在，求线的值，若不存在，说明理由.

21.(本小题15.0分)

已知椭圆E：鸟+4=l(α>b>0)过点4(2,0),B((U)两点.

ab

(I)求椭圆E的方程；

(∏)过点P的直线I与椭圆E交于C,D两点.

⑴若点P坐标为(2,1),直线8C,BD分别与X轴交于M,N两点.求证：MMl=MN|；

(ii)若点P坐标为(2,第,直线g的方程为Bx-6y-2√3=0,椭圆E上存在定点Q,使直线QC,

QD分别与直线g交于M，N两点，且IaMl=MNI.请直接写出点Q的坐标，结论不需证明.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：由已知可得直线AB的斜率为k=^=-2,

U-I

则k=-2,

故选:A.

求出直线的斜率，由此即可求解.

本题考查了直线的斜率以及方向向量的应用，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解:圆C：(%-2)2+S-2)2=4的圆心坐标为(2,2),

半径为：2.

故选：B.

利用圆的定义和性质直接求解.

本题考查圆的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】A

【解析】解：设数据Xi，X2,…，Xn的平均数为3

则数据Xi+2,x2+2,∙∙∙,Xn+2的平均数为或+2,

数据X],X2<■■■>Xn的方差为52=—κ)2+—x)2+…+(Xn-X)2]=0.1,

又数据%ι+2,%2+2,…，xn+2的方差为GKXl+2—X—2)?+(泡+2—x—2)2+...+(%九+2—

2222

X-2)]=ɪ[(x1-X)+(x2-X)+...+(xn-X)]=01-

故选：A.

设数据X1，X2，…，Xn的平均数为3即可求出该数据的方差关系式，然后再求出数据与+2,X2+2,

--与l+2的平均数以及方差关系式，化简即可求解.

本题考查了数据的方差的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解:根据题意，若N=(2,2m-3,2),b=(4,2,3n-2)，且五〃石,

(4=2k

设石=k^3,则有∣2=∕c(2τn—3),解可得Tn=2、n=2,

tɜn-2=2k

则m+n=4；

故选：D.

(4=2k

根据题意，设E=k%则有2=k(2m-3),解可得加、n的值，计算可得答案.

3n-2=2k

本题考查空间向量的平行，涉及向量的坐标计算，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：将10个数据按照从小到大的顺序排列为：

46,48,51,53,53,56,56,56,58,71,

10X30%=3,

所给数据的第30百分位数为第3个数据与第4个数据的平均数，等于昆罗=52.

故选：C.

将数据按照从小到大的顺序排列，然后由百分位数的定义求解即可.

本题考查了百分位数的求解，解题的关键是掌握百分位数的定义，考查了运算能力，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：由频率分布直方图可知样本中产品净重小于14克的频率为(0.025+0.05)×4=0.30,

设样本总体个数为n,则逅=0.3,解得TI=I20,

n

又样本中净重大于或等于10克并且小于22克的频率为(0.05+0.075+0.0625)×4=0.75,

所以样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品个数为120X0.75=90,

故选：A.

根据频率分布直方图求出样本中产品净重小于14克的频率，然后设样本总体个数为n,则即可建

立方程求出n的值，进而可以求解.

本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生的识图能力，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：由题意可知要使产品不合格，

需第一道工序不合格或者第一道工序合格且第二道工序不合格，

则“产品不合格”可以表示为Tu4后，

故选：D.

根据和事件以及积事件的性质即可求解.

本题考查了事件的关系与运算，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：圆M:χ2+y2=1的圆心M(0,0),半径T]=1,

圆N:(x—2√Σ)2+(y—2√Σ)2=τn2(7n>0)的圆心N(2√^,2√Σ),半径万=m,

若圆M与圆N存在公共点，则Im-Il≤∣MN∣≤zn+l,

22

f∣m-l∣≤λ(2√2)+(2√2)

即《；_____________，解得3≤m≤5.

[m+1≥J(2√2)2+(2√2)2

结合选项可得，m的值不可能为4√Σ

故选：D.

