尺规作图与最短路径（解析版）-八年级数学复习三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练

专题02尺规作图与最短路径

作一条行殳等于已知舜殳

/作T角等于已知角

[作已知角的平分线®

❶尺规基本作图

Tk过一点（直线上或外）作已知直线的垂线

r-[作已知线段的垂直平分线

Θ已知三边作三角形

夕，已知两边及夹角作三角形

❷尺规综合作图

FJ,知055例乃突山作二色形

单动点：将军饮马

❸最短路径R'双动点：角内接周长最小三角形

_造桥选址

几何中，用（无刻度）的直尺和圆规作图为尺规作图.

一.五种基本作图

1.作一条线段等于已知线段

2.作一个角等于已知角

μ,⅛

3.作己知角的平分线（理论依据：SSS）

O~~^∖----------B~

4.过一点（直线上或外）作已知直线的垂线

5.作已知线段的垂直平分线

二.尺规综合作图

1.已知三边作三角形

2.已知两边及夹角作三角形

3.已知两角及夹边作三角形

三.最短路径

1.单动点（尸为直线/上一动点，B4+PB最小）

2.双动点（B、C为直线。M,ON上的动点，448C周长最小）

【典例解析】

【例1-1]（2020∙庆云县月考）某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这

条公路上，又到直线0A、。8的距离相等.你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）

【答案】见解析.

【解析】解：如图所示:

M

N

DB

点P的位置就是饭馆的位置.

【例1-2］（2019•舞钢市月考）小安的一张地图上有A,B,C3三个城市，地图上的C城市被墨污染了（如

图），但知道NBAC=Nα,NABC=Nβ,你能用尺规作图帮他在下图中确定C城市的具体位置吗？（不作法，

保留作图痕迹）

【答案】见解析.

【解析】根据作一个角等于已知角的方法分别以48为边，作/8AC=Nα,4ABC=",两个角的边的交点

处就是C的位置.

4

点C为所求的点.

【变式1-1］（2020.丽水市莲都区教研室期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角

等于已知角；③作一条线段的垂直平分线.其中作法正确的是（）

①

②③

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【解析】解：①作一个角的平分线的作法正确；

②作一个角等于己知角的方法正确；

③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；

故答案为：A.

【变式1-2］（2019•河北南宫期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容：如

图，已知NAo3,求作：NDEF,使NDEF=ZAOB.

作法：（1）以。为圆心,任意长为半径画弧，分别交04、OB于点P、Q；

（2）作射线EG，并以点E为圆心，@长为半径画弧交EG于点O；

（3）以点。为圆心，《长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；

（4）作＞,Nr）E尸即为所求作的角.

A.。表示点EB.C）表示PQ

C.名）表示OQD.㊉表示射线EF

【答案】D

【解析】

作法：（1）以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交。4、OB于点、P、Q；

（2）作射线EG,并以点E为圆心，OP为半径画弧交EG于点£＞；

（3）以点。为圆心，P0长为半径画弧交（2）步中所画弧于点尸；

（4）作射线EF,NoEF即为所求作的角.

故答案为D.

【变式1-3］（2020.山东青岛期中）如图，48是某条河上的一座桥，现要在河的下游点C处再建一座与AB

平行的桥CQ,请用直尺和圆规画出CQ的方向.

B

【答案】见解析

【解析】解：如图，线段C。即为所求.

【变式1-4］（2020.广州月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出/A'O'B'=/AOB的依

据是（）

A.5.5.5B.S.A.SC.A.S.AD.A.A.S

【答案】A

【解析】解：由作图知OC=O'C',0D=0'D',CD=CD',

.∖∕∖OCD^∕∖O'C'D',

：.ZA'O'B'=ZAOB,判断依据为SSS,

故答案为：A.

【例2-1】（2020•曲阜月考）如图，在AABC中，ZC=90o,按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为

半径作圆弧，分别交边AC、AB于点”、M②分别以点M和点N为圆心、大于;MN的长为半径作圆弧，

在NBAC内，两弧交于点P：③作射线AP交边BC于点。，若CO=4,Aβ=15,则AABD的面积是（)

D

AXB

A.15B.30C.45D.60

【答案】B

【解析】解：过。作3EL4B于E,AP平分/CAB.

