2023年高考数学一模试题汇编全国通用04 平面向量（解析版）

专题04平面向量

选择题

1.(2023•湖南•模)在平行四边形/88中，E是对角线/C上靠近点C的三等分点，点F在8E上，若

AF=xAB+-AD,则X=()

3

【答案】C

【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.

2

【详解】解：由题可知AE=W(A5+AD),

；点尸在8E上，

AF=λAB+(1-λ)AE)

2122

ΛAF=(-+-Λ)AB+(-----Λ)AD,

3333

故选C.

2.(2023•河南一模)在平行四边形ABCD中，F是边BC的中点，点E满足CE=-2DE.若

EF=xAB+yAD,则xy—()

A.工B.1C.1D.3

33

【答案】C

【分析】由向量线性运算的儿何应用，表示出ER=XAB+>AO,从而直接求值.

12

【详解】解：由题意知，AB=DC,AD=BC,CF=-CB,CE^-CD,

23

1212

所以族=CF-CE=-CB——CD=一一AD+-AB,

2323

21

又EF=XAB+yAO,所以x=§,y=—务，

所以孙=.

故选C.

3.(2023•赣州一模)已知非零向量；与E满足∣Z∣=2∣E∣,且|彳+2卫=石∣0-26|,则向量Z与5的夹角是

()

5τιCnC2万Ti

A.—B.—C.D.—

6633

【答案】D

【分析】利用己知条件求解向量的数量积，然后求解向量的夹角.

【详解】解：非零向量；与E满足∣Z=2∣E∣,且G+2g=6∣α-2b∣,

可得Q2+4Q∙0+加=3(a2-4a∙b+4b2),

可得；-b=b2.

向量；与E的夹角是0，

~~*-∙TL

所以向量a与b的夹角是Z.

3

故选D

4.(2023•福州一模)已知∣b∣=2∣d∣,若一与方的夹角为120。，则24-5在/上的投影向量为()

31

A.-3bB.--bC.--bD.3b

22

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及投影向量的公式，即可求解.

【详解】解：因为I们=2∣α∣,”与b的夹角为120。，

所以(2。-。)⑦=24力-62=2|“||。|85120°—匕2=-2∣α∣2-4∣<j∣2≈-6∣o∣2,

则2。-。在6上的投影向量为‘必“bxA=-2⅛.

∖b∖∖b∖2

故选B.

5.(2023•吉林一模)如图，圆心为C的圆的半径为厂，弦AB的长度为4,则ABAC=()

AB

A.IrB.4rC.4D.8

【答案】D

【分析】山投影的运算，结合A8∙AC=∣ABIIAC∣cos<A8,AC>求解即可.

【详解】解：已知圆心为C的圆的半径为r,弦AB的长度为4,

则ABAC^AB∖∖AC∖COS<AB,AC>=-∖AB∖1=-×42=8，

22

故选D.

6.(2023•浙江一模)已知向量d,b满足Ial=1,出∣=3,a-⅛=(3,l),则∣3α-b∣=()

A.2√2B.√I5C.3√2D.2√5

【答案】C

【分析】根据向量模的公式得α∙6=0,再求模即可.

【详解】解：因为Ial=I,∣∙∣=3,a-b=(3,1),

所以(α-b)2=∖a-b∖2^a2+b2-2a-b=∖+9-2a-b=}0,

所以d∙b=0,

X∣3a-⅛∣2=9a2+⅛2-6α∙⅛=18,

所以∣3α-b∣=3√L

故选C.

7.(2023•湖北-模)已知平面向量d/满足&d=∣2α+方则∣〃|•|。|的最小值为()

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【分析】根据向量数量积的定义和关系，把α∙)=∣2α+b∣的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即

可.

【详解】解：设向量”，。的夹角为6.

因为α√J=IalmICoSe=I2α+b∣>0,所以O<cos”,1,

由a∙b=I2〃+8I两边平方得：IαFlZ?∣2cos2θ=4a2+⅛2+46Γ∙⅛,

因为4∕+∕Λ.2∣2α∣∣b∣,

所以∣α∣2∣b∣2cos2θ..2∖2d∣∣⅛∣⅛4∣α∣∣⅛∣cos<9,

即Iallblcos26..4+4cosθ,

即IaII"∣..4("鲁乃=4((-^)2+」］=4(4+1)2-1，

cosOcosσcose/CoSe2

因为O<cos%l,所以—!—.」，即当―L=I时，⑼闻取得最小值，最小值为8.

COSθCOSθ

故选C.

8.(2023•重庆一模)已知向量〃，6满足∣α∣=2,a∙b=-2,则(α-6)∙α=()

A.-2B.0C.4D.6

【答案】D

【分析】由平面向量数量积的运算求解即可.

【详解】解：已知向量d,b满足∣α∣=2,ab=-2,

M1J(a-b)∙a=a2-fc∙a=4+2=6.

故选D.

9.(2023•成都一模)已知向量“力满足Ial=2,1切=5,且〃与6夹角的余弦值为！，则(α+26)∙(3"-5)=(

5

)

A.-30B.-28C.12D.72

【答案】B

【分析】由已知结合平面向量数量积的运算求解.