由两圆的方程可得圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的关系列式求得Tn的范围，结合选项得答

案.

本题考查圆与圆位置关系的判定及应用,考查运算求解能力，是基础题.

9.【答案】C

【解析】解：如图所示，设α2+b2=c2

'x2+y2=c2I-------

联立/y2,解得丫_业*,

•・•△OAB为正三角形，

QJb?+c2π+匕2=

-........=c∙COS-

C6

化为3e‘一8e2+4=0,e>1,

解得e2=2,即e=√∑,

故选：C.

'x2+y2=c2

如图所示，设α2+b2=c2,c>0,联立χ2y2,解得X,根据AOAB为正三角形，利用边

(混_/=1

角关系可得关于α,b,C的方程，进而得出离心率.

本题考查了双曲线的标准方程及其性质、圆的方程、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算

能力，属于中档题.

10.【答案】C

【解析】解：对于①，把(0,0)代入J(X+3)2+y2∙J(X一3)2+y2=13不成立,得(0,0)不是曲

线C上的点，故①错误；

对于②，以-K替换X,以-y替换y,方程J(X+3)2+y2.J(X一3)2+y2=13不变,可知曲线C是

中心对称图形，故②正确；

对于③，在方程J(X+3)2+y2.J(X—3)2+y2=13中，取X=0,可得9+y2=13,即y=±2,

；.△PAB面积的最大值为S=6X2=6,故③正确.

••・正确结论的个数为2.

故选：C.

把原点的坐标代入切线方程判断①；由中心对称的概念判断②；取x=0求得y的最值，再由三角

形面积公式求面积判断③.

本题考查切线方程，考查推理论证能力与运算求解能力，是基础题.

11.【答案】y=+χ

【解析】解：把双曲线/—y2=4转化为标准方程：⅛-⅛=i,

二双曲线/一y2=4的渐近线方程为

⅞-⅞=0.

44

整理，得y=±x.

故答案为：y=±κ.

把双曲线/一丫2=4转化为标准方程：殳一些=1，得到双曲线/一丫2=4的渐近线方程为老一

A=O,由此能求出结果.

4

本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题.解题时要认真审题，注意把双曲线方程转化为

标准方程.

12.【答案】0.75

【解析】解：密码被破译的概率为1-(I-0.5)(1-0.5)=0.75.

故答案为：0.75.

求得密码没有被破译的概率，用1减去没有被破译的概率，即为密码被破译的概率.

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运

用.

13.【答案】X=2或4x—3y+1=0

【解析】解：根据题意,4(2,3)在圆(X-l)2+y2=1外，

•••过点4(2,3)与圆。-l)2+(y-2)2=1相切的直线有两条.

当斜率存在时，设切线的斜率为k,

则切线方程为y-3=∕c(x-2),即kx-y+3-2fc=0,

∣fe+3-2fe∣_,

∙∙∙k=京切线方程为4x-3y+l=0,

当斜率不存在时，切线方程为X=2.

综上，所求的切线方程为％=2或4%-3丫+1=0.

故答案为；X=2或4x-3y+1=0.

根据题意,4(2,3)在圆(Y-I)2+y2=1外,过点4(2,3)与圆(X-I)2+y2=1相切的直线有两条，

考虑斜率存在和斜率不存在，分情况讨论即可.

本题考查直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握

此性质是解本题的关键，属于基础题.

14.【答案】5

【解析】解：根据题意，点P(3,-4,5),则赤=(3,-4,5),

平面α的一个法向量是元=(0。-I),

则点P(3,—4,5)到平面。的距离d=寄=1=5,

故答案为：5.

根据题意，求出向量诃的坐标，由点到平面的距离公式计算可得答案.

本题考查空间向量的应用，涉及点到平面的距离计算，属于基础题.

