线性代数（财经类） 课件 第二章 矩阵

第二章矩阵2.4分块矩阵、2.5逆矩阵2.1矩阵的概念2.2矩阵的运算2.3几种特殊的矩阵目录2.6矩阵的初等变换2.7矩阵的秩2.1矩阵的概念请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。请替换文字内容，修改文字内容，也可以直接复制你的内容到此。矩阵概念的引入矩阵实质上就是一张长方形数表.矩阵是一种常见的数学现象,如学校里的课表、成绩单；车站里的时刻表、价目表；股市中的证券价目表等等.

矩阵不仅能把繁乱的事物按一定的规则清晰地展现出来,而且能恰当地刻画事物之间的内在联系.矩阵的概念例.某企业一年中向甲、乙、丙三个商场派送四种产品的数量记录如下：

ABCD甲a11a12a13a14乙a21a22a23a24丙a31a32a33a34其中为向第i个商场送第j种产品的数量.矩阵的概念这四种产品在每个季度的单价记录如下：其中为第i种产品在第j个季度的单价.

第一季度第二季度第三季度第四季度Ap11p12p13p14Bp21p22p23p24Cp31p32p33p34Dp41p42p43p44矩阵的定义类似的数表在日常生活中经常可以见到，为了更加深入地应用，在数学上对它进行了抽象，得到了下面的矩阵概念.定义1对任意的正整数m,n,由个实数(或复数)排成m行n列的数表称为m行n列实(或复)矩阵(Matrix)，简称矩阵.为表示它是一个整体，通常加一个括号，并用大写黑斜体字母表示，记作矩阵的定义其中个数称为矩阵A的元素，简称元，数表示矩阵A的第i行第j列位置上的元素，称为矩阵A的元.以数为

元的矩阵可简记为或.矩阵A也记作

矩阵的定义

若两个矩阵的行数和列数分别相等，则称它们是同型矩阵.

所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O.需要注意的是，不同型的零矩阵是不同的零矩阵.例如所有元素均为非负数的矩阵，称为非负矩阵.矩阵的定义定义2如果，是同型矩阵，并且它们对应位置上的元素相等，即

则称矩阵A与矩阵B相等，记作矩阵的定义

矩阵有着非常广泛的应用，下面举几个例子.【例2】博弈论甲、乙二人做石头、剪子和布的游戏，各种情况下甲的结果可以用如下矩阵表示：其中左边表示甲的策略，上边表示乙的策略，0表示平局，“1”表示赢得该局，“-1”表示输掉该局.矩阵的定义【例3】我们知道某只股票每天的价格可能上涨，也可能下跌，也可能不变.我们做如下理想化的假设：如果某天该股票的价格上涨了，那么第二天继续上涨、下跌、不变的概率分别为40%、59%、1%；如果某天该股票的价格下跌了，那么第二天上涨、下跌、不变的概率分别为80%、19%、1%；如果某天该股票的价格不变了，那么第二天上涨、下跌、不变的概率分别为50%、49%、1%.我们可以用如下矩阵表示这个假设：其中左边表示第一天的情况，上边表示第二天的情况.矩阵的定义

，则点P和P1的坐标之间有如下关系：【例4】平面上的线性变换.在平面直角坐标系中xOy，设P点的坐标为

若将向量OP逆时针旋转，得到新的向量，如图2-1所示，

设

点的坐标为

我们可以看到这种旋转变换

与矩阵

对应.矩阵的概念

一般线性变换与它的系数构成的矩阵(即(1)式)相对应.

总结矩阵的概念2.2矩阵的运算矩阵的运算01020304矩阵的加法矩阵的数乘矩阵的乘法矩阵的转置n阶矩阵一矩阵的加法定义3(矩阵的加法)两个m行n列矩阵A

(aij)

B

(bij)对应位置元素相加得到的m行n列矩阵

称为矩阵A与矩阵B的和

记为A

B

即：一矩阵的加法说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.【例5】有某种物资(单位：吨)从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B:则从各产地运往各销地两次的物资调运量(单位：吨)共为一矩阵的加法一矩阵的加法矩阵加法的运算规律二矩阵的数乘定义4

以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵

称为数k与矩阵A的积

记作kA

如果A

(aij)m

n

那么二矩阵的数乘例7设3个产地与4个销地之间的里程(单位：公里)为矩阵A：已知货物每吨公里的运费为1.5元，则各地与各销地之间每吨货物的运费(单位：元/吨)可以记为矩阵：二矩阵的数乘数乘矩阵的运算规律（设