YAP平分Nc48,ZC=90o,DElAB,

：.DE=DC=4,

：.AABD的面积=-XABXQE=30

2

故答案为民

【例2-2］（2020.广东广州月考）如图，Z∖A8C中，NC=90°,AC=BC.

（1）用直尺和圆规作NBAC的平分线交BC于点。（保留作图痕迹）

（2）过点。画aABQ的边AB上的高。E,交线段AB于点E,若42OE的周长是5C",求AB的长.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）如图，4。即为所作;

(2)YAO平分NBAC,ZC=90o,DEVAB,

：.CD=DEf

AZ)=AD

在RtZXACD和RiLAED中，4,

CD=DE

.∖Rt^ACD^RtΛAED(HL)t

.∖AE=AC,

*：AC=BC9

LBC=AE,

∙/∕∖BDE^J^^z=BE+BD^DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB,

.∖AB=5cm.

【变式2-1]（2020•山东博山二模）已知NAO3=60。，以。为圆心，以任意长为半径作弧，交OA,OB于

点M,N,分别以点M,N为圆心，以大于gMN的长度为半径作弧，两弧在NAo3内交于点P,以。P为

边作NPoC=I5。，则/8。C的度数为（）

4.15°B.45oC.15°或30°D.15°或45°

【答案】D

【解析】解：（1）以。为圆心，以任意长为半径作弧，交OA,08尸点M,N,分别以点M,N为圆心，

以大于LMN的长度为半径作弧，两弧在NAOB内交于点尸，则。尸为NAOB的平分线，

2

.*.NAoP=NAoB=30。

（2）两弧在/A08内交于点P,以。尸为边作NPoC=I5。，则NBOC=15。或45。，

故答案为：。.

【变式2-2]（2020•广东）如图,在锐角AABC中，AB=2cm,AC=3cm.

（1）尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交4C,BC于点D、E（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，连结BD,求AABO的周长.

B1------------------------

【答案】见解析.

【解析】解：（1）如图，OE为所作;

(2)∙.∙DE垂直平分3C,

：.DB=DC,

：./XABD的周长=48+8O+AZ>48+CO+AZ>A8+AC=2+3=5(cm).

【变式2-3］（2020•山东省陵城区月考）如图，在AABC中，ZC=90o,ZB=20o,以A为圆心，任意长为半

径画弧分别交AB、AC于点M和M再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P,连

接AP并延长交BC于点D,则ZADB=.

【答案】125°

【解析】解：由题意可得：A。平分NC48,

VZC=90o,/8=20°,

：.ZCAB=IOo,

：.ZCAD=ZBAD=35°,

：.ZADB=180o-20°-35o=125o.

故答案为ɪ25°.

【变式2-4］（2020.长春月考）如图，依据尺规作图的痕迹，计算Na=（）

D.34°

【答案】A

【解析】解：如图所示，AE平分NDAC,EF±AC,

ND4C=68。，

：AE平分NDAC,

ZDAE=ZEAC=MO,

,JEFVAC,

.∙.NAEF=Za=90°-34°=56°.

故答案为A.

【例3】（2020∙禹城市期末）如图，等边AbC1中，。为BC边中点，CP是BC的延长线.按下列要求作

图并回答问题：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（1）作NACP的平分线C尸；

（2）作NADE=60°,且QE交CT于点E；

（3）在（1）,（2）的条件下，可判断Ao与。石的数量关系是；请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解:

（1）（2）尺规作图，如下图；

Y等边448C中，D为BC边中点,

ZBD=CD,ZADB=ZADC=90o,

∙/NB=NAo£=60。，

・・・NBAD=∕EDC=30°,

VZΛCP=120o,CE为NACp的平分线,

・・・NACE=NECP=60。,

JNDEC=30。,

・・・CE=CD=BD,

：.ΔABD^ΔACE,

：.AE=ADf

o

又VZADE=GO9

,△AOE是等边三角形，

：.AD=DE.

【变式3・1】（2020•福建学业考试）如图，ΔABC为一钝角三角形，且NB4。＞90。

A

(I)分别以AB，AC为底向外作等腰用ΔDA8和等腰RtVEAC(要求：尺规作图，不写作法，保留作

图痕迹)

(2)已知P为BC上一动点，通过尺规作图的方式找出一点尸，连接Pr),PE，使得PD_LPE并证明.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)如图所示;

(2)如图所示，作线段BC的垂直平分线交8C于点尸，则P点为所求.