【详解】解：∣α∣=2,g∣=5,且4与人夹角的余弦值为1,

5

二.(。+2b)•(3。-b)=31αF+5。•方-21b『

=3X4+5X2X5X'-2X25=-28.

5

故选B.

10.(2023•黑龙江-模)已知平面向量α,Ac满足IaI=Ib∣=α∕=2,且S-C)∙(26-C)=0,则|“-2c|的

最大值为()

A.√7+2B.2√7+lC.√7+lD.2√7+2

【答案】D

【分析】根据题意，求出<42>=工，建、工平面直角坐标系，设c=(χ,y),求出轨迹方程，利用几何意

3

义，即可求出|〃-2c∣的最大值.

【详解】解：∖a∖=∖b∖=a∙b=2.

,d`bɪ

:.cos<a∙b>=------

IaHbl2

∙*∙VeI∙b>=—，

3

如图建立坐标系，则α=(2,0),⅛=(h√3),

设e=(x,y),由S-C)∙(2b-C)=O可得：

(l-x,√3-y)∙(2-x,2√3-γ)=x2-3x+2+∕-3√3γ+6=0^(x-∣)2+(γ-^)2=l,

C的终点在以d,M)为圆心，1为半径的圆上，

22

又|4一2(?|=2己4-°|表示为(羽丫)到(1,0)距离的2倍，

2

22

由儿何意义可知∖a-2c∣,πɑv=2[J(l-1)+(¾+l]=2√7+2,

11.(2023•贵阳一模)如图，在ΔABC中，AB=6,AC=3,ΛBAC=-,BD=2DC，则A8∙AO=()

2

【答案】D

1ɔ1O12?

【分析】由8。=27X;可得Ao=-AB+-AC,则A8∙AQ=AB∙(-AB+-AC)=-A8"+-A8∙AC，代

333333

入化简即可得出答案.

【详解】解：BD=2DC,DC=LBC，

3

.∙.AC-AD=^BC=^（AC-AB）,

∙∙.AD=-AB+-ACAB∙AD=AB∙（-AB+-AC）=-AB2+-AB-AC

333333

又A5=6,AC=3,NBAC=C,

2

1.221

∙∙.AB∙AD=-AB+-AB∙AC=-×36=12.

333

故选D.

12.（2023•山东一模）已知等边三角形ABC的边长为1,动点P满足IAPl=I.若AP=+,则；1+〃

的最小值为（）

A.-√3B.--C.0D.3

3

【答案】B

【分析】利用平方的方法化简已知条件，结合基本不等式求得4+〃的最小值.

【详解】解：∣A8∣=∣AC∣=∣AP∣=l,NC48=q,

-2.

AP=λAB+μAC,两边同时平方可得，AP^=（λAB+μAC）2,即

2

1=Λ+ΛZ∕+√=（Λ+-λμ..{λ+4P—2='（2+刈）2,当且仅当2=n=±*时等号成立，

所以（兀+〃）2麴g,_竿2+〃?手，

所以a+M的最小值为-苧.

故选B.

13.（2023•河南一模）在ΔABC中，点E为AC的中点，AF=2FB,BE与CF交于点、P,且满足BP=ME,

则4的值为（）

A.-B.-C.-D.-

3234

【答案】B

【分析】根据平面向量基本定理，用ARAC表示AP即可得答案.

【详解】解：如图,

B

LF

AEC

因为/与£为Ae的中点，AF=2FB,

所以AP=AF+FP=AF+xFC=AF+x(AC-AF)=(↑-x)AF+xAC,

AP=AB+BP=AB+ΛBE=AB+λ(AE-AB)=(∖-λ)AB+ΛAE=AF+-AC，

22

4=—

2,即丝二三丝解得

所以∙&+4==1,Zl=1,

卫X2222

[2

”的值为;.

所以,

故选B.

14.(2C23•西安一模)在平行四边形ABa)中，则54=()

A.-AC+-BDB.LAC--BDC.-LAC+-BDD.-LAC--BD

22222222

【答?⅛1C

【分1斤】根据给定条件，利用平行四边形性质及向量线性运算求解作答.

【详#侔】解：在平行四边形ABcO中，设Ae与a)交于点O,则O是对角线AC,加＞的中点，

Z

二•BA=BO+OA=-BD--AC=--AC+-BD.

2222

故选，:

15.(2023•郑州一模)记ΔABC的内角A,B,。的对边分别为α,b,c,已知角C=工，

4

⅛sin(-X+A)-αsin(巳+B)=c,则角B=()

44

A.-1B.-C.—D.-

8683

【答,宅】C

【分木斤】先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得B与A的关系，进一步计算得出结果.

【详解】解：已知角C=工，bsλn(-+A)-asin(-+B)=c»

444

由正弦定理可得sinBsin(ɪ+A)-sinAsin(ɪ+B)=SinC,

44

√5x/2

整理得-ɪ(sinBCOSA-SinACoSB)=——，即Sin(B-A)=1,

22

因为AB€(0,包)，

4

所以8-AG(-至,网)，

44

所以B-A=工,

2

又B+A=红，

4

所以3=包.