为

矩阵，

为数）矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.二矩阵的数乘【例6】已知求解：二矩阵的数乘且，求X【例8】已知：解：三矩阵的乘法

例9有4个工厂生产3种产品

aik(i

1

2

3

4

k

1

2

3)是第i个工厂生产第k种产品的数量

bk1及bk2(k

1

2

3)分别是第k种产品的单位价格及单位利润

ci1及ci2(i

1

2

3

4)分别是第i个工厂生产3种产品的总收入及总利润

则矩阵单位价格单位利润总收入总利润三矩阵的乘法矩阵A,B,C的元素之间有下列关系说明

矩阵C中第i行第j列的元素等于矩阵A第i行元素与矩阵B第j列对应元素乘积的和

三矩阵的乘法例10设有两个线性变换（3）（4）若想求出从到的线性变换，可将(4)式代入(3)式，得称线性变换(5)式为线性变换(3)式与(4)式的乘积，相应地把(5)式所对应的矩阵定义为(3)式与(4)式所对应的矩阵的乘积，即（5）三矩阵的乘法一般地，我们定义矩阵与矩阵的乘积如下.定义5设是一个矩阵，是一个矩阵（的列数与行数相同），那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中矩阵C称为矩阵A与矩阵B的积

记为C

A

B或AB三矩阵的乘法即三矩阵的乘法注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在三矩阵的乘法例11设，则三矩阵的乘法例12设，求，解：三矩阵的乘法

显然AB

BA

三矩阵的乘法例13设，，求AB解：

BA没有意义

因为B的列数不等于A的行数

BA不可进行

三矩阵的乘法例14设，，求AB及BA.解：显然

AB

BA

由上述例题看出

AB有意义时

BA并不一定有意义

即使AB

BA都有意义

AB与BA也不一定相等因此矩阵的乘法一般不满足交换律

两个非零矩阵相乘

结果可能是零矩阵

从而不能从AB

O必然推出A

O或B

O

三矩阵的乘法例15设，

，求AB与BA.解：显然

AB

BA

如果两矩阵A与B相乘

有AB

BA

则称矩阵A与矩阵B可交换

三矩阵的乘法例16，，，那么有

即

AC

BC

但A

B

可以看出

矩阵乘法也不满足消去律

既然矩阵乘法不满足交换律

因此矩阵相乘时必须注意顺序

AX称为用X右乘A

XA称为用X左乘A

三矩阵的乘法

一般矩阵用大写黑体字母A

B

X

Y

表示

但一行n列或n行一列的矩阵

为了与后面章节的符号一致

有时也用小写黑体字母a

b

x

y

表示

而且对一行n列的矩阵采用圆括号

为了不产生混淆

需要时其元素间可加“

”隔开

三矩阵的乘法例17在线性方程组

中，若令则方程组可以表示为矩阵形式Ax

b

三矩阵的乘法例18解矩阵方程，X为二阶矩阵.

解：设，由题设，有即有解得三矩阵的乘法矩阵的乘法虽不满足交换律和消去律，但仍满足结合律和分配律(假设运算都是可行的)：（其中

为数）;四矩阵的转置定义6将m

n矩阵A的行与列互换

得到的n

m矩阵

称为矩阵A的转置矩阵

记为AT或A

即如果则四矩阵的转置例如例如设，，则四矩阵的转置转置矩阵的运算性质四矩阵的转置例20已知求解法1：四矩阵的转置解法2：五

n阶矩阵（方阵）

1.n阶矩阵（方阵）

矩阵Am

n由m

n个数aij(i

1

2

m

j

1

2

n)按一定次序排列成的一个m行n列的矩形表

称为一个m行n列的矩阵

记作如果矩阵A的行数与列数都等于n

则称A

(aij)为n阶矩阵(或称n阶方阵)

一阶矩阵(a)就是数a

即(a)

a

四矩阵的转置例如五

n阶矩阵（方阵）都是n阶矩阵四矩阵的转置2.方阵的幂对于方阵A及自然数k

Ak

A

A

A(k个A相乘)称为方阵A的k次幂

五

n阶矩阵（方阵）方阵的幂的性质

设A是方阵

k1

k2是自然数

则有

设B是方阵，k是自然数，一般地，.四矩阵的转置五

n阶矩阵（方阵）例如那么有可见四矩阵的转置3.方阵的行列式n阶矩阵(方阵)A的所有元素

按原来次序构成的n阶行列式

称为矩阵A的行列式

记作|A|(或detA)