证明：延长。P使PF=Pr),连接FC,EF

∙.∙P为BC中点，

：.PB=PC

乂•：PD=PF,NDPB=NCPF

：ABDP安4CFP

：.AD=BD=CFfZPBD=ZPCF

.∖BD∕∕CF

∖'AE=CE

延长。G,FC交于点G

∙/BD//CF

：.∕FGD=90°

又NAEC=90。

：,ZEΛG=ZECG

：,ZDAE=ZECF

XAE=CE9AD=CF

・・・∕∖AED^∕∖CEF

：.EF=ED

♦:P为DF中点、

：.DP工PD

【变式3-2］（2020•南京师范大学附属中学月考）如图，在∙ABC中，ZC=90o,ZB=30o,以A为圆

心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以V、N为圆心，大于MN的长为半径

画弧,两弧交于点尸，射线A尸交BC于点0,则下列说法中：①AD是NiMC的平分线;②NAQC=60。；

③点。在AB的垂直平分线上；④SDAC：S.c=l：3.其中正确的个数是（）

A.1B.2C3D,4

【答案】D

【解析】解：①连接NP,PM,

A

DB

易证△ANP咨LAMP

则/。£>=/84。，

故Ao是48AC的平分线，故①正确；

②∙.∙NC=90°,/8=30°

ΛZCAB=60o

；A力是NBAC的平分线

NBAD=/CAD=30°

ΛZADC=ZBAD+ZB=60o,故②正确；

@VNBA。=/CA0=3O°

1/BAD=NB

：.AD=BD,即。在AB的垂直平分线上，故③正确；

④：在@Z∖ACD中，ZCAD=30o

：.AD=ICD

：.BC=BD+CD=∖.5AD,SMAC=-ACCI>-ACAD

24

1133

.∙.SΛBC=-ACBC=-AC-AD=-ACAD

Λ2224

∙'∙S∆DAC:SAABC=1：3,故④正确

故答案为：D.

【例4-1]（2020・长沙月考）在^ABC中，∕A=50。，点O为4ABC内一点，过点O分别作AC,AB的垂线，

垂足分别为M，M点尸为4W上一动点，点。为AN上一动点，连接。P,OQ,PQ,当ZkOPQ的周长最

【答案】80°

【解析】解：作点。关于AC的对称点。'，作点。关于AB的对称点O“，连结。，。”,

易知当O',P,Q,O''四点共线时，△。尸。周长最小，最小值为O'O''的长

此时，/4=90°-ɪAPOQ

2

ΛZW180o-2Z½=80o；

故答案为：80°.

【例4-2］（2020•重庆期末）如图，在RfABC中，NC=90°,NA=30。，AB=6,BD是，4SC的

角平分线，点尸，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BΛ∕=1,则PM+PN的最小

2

【解析】解：作点M关于8。的对称点ΛΓ,连接PΛΓ,则PΛ∕=PΛΓ,8Λ∕=8ΛΓ=1,

易知，当N,P,M'共线时，且MWJ_4C时，PN+PM'的最小值为线段Mw的长

.15

由ZA=30o,知λM'N=—AM,--,

22

故答案为:

2

【变式4-1］（2020•江苏无锡二模）如图，一面镜子斜固定在地面OB上，且NAOB=60°点P为距离地面

OB为8cm的一个光源，光线射出经过镜面。处反射到地面E点，当光线经过的路径长最短为IOa〃时,

PD的长为___________

【答案】4

【解析】解：作点尸关于Ao的对称点当户ELOB时，光线经过的路径长最短,

二PE=IO,

过P作尸尸"LP'£＞于尸，

贝IJP'F=I,又NAoB=60°

ΛZODE=30°,

NP'D4=/PD4=3()°,NP"=60°,PD=P'D

二△尸P'。为等边三角形，

.'.P,F=DF=2,PD=P,D=4

【变式4-2](2020•宜兴市月考)如图，P为NAoB内一定点，M,N分别是射线OAOB上的点，当PMN

周长最小时，ZMPN=SOo,则NAQB=.