15.【答案】①②③

【解析】解：对于①：当X=O,Z=I时，点P是线段BICl上的动点，显然当P是线段BICT的中点

时，BP=D1P,故①正确；

对于②：当X=O,y=1时，点P是线段CCl上的动点，•；BB1∕∕CCτ,又BBlU平面二CCJ/

平面BDD1，

P到平面BDDl的距离为定值TAC=√Σ,.∙.三棱锥P-BDDi的体积V=∣×i×2×2√2×√2=p

故②正确；

对于③：当z=l,且X+y=1时，点P在线段AIG上的动点,

显然P为aQ与BlDI的交点时，△BPDl的面积的最小,

最小值为SABB逮-SABBF=∣×2×2√2-^×2×√2=√2,故③正确;

对于④：当z=l,且x+y=g时，M,N为A[Bi，BlCl的中点，点P为直线MN上的动点,

以B为原点，BA,BC,BBl为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则P(%y,l),B(0,0,0),Di(LLl),

・•・丽=Qy,1)，D1P=Q-Ly-1,0),

22222

：■BP∙D1P={x,yt1)∙(x—l,y—lz0)=x-x÷y-y=x-x+y-y=(x+y)—2xy—

Cχ+y)=^-^~2χy=~l-2χy<0'

故々BPD1不可能为直角，故④错误.

故答案为：①②③.

利用空间几何的性质，逐项判断即可.

本题考查空间几何体的体积问题，考查三角形形状的判断，考查空间角问题，属中档题.

22

16.【答案】解：(I)设4OAB的外接圆C的一般方程为χ2+y2+Dx+Ey+F=0,D+E-4F>

0,

F=O

把O(0,0),4(2,0),B(4,2)代入可得［22+2。+F=O,

42+22+4。+2E+F=0

解得D=-2,E=-6,F=0,

.∙∙∆OaB的外接圆C的一般方程为/+y2-2x-6y=0.

(U)由(/)可得:(X-I)2+0—3)2=10,

圆心C(1,3),半径r=√IU,

.∣4+9-8∣

圆心C到直线用勺距离d=^∏=T=1,

y∣42+32

.♦.直线h4x+3y-8=0被圆C截得的弦的长=2X√10→L=6.

【解析】(I)设ACMB的外接圆C的一般方程为/+y2+Dχ+Ey+F=O,o2+E2-4f>0,

把O(0,0),A(2,0),8(4,2)代入可得关于O,E,F方程组，解得D,E,F,即可得出的外接

圆C的一般方程.

(H)由(/)可得：(％-1)2+⑶_3)2=10,可得圆心C(l,3),半径r=√TU,利用点到直线的距离

公式可得圆心C到直线，的距离d,即可得出直线A4%+3y-8=O被圆C截得的弦的长=2K

本题考查了圆的方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能

力，属于中档题.

17.【答案】解：(I)证明：在正四棱柱ABCD-AlBIClDI中，AA1=2AB=IBC=2,

M是棱CCl上任意一点，

5

RClBD,AA1IPffiylBCD,

5

∙.∙BDCFffizlBCD,.∙.BD1AA1,

AC∩AA1=A,BD_L平面ACCI

∙.YMu平面ACClaI,.∙∙4M1BD;

(Il)以/为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

•••时是棱”1的中点，；.做0,0,0),M(l,l,l),B(LO,0),C(l,l,0),

AM=(1,1,1).BC=(0,1,0)，

设异面直线AM与Be所成角为仇

则异面直线AM与BC所成角的余弦值为：

n_l≡∙BC∣,1.√3

cr°nsςθ-WWi-√3-T∙

【解析】(I)ACIBD,44ι1平面4BCC,从而3。_144「进而BDI平面力CClA「由此能证明

AM1BD；

(Il)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线4M与BC所成角的余弦值.

本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成角的定义及其余弦值的求法等基础知

识，考查运算求解能力，是中档题.