五

n阶矩阵（方阵）例如则四矩阵的转置方阵的行列式的性质五n阶矩阵（方阵）设A

B为n阶矩阵

则

(1)|AT|

|A|(2)|kA|

kn|A|(3)|AB|

|A|

|B|(4)|AB|

|BA|由性质(3)

有|A1A2···Ak|

|A1|

|A2|···|Ak|

|AB|

|A|

|B|

|B|

|A|

|BA|四矩阵的转置例22设A为三阶矩阵

若已知|A|

2

求||A|

A2AT|

五

n阶矩阵（方阵）

(

2)6

64

|A|3

|A2|

|AT|

||A|

A2AT|

|A|3

|A2AT|

|A|3

|A|

|A|

|A|

|A|6

解：

四矩阵的转置总结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵n阶矩阵（方阵）四矩阵的转置注意总结）（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.2.3几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵01020304对角矩阵数量矩阵单位矩阵三角矩阵对称矩阵一.对角矩阵如果n阶矩阵A

(aij)中的元素满足条件

aij

0

i

j(i,j

1,2,

,n)则称A为n阶对角矩阵

即一.对角矩阵对角矩阵的性质

如果A

B为同阶对角矩阵

则kA

A

B

AB仍为同阶对角矩阵

显然

如果A是对角矩阵

则AT

A

二.数量矩阵如果n阶对角矩阵A中的元素a11

a22

ann

a

则称A为n阶数量矩阵

即数量矩阵的性质

以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B

其乘积等于以数a乘矩阵B

三.单位矩阵

如果n阶数量矩阵A中元素a

1

则称A为n阶单位矩阵

记作In(或En)

有时简记为I(或E)

即

单位矩阵的性质

ImAm

n

Am

n

Am

nIn

Am

n

对于n阶矩阵A

规定A0

I

单位矩阵I在矩阵乘法中与数1在数的乘法中的性质类似

四.三角形矩阵上三角矩阵

如果n阶矩阵A

(aij)中元素满足条件

aij

0

i

j(i,j

1,2,

,n)则称A为n阶上三角矩阵

即一.对角矩阵下三角矩阵

如果n阶矩阵B

(bij)中元素满足条件

bij

0

i

j(i,j

1,2,

,n)则称B为n阶下三角矩阵

即三角形矩阵的性质

若A

B为同阶同结构三角形矩阵

容易验证kA

A

B

AB仍为同阶同结构三角形矩阵

五.对称矩阵设

为

阶方阵，如果满足，即那么

称为对称矩阵.对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对称相等.

如果满足

，则称A为反对称矩阵例如五.对称矩阵对称矩阵的性质

数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵

但对称矩阵乘积未必对称

对任意矩阵A

ATA和AAT都是对称矩阵

例如及都是对称矩阵，但不是对称矩阵五.对称矩阵例23设列矩阵

满足

证明总结几种特殊矩阵对角矩阵数量矩阵单位矩阵三角矩阵对称矩阵作业2.4分块矩阵分块矩阵010203矩阵的分块分块矩阵的运算法则总结矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.矩阵的分块例如，矩阵，可以按如下分块写成分块矩阵的形式即为其中给定一个矩阵

可以根据需要把它写成不同的分块矩阵分块矩阵的运算设矩阵A与B是同型矩阵，采用相同的分块法，有其中的子块与是同型矩阵.容易证明：分块矩阵的运算注意：分块矩阵在转置时，每个子块也要转置.分块矩阵的运算例24设矩阵用分块矩阵计算

及解：将矩阵分块如下分块矩阵的运算则有然后分别计算，带入上面三式，得分块矩阵的运算设A为矩阵，B为矩阵，将A,B进行如下分块：其中的列数分别等于的行数，那么其中分块矩阵的运算例25设

求AB.

解：将A,B进行分块则有分块矩阵的运算而于是分块矩阵的运算设A为n阶方阵，若A的分块矩阵中只有对角线上有非零子块，其余子块都是零矩阵，且对角线上的子块都是方阵，即其中都是方阵，则称A是分块对角矩阵.分块对角矩阵的行列式具有下述性质:分块矩阵的运算例26设

求解：记，则于是分块矩阵的运算因为于是总结

在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法.分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似(1)加法同型矩阵，采用相同得分块法(2)数乘(3)乘法总结(4)转置(5)分块对角阵的行列式作业2.5逆矩阵逆矩阵01020304逆矩阵概念逆矩阵性质分块逆矩阵总结逆矩阵的概念在数的运算中，当数