【答案】50°

【解析】解：作P关于。4,08的对称点Pl、P2,连接OP∣,0P1,PiP2.则当何，N,8、E共线时，△

PMN的周长最小.

易知，∕AOB=90°--ZMPN=50a.

2

故答案为：50。.

【习题专练】

1.（2020,南京月考）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站

可建的地点有个.

如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，所以由三条两两相交的公路，要建一个加

油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个.

故答案为4.

2.（2020江阴市月考）在正方形网格中，ΔABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在ZXABC内部有E、

F、G、〃四个格点，到ZXABC三个顶点距离相等的点是（）

A.点、EB.点FC.点GD.点H

【答案】B

【解析】解：到AABC三个顶点距离相等，

.∙.该点是三角形三边垂直平分线的交点，

根据网格作AC、BC的垂直平分线，可得交点为F,

故答案为：B.

3.（2020•洛阳市二模）如图，在&ABC中，AB=4,AC=9,BC=11,分别以点A,B为圆心，大于LAB

2

的长为半径画弧，两弧相交于点O,E,作直线。E,交BC于点M；分别以点A,C为圆心，大于C的

2

长为半径画弧，两弧相交于点P、Q,作直线PQ,交BC于点M连接AM.AN.贝hMAN的周长为（）

A.9B.10C.11D.13

【答案】C

【解析】解：由作图可知，DE垂直平分线段A8,P。垂直平分线段AC,

.,.MA=MB,NA=NC,

/.4AMN的周长=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC=11.

故答案为：C.

4.（2020•河南一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AO=8,/34）=120°,分别以点A，B

为圆心，以大于LAB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q,作直线PQ,交AB于点E,交BC于点尸，

2

则CF的长为.

【答案】2.

【解析】解：由题意可得，ABlOP,AE=BE=3

'JBC=AD=S,NB=60°

：.NBFE=30°,NaEF=90°

.∙.BF=2BE=6

二CF=8-6=2

故答案为：2.

5.（202。宜兴市月考）如图，在AABC中，AB>AC.按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于

8C一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点M作直线MN交AB于点Q；连结CQ.若AB=6,AC=4,

则4ACD的周长为.

【解析】解：易知直线MN是线段8C的垂直平分线,

：.BD=CD,

：.BD+AD=CD+AD=AB,

VAB=6,AC=A,

.♦.△AOC的周长=(CD+AD)+AC=AB+AC=6+4=IO.

故答案为10.

6.（2020•商城县第二中学月考）如图，己知NAOB

（1）尺规作图：作出NAoB的角平分线OP,补充完整作图步骤，（保留作图痕迹）

①分别交04、08于F,E两点；

②，两条圆弧交于点尸；

③即为所求.

（2）过点/作B交OP于点。，FMLOD,垂足为求证：XFMgXFMD.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）如下图所示：

①以。点为圆心，任意长为半径作圆弧分别交0A、OB于F,E两点：

②分别以E、尸为圆心，大于二分之一E尸长为半径作两段圆弧两条圆弧交于点P；

③作射线0P,则射线OP即为所求.

故答案为：以。点为圆心，任意长为半径作圆弧；分别以E、F为圆心，大于二分之一EF长为半径作两段

圆弧；作射线0P,则射线0尸；

（2）根据题意，作出如下图所示：

由（1）知，OP是NAoB的角平分线,

ΛZ2=Z3,

又FD〃OB,

.∙.N1=∕3,

ΛZ1=Z2,

∖∕∖FMO@AFMD.

7.（2019•广东阳山期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

如图，王师傅开车在一条公路上经过点B和点C处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向AB相

同.已知第一次的拐角为NABC,请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角NBCD

【答案】见解析.

【解析】解：由题意得：AB//CD,

：.ZBCD=ZABC

则NBC。即为所求作.

8.（2020.陕西清涧期末）如图，直线AB与BC相交于点8,。是直线BC上一点，请用尺规求作一点E，

使直线且点E到3,。两点的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【解析】解：如图，点E即为所求.

9.（2020.北京月考）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线''的尺规作图过程:

己知：如图，直线/和直线/外一点A

求作：直线AP,使得AP〃/

作法：如图

①在直线/上任取一点B（AB与/不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线/交于点C.

②连接AC,AB,延长84到点。；

③作ZD4C的平分线AP.

