备考2024年中考数学专题突破（全国通用）专题2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归（原卷版）

专题2-5最值模型之阿氏圆与胡不归TOC\o"1-3"\n\h\z\u知识点梳理模块一胡不归模型【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算模块二阿氏圆模型【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）【题型6】一内一外提系数【题型7】隐圆型阿氏圆知识点梳理一、胡不归模型讲解如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记，即求BC＋kAC的最小值．构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC．将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小．二、阿氏圆模型讲解【模型来源】所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似．【模型建立】如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知R＝OB，连接PA、PB，则当“PA＋PB”的值最小时，P点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使OC＝R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB＝PC。故本题求“PA＋PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA＋PC”值最小。模块一胡不归模型【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线2023·西安·二模如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为．2023·保定·一模如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．

（1）°；（2）的最小值为．2023·湘西·中考真题如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为．

如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为．2023·江苏宿迁中考模拟如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为秒．2023·四川自贡·统考中考真题如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是．

2023·成都市七中校考如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，沿直线翻折，点的对应点恰好落在对角线上，点的对应点为，点为线段上一动点，则的最小值为．【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为．

2023·广西二模如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则．如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为3．如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为A． B． C． D．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是A． B． C． D．8如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF＋FB的最小值是如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为.

【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算2023·广东深圳·统考三模如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点落在点处，且，点是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点，连结．当的值最小时，求的长．模块二阿氏圆模型【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．如图，在中，，，，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，．求①；②；③；④的最小值．如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为．如图，正方形ABCD边长为2eq\r(2)，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+eq\f(eq\r(2),2)PD的最小值为______．如图，等边三角形ABC边长为4eq\r(3)，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BP＋eq\f(1,2)CP的最小值为______________．如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM＋eq\f(1,2)PN的最小值为_______________2023·山东烟台·统考中考真题如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．

如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点E是线段OA上的一个动点，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当EQ\F(MN,NE)＝EQ\F(6,5)时，求点E的坐标；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，连接E′A、E′B，求E′A＋EQ\F(2,3)E′B的最小值．yyBOAEPMN图1yBOAEPMN图2E′【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为．如图，∠AOB=90°，OA=OB=1，圆O的半径为eq\r(2)，P是圆O上一动点，PA+eq\r(2)PB的最小值为________．已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，2PA+PB的最小值为________．【题型6】一内一外提系数如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为．【解答】解：在上取点，使，，，，，，，在延长线上取，，则，又，，，，，当为和圆的交点时最小，即最小，且值为，，的最小值为，故答案为：．如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是，的最小值是【题型7】隐圆型阿氏圆2023·咸阳·三模如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为．

2023·宿迁·三模如图，在平面直角坐标系中，、、、，点