核心考点03平面向量的概念和线性运算（解析版）

核心考点03平面向量的概念和线性运算目录一．向量的概念与向量的模（共10小题）二．向量相等与共线（共9小题）三．向量的加法（共1小题）四．向量的减法（共1小题）五．向量的三角形法则（共1小题）六．向量加减混合运算（共1小题）七．向量数乘和线性运算（共3小题）八．平面向量数量积的含义与物理意义（共4小题）考点考向考点考向一．向量的概念与向量的模【向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．【向量的几何表示】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．【向量的模】的大小，也就是的长度（或称模），记作||．【零向量】长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．【单位向量】长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．【相等向量】长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．二．向量的加法【知识点的知识】向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量叫做与的和，记作，即+＝+＝特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质①+＝+＝；+（﹣）＝；②+＝+；③（+）+＝+（+）．三．向量的减法【知识点的知识】向量的减法及其几何意义：求两个向量差的运算叫向量的减法运算．法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即﹣＝+（﹣）．设＝，＝，则．即＝＝．即特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）四．向量的三角形法则【知识点的知识】三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量叫做与的和，记作，即+＝+＝特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．五．向量加减混合运算【知识点的知识】1、向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量叫做与的和，记作，即+＝+＝特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质①+＝+＝；+（﹣）＝；②+＝+；③（+）+＝+（+）．2、向量的减法运算．求两个向量差的运算叫向量的减法运算．法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即﹣＝+（﹣）．设＝，＝，则．即＝＝．即特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）六．向量数乘和线性运算【知识点的知识】（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．当λ＝0时，λ与平行．对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔＝λ（2）向量数乘运算的法则①1＝；（﹣1）＝；②（λμ）＝λ（μ）＝μ（λ）；③（λ+μ）＝λ+μ；④λ（+）＝λ+λ．一般地，λ+μ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果＝λ+μ，则称可以用，线性表示．七．平面向量数量积的含义与物理意义【知识点的知识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做即：＝||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．注意：①表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．考点精讲考点精讲一．向量的概念与向量的模（共10小题）1．（2022春•浦东新区校级期末）与向量（﹣3，﹣4）反向的单位向量是．【分析】根据单位向量的定义以及向量的坐标运算计算即可．【解答】解：与向量（﹣3，﹣4）反向的单位向量是﹣（﹣3，﹣4）＝（，），故答案为：（，）．【点评】本题考查了向量的坐标运算，考查单位向量的定义，是基础题．2．（2022春•徐汇区校级期末）若非零不共线的向量，满足，则（）A． B． C． D．【分析】由向量模长不等式可得＝≤||+||，结合题目条件即可求解．【解答】解：∵＝≤||+||＝2||，∵，是非零向量，∴必有，上式中等号不成立，∴2||＞，故选：C．【点评】本题主要考查了向量模长的定义，属于基础题．3．（2022春•徐汇区校级期中）若，则的取值范围是[4，8]．【分析】利用平面向量的线性运算及几何意义求解即可．【解答】解：∵＝﹣，且，∴6﹣2≤≤6+2，即的取值范围是[4，8]；故答案为：[4，8]．【点评】本题考查了平面向量的线性运算及几何意义，属于基础题．4．（2022春•闵行区校级期中）已知m∈R，则是的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【分析】利用向量相等的定义求解即可．