时，有其中

为

的倒数

（或称

的逆）；

在矩阵的运算中，单位阵

相当于数的乘法运算中的1，那么对于矩阵A

是否也存在一个矩阵

使得A（）=（）A=I

这是我们要讨论的逆矩阵中的一个问题

逆矩阵的概念及性质逆矩阵的概念及性质定义8

对于n阶矩阵A

如果存在n阶矩阵B

使得

AB

BA

II是n阶单位矩阵

那么矩阵A称为可逆矩阵

简称A可逆

并称B为A的逆矩阵

定理1（逆阵的唯一性）如果A可逆

则A的逆矩阵是唯一的，记作A

1

证明：

因为如果B和B1都是A的逆矩阵

则有

AB

BA

I

AB1

B1A

I于是

B

BI

B(AB1)

(BA)B1

IB1

B1即

B

B1逆矩阵的性质例如，矩阵，存在矩阵，使得所以矩阵A可逆，且

单位矩阵的逆矩阵是其本身

逆矩阵的概念及性质逆矩阵的性质逆矩阵的概念及性质补例设解设是的逆矩阵,则利用待定系数法逆矩阵的性质逆矩阵的概念及性质又因为所以逆矩阵的性质定理2

如果A可逆

则

证：A可逆，则有，使，故所以，且注：当时，称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵.例如为非奇异矩阵，为奇异矩阵.逆矩阵的概念及性质矩阵的运算定义9(伴随矩阵)

由行列式|A|

|aij|的元素aij的代数余子式Aij(i

j

1

2

n)所构成的矩阵逆矩阵的概念及性质称为矩阵A的伴随矩阵

矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例27求矩阵的伴随矩阵.矩阵的运算逆矩阵的概念及性质定理3

矩阵

可逆的充要条件是

，且

证明若

可逆，矩阵的运算逆矩阵的概念及性质矩阵的运算按逆矩阵的定义得非奇异矩阵与可逆的关系逆矩阵的概念及性质矩阵的运算例28判断矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵解：因为，所以可逆，由例27有逆矩阵的概念及性质矩阵的运算例29如果，其中

证明逆矩阵的概念及性质矩阵的运算证明：所以逆矩阵的概念及性质矩阵的运算推论1若A是n阶矩阵

且存在n阶矩阵B

使AB

I或BA

I

则A可逆

且B为A的逆矩阵

因为

设有AB

I

则

|AB|

|A|

|B|

|I|

1故|A|

0

于是A可逆

设其逆矩阵为A

1

则有

B

IB

A

1I

A

1

A

1(AB)

(A

1A)B

若有BA

I

同理可得B

A

1

如果我们要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵

只要验证一个等式AB

I或BA

I即可

不必按定义验证两个等式

逆矩阵的概念及性质矩阵的运算例30设n阶矩阵A满足aA2

bA

cI

O(a

b

c为常数

且c

0)

证明A为可逆矩阵

并求A

1

解

由aA2

bA

cI

O

有

aA2

bA

cI

又因c

0

故有

逆矩阵的概念及性质矩阵的运算逆矩阵的性质

(1)若矩阵A可逆

则A

1也可逆

且(A

1)

1

A

逆矩阵的概念及性质

由可逆矩阵的定义

显然可见A与A

1是互逆的

(2)若矩阵A可逆，数

则kA也可逆，且

，因为(3)两个同阶可逆矩阵

A,B的乘积是可逆矩阵，且因为矩阵的运算(4)若矩阵A可逆，则A的转置矩阵

也可逆，且(5)若矩阵A可逆，则因为，则有，所以逆矩阵的概念及性质矩阵的运算例32证明：如果n阶矩阵A可逆，则其伴随矩阵

也可逆，且，

证：由A可逆

有|A|

0

且若A可逆，则有逆矩阵的概念及性质矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例33若是同阶矩阵，且A可逆，证明下列结论中(1)，(3)成立，举例说明(2)，(4)不必然成立.（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则

解

(1)若AB

AC

在等式两边左乘以A

1

则有

A

1AB

A

1AC因A

1A

I

于是

IB

IC即B

C矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例33若是同阶矩阵，且A可逆，证明下列结论中(1)，(3)成立，举例说明(2)，(4)不必然成立.（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则

解

显然有AB

CB

但A

C

矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例33若是同阶矩阵，且A可逆，证明下列结论中(1)，(3)成立，举例说明(2)，(4)不必然成立.（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则

解

(3)若AB

O

在等式两边左乘以A

1

有

A

1AB

A

1O即IB

O于是有B

O矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例33若是同阶矩阵，且A可逆，证明下列结论中(1)，(3)成立，举例说明(2)，(4)不必然成立.（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则