所以直线AP就是所求作的直线

根据小星同学设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明

证明：∙.∙AB=AC,

ΛZABC-NACB（填推理的依据）

∙.∙∕D4C是A48C的外角,

ΛZDAC=ZABC+ZACB（填推理的依据）

.,.ZDAC=2ZABC

YAP平分NDAC,

：.ADAC=2ADAP

：.ZDAP=ZABC

：.AP//l（填推理的依据）

【答案】见解析.

【解析】解：（1）如图所示，直线AP即为所求.

A-

（2）证明：∖'AB^AC,

：.AABC^ZACB（等边对等角），

：/£>47是4ABC的外角，

ΛZDAC=ΛABC+ZACB（三角形外角性质），

ZDAC^2ZABC,

「AP平分ND4C,

.∙.ZDAC=2ZDAP,

：.NDAP=ZABC,

.∙.A尸〃/（同位角相等，两直线平行），

故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）.

10∙（2020∙辽宁昌图期末）已知三角形的两角及夹边，求作这个三角形（保留痕迹，不写作法）

已知：Λa,Λβ,线段c,求作ΔABC,使NA=Na,NB=N/?,AB=c

【答案】见解析.

【解析】解：AABC为所求作

11.（2020•北京期末）尺规作图之旅

卜面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造

出许多带有美感的图形.

尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题.

（作图原理）在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔

细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画Y,不能实现的画X.

（1）过一点作一条直线.（）

（2）过两点作一条直线.（）

（3）画一条长为3cm的线段.（）

（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆.（）

（回顾思考）还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段“，接着，我们

学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后

都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程.

已知：NAOB.

求作：ZA'O'B'使NA'0'B'=ZAOB

作法：(1)如图，以。为圆心，任意长为半径画弧，分别交0A,OB于点C,D-,

(2)画一条射线0'4,以点。'为圆心，OC长为半径画弧，交0'A于点C';

(3)以点C'为圆心，；

(4)过点OC画射线O'B',则ZAOB'=ZAOB.

说理：由作法得已知：OC=O'C',OD=O'D',CD=CD'

求证：ZAO'B'ZAOB

OC=0'C'

证明：＜OD=O1D'

CDCD'

.∙.ΔOCD≤∆σC,D,()

所以NA'Oz3'=NAQ8()

(小试牛刀)请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线.

已知：直线/与直线外一点4

求作：过点A的直线使得////'.

(创新应用)现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图.假设你拥

有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案.要求保留作图痕迹，并写出你的

设计意图.

【答案】见解析.

【解析】解：［作图原理］：(I)过一点作一条直线.可以求作;

(2)过两点作一条直线.可以求作；

(3)画一条长为3cw的线段.不可以求作；

(4)以一点为圆心，给定线段长为半径作圆.可以求作;

故答案为：√,√,X,√;

［回顾思考］：作法：(1)如图，以。为圆心，任意长为半径画弧，分别交。4,08于点C,D；

(2)画一条射线04,以点O为圆心，OC长为半径画弧，交0'A'于点C'；

(3)以点C为圆心，以C为圆心，Co长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点。；

(4)过点。画射线。的,则NA'0'B'=N402.

说理：由作法得已知：OC=。，。，OD=O1D',CD=CD',

求证：ZA'O'β'^ZAOB.

OC=O'C

证明：在4OCD和^OCTX中，｛OD=O'D',

CD=CD'

：.AOCD"A0'CD'(SSS),

：.ZA'O'B'ZAOB(全等三角形的对应角相等)，

故答案为：以C为圆心，Co长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点。，SSS,全等三角形的对应角相等;

［小试牛刀］:如图，直线/'即为所求（方法不唯一）,

12.（2020•山东安丘月考）如图所示，在平面直角坐标系Xoy中，ABC1的顶点坐标分别是A（-2,3）,

B（m-l,l）,C（I,一2）,点B关于X轴的对称点尸的坐标为（一3,〃一2）.

（1）求加，«的值；

（2）画出「ABC,并求出它的面积；

（3）画出与,∙,43C关于y轴成轴对称的图形AA4G,并写出回G各个顶点的坐标.

（4）在＞轴上找一点Q,使QA+Q5最小（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析.

【解析】解：（1）B、?两点关于X轴对称