【解答】解：①当m＝0时，则，但不一定成立，∴充分性不成立，②当时，则，∴必要性成立，∴是的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查向量相等的定义，基本知识的考查．5．（2022春•杨浦区校级期中）已知向量，，则＝（）A． B． C． D．5【分析】根据向量的线性运算的坐标表示求出+2＝（1，2），再求其模即可．【解答】解：∵，，∴+2＝（1，2），∴＝＝．故选：A．【点评】本题考查了向量的线性运算的坐标表示以及向量的模，属于基础题．6．（2022春•杨浦区校级期末）如图，圆C的半径为3，A，B为圆C上的两点，且的最小值为2，则＝．【分析】过C作CH⊥AB，垂直点为H，则H为AB的中点，设，则点P在直线AB上，从而得＝||＝||＝||≥|CH|＝2，再根据圆中的弦长公式即可求解．【解答】解：如图，过C作CH⊥AB，垂直点为H，则H为AB的中点，∵＝||，λ＝﹣t，设，∴点P在直线AB上，∴＝||＝||＝||≥|CH|＝2，又圆C的半径为3，∴|CA|＝3，∴|AB|＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查向量共线定理，向量减法的几何意义，圆的弦长公式，属基础题．7．（2022春•奉贤区校级期末）||＝8，||＝2，则BC的取值范围是[6，10]．【分析】利用向量线性运算可解．【解答】解：∵，∴||＝||，∴≤，当和同向时，取得最小值，当和反向时，取得最大值，即6≤≤10，故答案为：[6，10]．【点评】本题考查向量的模相关知识，属于基础题．8．（2022春•浦东新区校级期中）直角△ABC中，，AB＝1，AC＝2，点O是△ABC所在平面上任意一点，则向量的模为．【分析】根据条件可得出||＝2，||＝，cos＜＞＝，然后根据向量的加减运算及向量的数量积运算求解．【解答】解：由题意||＝2，|，cos＜＞＝，∴||＝||＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查向量减法的几何意义，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．9．（2022春•宝山区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4．点D在边BC上，且．（1），，求；（2），AD恰为BC边上的高，求角A；（3）AD＝3，求t的取值范围．【分析】（1）推导出＝（+），从而＝（+2•，由此能求出．（2）由，AD恰为BC边上的高，设CD＝x，BD＝4x，在Rt△ACD中，AD2＝4﹣x2，在Rt△ABD中，AD2＝16﹣16x2，列方程求出x2＝，BC2＝25x2＝20，由余弦定理求出∠BAC．（3）推导出，则•（1﹣t），结合﹣1＜cosA＜1且0＜t＜1，能求出t的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴D为BC的中点，∴＝（+），∵AC＝2，AB＝4，，∴＝（+2•）＝[16+4+2×4×2×（﹣）]＝3，∴＝．（2）由，AD恰为BC边上的高，设CD＝x，BD＝4x，在Rt△ACD中，AD2＝4﹣x2，在Rt△ABD中，AD2＝16﹣16x2，∴4﹣x2＝16﹣16x2，∴x2＝，∴BC2＝25x2＝20，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝0，∴∠BAC＝90°．（3）由题，，则＝＝＝t，∵AD＝3，且AC＝2，AB＝4，∴+（1﹣t）2+2t，则9＝16t2+4（1﹣2t+t2）+（16t﹣16t2）cosA，∴cosA＝，∵﹣1＜cosA＜1，∴﹣1＜，∵0＜t＜1，∴16t2﹣16t＜0，解得，∴t的取值范围是（）．【点评】本题考查向量的模、角的大小、实数的取值范围的求法，考查向量的运算法则、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10．（2022春•长宁区校级期中）已知O为坐标系原点，，，．（1）若ABC是以A为直角顶点的直角三角形，求m的值及此时三角形的面积；（2）若A，B，C三点共线，求m的值及此时线段中点P的坐标．【分析】（1）由向量的坐标运算化简＝（3，1），＝（2﹣m，1﹣m），结合ABC是以A为直角顶点的直角三角形得•＝0，从而求得m，再求面积即可；（2）由三点共线知3（1﹣m）﹣1（2﹣m）＝0，从而求m，再求点P的坐标即可．【解答】解：（1）∵，，，∴＝﹣＝（3，1），＝﹣＝（2﹣m，1﹣m），又∵ABC是以A为直角顶点的直角三角形，∴•＝3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，解得m＝，则||＝＝，＝（，﹣），||＝，∴S△ABC＝××＝；（2）∵A，B，C三点共线，∴3（1﹣m）﹣1（2﹣m）＝0，解得m＝，∵，＝（，﹣），∴A（3，﹣4），C（，﹣），∴P（，﹣）．【点评】本题考查了平面向量的运算及平行与垂直的性质应用，属于中档题．二．向量相等与共线（共9小题）11．（2022春•杨浦区校级期中）①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线AB与直线CD平行．上面说法中正确的有（）个A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①加速度既有大小又有方向，即可判断出正误；②取＝，与可能不共线，即可判断出正误；③由，得到直线AB与直线CD平行或重合，即可判断出正误．