解

显然有BC

O

但B

O

矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例34解线性方程组解令则方程组为因为，所以A可逆，且所以矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例35设矩阵，，，求解：而故矩阵的运算逆矩阵的概念及性质一般地，如果，则，从而矩阵多项式其中若

，则矩阵的运算逆矩阵的概念及性质分块矩阵的逆矩阵若分块对角矩阵其中均可逆，则由逆矩阵的推论1得分块矩阵的逆矩阵例37设，求

解则所以分块矩阵的逆矩阵例38设n阶方阵A与m阶方阵B均可逆，求解令则于是总结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵

存在矩阵的运算逆矩阵的性质

(1)若矩阵A可逆

则A

1也可逆

且(A

1)

1

A

总结(2)若矩阵A可逆，数

则kA也可逆，且

.(3)两个同阶可逆矩阵A,B的乘积是可逆矩阵，且(4)若矩阵A可逆，则A的转置矩阵

也可逆，且(5)若矩阵A可逆，则作业2.6矩阵的初等变换矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是矩阵的十分重要的运算

它在解线性方程组、求逆矩阵以及矩阵理论的研究中起着重要作用

这一节主要介绍矩阵的初等变换以及用初等变换求逆矩阵的方法.矩阵的初等变换定义10下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．矩阵的初等变换矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．定义11(初等矩阵)

对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵

称为初等矩阵

(1)对I施以第(1)种初等变换得到的矩阵

矩阵的初等变换

(2)对I施以第(2)种初等变换得到的矩阵

(3)对I施以第(3)种初等变换得到的矩阵

矩阵的初等变换定理4(初等矩阵的作用)

设Am

n

(aij)m

n

(1)对A的行施以一次某种初等变换得到的矩阵

等于用同种的m阶初等矩阵左乘A

(2)对A的列施以一次某种初等变换得到的矩阵

等于用同种的n阶初等矩阵右乘A

矩阵的初等变换

初等矩阵都是可逆的

且它们的逆矩阵仍是初等矩阵

矩阵的初等变换等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．矩阵的初等变换定理5

任意一个矩阵Am

n

(aij)m

n经过若干次初等变换

可以化为下面形式的矩阵D

矩阵D称为矩阵A的等价标准形

推论2如果A为n阶可逆矩阵

则D

In

矩阵的初等变换例39求矩阵

的等价标准型矩阵的初等变换例40求矩阵的等价标准型矩阵的初等变换定理6(矩阵可逆的充要条件)

n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积

求逆矩阵的方法：

如果A可逆,在A-1也可逆,由定理6,存在初等矩阵,使那么有即矩阵的初等变换求逆矩阵的初等行变换法

作一个n

2n的分块矩阵(A¦I)

然后对此矩阵施以仅限于行的初等变换

使子块A化为I

同时子块

I即化成A

1了

即

(1)式表示对A施以若干次初等行变换化为I,(2)式表示对I施以同样的初等行变换化为A-1.于是可以得出如下求逆矩阵的方法：矩阵的初等变换例41求矩阵的逆矩阵.解矩阵的初等变换

如果不知道矩阵A是否可逆

也可以用初等变换求逆矩阵的方法去判断

在分块矩阵(A¦I)中子块A处有一行的元素全为零

即子块A处化不成I

则A不可逆

例如子块A不能经初等变换化为I

所以A不可逆

矩阵的初等变换求逆矩阵的初等列变换法

作一个2n

n的分块矩阵

然后对此矩阵施以仅限于列的初等变换

使子块A化为I

同时子块I即化成A

1

即初等列变换矩阵的初等变换例42已知矩阵与同阶矩阵X满足，求X.解：由有所以可逆.于是可得下面求矩阵的初等变换所以总结1.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是:作业2.7矩阵的秩矩阵的秩010203矩阵秩的概念矩阵秩的求法总结矩阵秩的概念定义12(k阶子式)

设A

(aij)是m

n矩阵

从A中任取k行k列(k

min(m,n))

位于这些行和列的相交处的元素

保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式

称为矩阵A的一个k阶子式

例如，设，矩阵A的第一、三行与第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为矩阵秩的概念定义13(矩阵的秩)

设A为m

n矩阵

如果A中不为零的子式最高阶数为r

即存在r阶子式不为零

而任何r

1阶子式皆为零

则称r为矩阵A的秩

记作R(A)

r，并规定零矩阵的秩为零

例如，，A中有二阶子式

，但它的任何三阶子