8

故选C.

16.（2023•合肥一模）已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A,且AB=PQ=2,当尸Q绕点A转

动时，8P∙CQ的取值范围是（）

A.[-3,3]B.[-2,2]C.[-3,1]D.[-1,3]

【答案】B

【分析】以A点为原点，建立直角坐标系，可知尸、Q两点都是圆A:d+y2=i上的动点，当宜线PQ斜

,,92

率不存在时，可得8P∙CQ=1,直线PQ斜率存在时，可得到BRCQ=I--或BpCQ=1+∣,

√l+⅛2y∣l+k2

再讨论々与0的大小关系，即可求解.

【详解】解：以A点为原点，以与BC平行的点线为X轴，与BC垂直的宜线为y轴，建立平面立角坐标

则A(0,0),β(-1,-√3),C(l,-√3),易知尸、Q两点都是圆A:/+y2=[上的动点,

当直线尸。斜率不存在时，P(O,-1),β(0,1),

止匕时8P=(1,6一I),CQ=(-1,1+G),则8P∙CQ=-l+3-l=l,

当直线PQ斜率不存在时，可设直线PQ的方程为y=fct,

当Z..0时，联立取2,解得P(TJ=

H+v=ιTiTF√ι7F

1br-1Lr-

MBP=(—.-+1,-.-+>∕3)，CQ=(—/—1>—[L+y3),

∖∣l+k2yjl+k2∖∣]+k2√l+⅛2

1I*L*Llb22

2

■■■BP∙Ce=(-？==+l)∙(-^==-1)+(-J==+√3)(-^=^+√3)=-(^=^+∣)+3-(-τ)=1-^=^

√ι+⅛2√ι+F√ι+⅛2√ι+F√ι+F]+&2√I+Λ2

.∙.-1„BPCQ<∖,

同理，当A„O时，P(—,ɪ.,—,===)，0/[,=，/),')，

√ι+F√ι+F√∣+F√ι+F

2

.∙.BQCQ=∖+____,.∙.l<BP∙Cβ,3,

√1+I7

综上所述，BPCQ的取值范围是[-1,3],

故答案选：D.

17.（2023•安徽一模）在ΔA8C中，BC=2,AB-AC=S,若。是BC的中点，贝IJAD=（）

A.1B.3C.4D.5

【答案】）

【分析】由题意画出图形，由数量积得到bccos6=8,然后结合余弦定理得答案.

【详解】解：如图，设IABI=c,∖AC∖=b,ZBAC=O,

由Aβ∙AC=8,得6ccos6=8,

在ΔASC中，由余弦定理可得，22=⅛2+C2-2⅛CCOS<9.

即〃+/-16=4,.∙.⅛2+c2=20,

。是BC的中点，

.∙.b1=|Λf>∣2+12-2∣ADICOSZADC,c2=∣A£>|2+12-2∣AD∣cosAADB,

两式作和可得,b2+c2=2∖AD∖i+2,即2∣AoI2=18,则IADI=3.

故选B.

18.(2023∙浙江--模)在平行四边形A8C/)中，BE=LEC，DF=2FC,设AE=α,AF=b,则AC=(

2

）

A.-a+-bB.-a+-bC.-d+-bD.-a+-b

77774334

【答案】B

【分析】结合平行四边形的性质以及平面向量的基本定理，即可求解.

【详解】解：•四边形ABC。为平行四边形，

.∙.AC=AB+ADfBC=AD,DC=AB,

BE=-EC，DF=2FC,

2

∙.BE=LBC，DF=-DC.

33

.∙.AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AD，

33

22

AF=Ao+O尸=A。+—。C=Ao+—48，

33

AE=a，AF=b,

93,

AB+-AD=aAB=-a—b

3解得•77

296

AD+-AB=hAD=-h——a

377

SAns93.9.636.

•∙AC=A5+AZ）=-ah-∖—hCi——aH—h•

777777

故选B.

19.（2023•广东-模）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶

盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹

以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传

播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的松泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2

是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如ΔA8）为等腰直角三角形，点。为圆心，中

间部分是正方形且边长为2,定点A,8所在位置如图所示，则ABSO的值为（)

【答案】C

【分析】根据向量的线性表示及向量数量积的性质，代入相关数据即可.

【详解】解：连接8,因为中间阴影部分是正方形且边长为2,

山题意可得图中各个三角形都为等腰直角三角形，

所以NA=NoDB=三，∣OD∣=√2,∖AD∖=4,ZADB=-,

42

,....---2一•..

则AB∙AO=(AZ)+DB)∙(AZ>+/X?)=A£>+ADgO+08AD+08∙OO

,237FJT

=AD^+∣AZ)∣∣DO∣cos-+PB-AD+∣DBIIOOlCOS—

44

=42+4×^×(--)+2×√2×-=14.

22

故选C.

20.(2023•武汉一模)平面向量α=(-2,Q,b=(2,4),若〃则|。一。|=()

A.6B.5C.2√6D.2√5

【答案】B

【分析】根据4,b时。/=0求出攵的值，再计算。-人的模长.

【详解】解：因为α=(