18.【答案】解：(I)设从A地区抽取的用户中抽取的10名用户参加座谈的用户中，对公司产品的

评分不低于60分的用户有m名，

C=W解得m=6;

(∏)将从(I)中参加座谈的且评分不低于60分的6名用户中，评分为［60,80)的4名编号为1,2,3,

4,评分为［80,100)的两名用户编号为a,b,

则从6人中随机选取2名用户的样本空间0={(1,2),(1,3),(1,4),(l,α),(Lb),(2,3),(2,4),(2,a),

(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,6),(a,b)},

设M=''这两名用户的评分恰有一名低于80分“，则M={(l,a),(l,b),(2,a),(2,b),(3,a),

(3,b),(4,a),(4,b)},

则P(M)=喘=也

(In)无法判断的和纬”的大小，

理由：因为样本的抽样具有随机性，样本不一定能完全代表总体，所以无法比较.

【解析】(I)按照分层抽样的规律，即抽样比相等，列出方程求解；

(II)利用列举法表示出所有的样本点，再求出要求事件包含的样本点的个数，套用公式求出结论；

(III)根据抽样具有随机性的特点，可得总体的〃。和””的大小关系无法确定.

本题考查分层抽样的性质，古典概型的概率计算公式，属于中档题.

19.【答案】解：(I)把点4(1,2)代入抛物线C：y2=2px(p>0)方程，

则4=2p,解得P=2.

・•・抛物线。的方程为f=4%,焦点坐标为(M)).

(II)设过点A的直线⑵程为τn(y-2)=x-l,/出必)，直线I与％轴相交于M(I-2皿0),

联乂I*_轨，化为必—4my+8m-4=0,

则2+yo=4τn,可得2m=等2

则^OAB的面积2=i∣l-2m∣∙∣2-y0∏

・•.|1-TQl∙|2_Vol=4,

化为：yo-2y0±8=0,

诏一2y0+8=0,J=4-32=-28<0,无解，舍去.

yo~2Yo-8=0,解得Vo=-2,4,

由yo=-2,可得4=43,解得&=1,・•・8(1,-2)；

由Vo=4，可得16=4%o,解得%。=4,・•・B(4,4).

综上可得：点B的坐标为(1,一2),(4,4).

【解析】(I)把点4(1,2)代入抛物线C：V=2px(p>0)方程，解得p,进而得出抛物线C的方程

及其焦点坐标.

(H)设过点4的直线2方程为m(y-2)=%-1,8(%。,y。)，直线，与X轴相交于M(I-2m,0),把直

线/的方程代入抛物线方程化为y2-4τny+8/n-4=0,利用根与系数的关系可得M与y0的关系,

代入AOAB的面积2=T∣l-2nι∣∙∣2-yo∣,解得M)，可得点B的坐标.

本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关

系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(I)证明：∙.∙48∕∕CD,"DC=90°,

・•・AB1ADf

•・•PD1平面48CD.48U面/8CO,

・•・PD1/8,

VPDU面P4。，ADU面Pi4。，AD(ΛPD=Df

∙∙AB，平面PaD；

(Il)以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐

标系，设力。=CD=PD=2AB=2,

则D(Oo0),A(2,0,0),P(OO2),B(2,l,0),C(0,2,0),

.∙.ΛB=(0,1,0).PB=(2,1-2).BC=(-2,1,0).

由AB，平面PA。，可得平面P4D的一个法向量为沆=AB=(0,1,0)-

设平面PBC的一个法向量为元=(X,y,z),贝曲,空=°，即IamC=°,则可取元=(1,2,2),

5∙BC=0(ZX-ry-u

m∙n2_2

:∙cos<mn>=

f∖m∖-∖n∖l×√l+4+4—3,

・•・平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为|；

(IIl)设G(X,y,z),设福=X而，(O<A<1),

•**(2-X,1—y,—Z)=4(2,1,—2),

可得％=2-2九y=1—λfz=2A,

.∙.G(2-2λ,l-∕l.2λ),

ΛDG=(2-2λ,l-λ.2λ)f

_^________2-24+2-2/1+4/1_________2

.∙.COS<"G'√l+4+4j(2-2λ)2+(l-λ)2+4Λ2ɜ)

解得A=ɔ

y

PG118

∙'∙^=1-λ=9∙

【解析】(I)证明PDlAB,说明ADICD,14B,即可证明AB1平面PAD；

(Il)以。为原点，分别以04,DC