《一次函数与方程、不等式》教学设计

第十九章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式一、教学目标1.认识一次函数与方程（组）、不等式之间的联系．会用函数观点解释方程和不等式及其解和解集的意义．2.经历用函数图象表示方程、不等式的解和解集的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合的思想．二、教学重点及难点重点：理解一次函数与不等式和方程的联系．难点：把一次函数图象上点的坐标与方程和不等式的解和解集建立联系．三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源微课、知识卡片五、教学过程（一）一次函数与一元一次方程观察下面3个方程．（1）2x＋1＝3；（2）2x＋1＝0；（3）2x＋1＝－1．教师活动：引导学生思考代数式2x＋1的值与谁的值的确定是对应的？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？学生活动：观察、思考、比较上面的三个方程可以看成函数y＝2x＋1的函数值分别为3，0，－1时，求自变量x的值，或者说这三个方程的解分别对应着函数y＝2x＋1图象上A，B，C三点的横坐标．结论：因为任何以x为未知数的一个一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0（a≠0）的形式．所以解一元一次方程：（1）从函数值的角度看，求方程ax＋b＝0（a≠0）的解相当于求一次函数y＝ax＋b（a≠0）的函数值为0时，相应的自变量x的值；（2）从函数图象的角度看，求方程ax＋b＝0（a≠0）的解相当于求直线y＝ax＋b（a≠0）与x轴的交点的横坐标．设计意图：用数形结合的方法，建立一次函数与一元一次方程的联系．（二）一次函数与一元一次不等式观察下面三个不等式．（1）3x＋2＞2；（2）3x＋2＜0；（3）3x＋2＜－1．教师活动：引导学生类比一次函数和一元一次方程的关系，试着用函数观点看一元一次不等式．学生活动：观察、思考、比较上面的三个不等式相当于在一次函数y＝3x＋2的函数值分别大于2、小于0、小于－1时，求对应的自变量的取值范围，或者说在直线y＝3x＋2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于－1的点，看它们的横坐标的取值范围．结论：因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)的形式，其左边恰是一次函数y＝ax＋b的形式．所以解一元一次不等式：（1）从函数值的角度看，就是求一次函数y＝ax＋b的函数值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；（2）从函数图象的角度看，就是确定直线y＝ax＋b在x轴上（或下）方部分的点的横坐标的取值范围．设计意图：类比探究一次函数与一元一次方程的关系，探究用函数观点看一元一次不等式．（三）一次函数与二元一次方程（组）1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升．两个气球都上升了1h．问题（1）请用式子表示1号探测气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系．（y＝x＋5）问题（2）请写出函数y＝x＋5的图象上的任意5个点的坐标，你写出的5个点的坐标是否都满足方程y－x＝5？你是怎么验证的？问题（3）以方程y－x＝5的所有解组成的坐标是否都在一次函数y＝x＋5的图象上？问题（4）通过问题（2）和（3）的分析，我们能否概括出二元一次方程的解和一次函数图象上的点的坐标之间是什么关系？教师出示问题后，由学生独立完成（1）后，小组合作讨论（2）（3）（4），由小组代表发言，余生补充，最后师生共同总结．结论：因为每个含未知数x和y的二元一次方程，都可以改写成y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数；每个这样的方程的解为坐标的点（x，y），都在其相应的一次函数的图象上；一次函数图象上点的坐标（x，y），都适合其相应的二元一次方程．设计意图：通过实际问题，用数形结合的方法，建立一次函数与二元一次方程的联系．问题（5）用式子表示2号探测气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系．（y＝0.5x＋15）问题（6）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？对于问题（6），先让学生思考如何解决，学生很容易想到从数量关系的角度解决，即解二元一次方程组即解得这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度．教师再进一步引导学生从图形的角度解决，在同一直角坐标系内分别画出一次函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15的图象，并读出这两条直线的交点坐标（20，25），这也说明当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度．完成问题（6）后，师生共同归纳总结：结论：含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，也对应着两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求两个函数值相等时的自变量的值，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两直线的交点坐标．设计意图：用函数的观点探求实际问题答案的过程中，归纳总结一次函数与二元一次方程组的关系．1．如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解集为（）．A．B．x＜3C．D．x＞3设计意图：考查一次函数与二元一次方程组和不等式的联系．2．下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解是（）．设计意图：考查一次函数与二元一次方程的联系．3．（1）解不等式3x－6＜0，可看作：．（2）“当自变量x取何值时，函数y＝3x＋8的值等于0”可看作：．设计意图：考查一次函数与一元一次方程和不等式的关系．4．如图，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点P（－3，2），Q（－4，0），则关于x的不等式kx＋b＞－2的解集为；关于x的方程kx＋b＝0的解为．设计意图：考查一次函数与一元一次方程和不等式的关系．5．直线：y＝x＋1与直线：y＝mx＋n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解．设计意图：考查一次函数与二元一次方程组的联系．答案：1．A．2．C3．（1）求一次函数y＝3x－6的函数值小于0时自变量的取值范围．（2）求方程3x＋8＝0的解．4．x＜－3，x＝－4．5．（1）解：∵点P（1，b）在直线：y＝x＋1上，∴把x＝1代入y＝x＋1，得y＝2．∴b＝2．（2）由（1）得P（1，2），所以关于x，y的方程组的解为（四）课堂小结（1）用函数的观点，说说你对一元一次方程有什么新的认识；（2）用函数的观点，说说一次函数与一元一次不等式的联系；（3）用函数的观点，从数形两方面说说你对二元一次方程有什么新的理解；（4）用函数的观点，从数和形两个角度说说对二元一次方程组的认识．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内