【解答】解：①加速度是向量，正确；②若且，取＝，则与可能不共线，因此不正确；③若，则直线AB与直线CD平行或重合，因此不正确．上面说法中正确的有1个，故选：B．【点评】本题考查了向量的定义、共线的定义，考查了推理能力，属于基础题．12．（2022春•奉贤区校级期末）已知、是平面向量的一组基底，设非零向量＝x1+y1，＝x2+y2，给出下列两个命题：①∥⇔x1y2＝x2y1；②⊥⇔x1x2+y1y2＝0．则（）A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对【分析】由＝λ可判断①；由•＝0可判断②．【解答】解：∵＝x1+y1，＝x2+y2，∥⇔＝λ（λ≠0），∴λ（x1+y1）＝x2+y2，∵、是平面向量的一组基，∴，∵λ≠0，∴消去λ得x1y2＝x2y1，∴①对；⊥⇔•＝0，∴（x1+y1）•（x2+y2）＝0，∴x1x2+y1y2+（x1y2+x2y1）•＝0，∵、的模与夹角不知道，∴不一定得到x1x2+y1y2＝0．∴②错．故选：C．【点评】本题考查平面向量平行与垂直，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．13．（2021春•浦东新区校级月考）已知M（3，﹣2），N（﹣5，﹣1），且，则P点的坐标为P（﹣1，﹣）．【分析】设出点P坐标，表示出，，代入，求出P点的坐标．【解答】解：设点P（x，y），则＝（x﹣3，y+2），＝（﹣8，1）；又，∴，∴x＝﹣1，y＝﹣；∴P（﹣1，﹣）．故答案为：P（﹣1，﹣）．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．14．（2021春•浦东新区校级月考）下列命题中正确的是②．①若|，则；②若，，则；③的充要条件是|且；④若，，则．【分析】由题意，利用共线向量，向量的模，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：若|，则与的方向是任意的，故不能推出，故①错误；若，，则能推出，故②正确③的充要条件是|且与的方向相同，故③错误；④若，，则当＝时，与是任意的向量，故④错误，故答案为：②．【点评】本题主要考查共线向量，向量的模，属于基础题．15．（2021春•浦东新区校级月考）已知非零向量、、两两不平行，且，，设，x，y∈R，则x+2y＝﹣3．【分析】用向量、表示出向量，求出x、y的值，即可求得x+2y的值．【解答】解：非零向量、、两两不平行，且，，所以＝m（+），解得＝﹣；由＝n（+），解得＝﹣；令，解得m＝n＝﹣1；所以＝﹣﹣，又＝x+y，x，y∈R．所以x＝y＝﹣1；所以x+2y＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．16．（2022春•徐汇区校级期中）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+＝t（+2）＝，∴，解得实数λ＝．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．17．（2022春•杨浦区校级期末）△ABC三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，，若，则角C的大小为．【分析】利用推出向量中b，a，c的关系，利用余弦定理求出C的大小即可．【解答】解：因为，得得：b2﹣ab＝c2﹣a2即a2+b2﹣c2＝ab由余弦定理cosC＝＝所以C＝故答案为：【点评】本题考查平行向量与共线向量，余弦定理的应用，考查计算能力是基础题．18．（2022春•闵行区校级月考）已知向量，且∥，则tanα＝．【分析】根据题意，有∥，根据向量平行的充要条件，构造方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵∥，∴3cosα﹣4sinα＝0即tanα＝故答案为：【点评】本题考查的知识点是向量平行的坐标运算：，则⇔x1•y2﹣x2y1＝019．（2022春•杨浦区校级期中）教材8.3（1）的探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O、A、B，对平面上任意一点P，都有实数λ与μ，使得，且A、B、P三点共线的充要条件是λ+μ＝1．已知△ABC中，过重心G的直线交线段AB于P，交线段AC于Q，设△APQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，，．根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：；（2）求的取值范围．【分析】（1）将表示为x的形式，根据题可知当P、G、Q三点共线时，x+y＝1，由此能证明；（2）利用三角形面积公式推导出＝，由p的范围及二次函数的性质能求出的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵＝p，，∴＝，＝，∵G是△ABC重心，∴＝•+，由材料可知，P、G、Q三点共线，∴＝1，化简得＝1．（2）由（1）知，，∴＝＝＝，∵，可知p＞1，∴＝，∴＝＝＝＝＝＝，∵p＞1，∴0，则当时，取得最小值，当＝1或0时，取得最大值为，∵≠1或0，∴的取值范围是[，1）．【点评】本题考查有关向量知识的运算，考查向量线性运算法则、三角形重心性质、三角形面积、配方法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三．向量的加法（共1小题）20．（2022春•闵行区校级月考）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D是边BC的中点，则•＝．【分析】由△ABC中，AB＝2，AC＝3，D是边BC的中点，我们易将中两个向量变形为：，，然后再利用向量数量积的计算公式，代入即可得到答案．【解答】解：根据向量的加减法法则有：，，此时＝＝＝故答案为：．【点评】如果两个非量平面向量平行（共线），则它们的方向相同或相反，此时他们的夹角为0或π．当它们同向时，夹角为0，此时向量的数量积，等于他们模的积；当它们反向时，夹角为π，此时向量的数量积，等于他们模的积的相反数．如果两个向量垂直，则它们的夹角为，此时向量的数量积，等于0．四．向量的减法（共1小题）21．（2022春•奉贤区校级期中）已知向量，，则的单位向量的坐标为（﹣，）或（，﹣）．【分析】利用平面向量的线性坐标运算求出＝（﹣3，7），||＝＝，再利用单位向量的定义求解即可．【解答】解：∵，，∴＝（﹣3，7），∴||＝＝，∴的单位向量的坐标为（﹣，）或（，﹣）．故答案为：（﹣，）或（，﹣）．【点评】本题考查了平面向量的线性坐标运算，单位向量的求法，是基础题．五．向量的三角形法则（共1小题）22．（2022春•奉贤区校级期中）已知AM是△ABC的BC边上的中线，若、，则等于（）A．（﹣） B．﹣（﹣） C．（+） D．﹣（+）【分析】先利用因为AM是△ABC的BC边上的中线得到＝，再结合向量的三角形法则，即可求出结论．【解答】解：因为AM是△ABC的BC边上的中线，∴＝又∵＝①②①+②：2＝∴＝（+）．故选：C．【点评】本题主要考查向量的三角形法则的应用．在平时的学习中，应把本题作为结论来记．六．向量加减混合运算（共1小题）23．（2022春•杨浦区校级期中）已知向量，则＝．【分析】利用向量的线性运算即可得出．【解答】解：＝，故答案为：．【点评】本题考查了向量的线性运算，考查了计算能力，属于基础题．七．向量数乘和线性运算（共3小题）24．（2022春•徐汇区校级期中）已知，则实数λ＝﹣3．【分析】根据已知条件，结合向量的运算法则，即可求解．【解答】解：∵，∴＝，即，∴λ＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查向量的运算法则，属于基础题．25．（2022春•闵行区校级月考）设G是△ABC的重心，且，则∠B＝．【分析】根据重心的性质，以及向量的数乘运算，以及与不共线，可得sinA＝sinB＝sinC得到a＝b＝c，问题得以解决．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴++＝．∴＝﹣（+）．∵，∴sinA﹣sinB（+）+sinC＝，化为（sinA﹣sinB）+（sinC﹣sinB）＝．∴与不共线，∴sinA﹣sinB＝sinC﹣sinB＝0，∴sinA＝sinB＝sinC．∴a＝b＝c．∴A＝B＝C＝．故答案为：【点评】本题考查了三角形的重心性质、共面向量定理、正弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．26．（2022春•宝山区校级月考）已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m＝．【分析】设外接圆的半径为R，从而化简可得（﹣）•+（﹣）•＝2m•，从而可得﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）＝﹣2m，从而解得．【解答】解：设外接圆的半径为R，∵，∴（﹣）+（﹣）＝2m，∵∠AOB＝2∠C，∠AOC＝2∠B，∴（﹣）•+（﹣）•＝2m•，即•R2•（cos2C﹣1）+•R2•（cos2B﹣1）＝﹣2mR2，即﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）＝﹣2m，故sinCcosB+sinBcosC＝m，故sin（B+C）＝m，故m＝sinA＝，故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理的应用，同时考查了平面向量数量积的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．八．平面向量数量积的含义与物理意义（共4小题）27．（2022春•嘉定区校级期末）已知，则在方向上的投影为．【分析】根据向量投影的定义计算即可．【解答】解：因为，所以在方向上的投影为||cos＜，＞＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量投影的定义与应用问题，是基础题．28．（2022春•浦东新区校级期末）已知，，则向量在向量方向上的投影为1．【分析】根据向量在向量方向上投影的定义，计算即可．【解答】解：因为，，所以向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞＝＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了向量投影的定义与应用问题，是基础题．29．（2022春•浦东新区校级期中）已知向量，方向相反，且，，则在方向上的数量投影为﹣4．【分析】根据投影的定义，应用公式在方向上的数量投影为||cosπ，求解即可．【解答】解：向量，方向相反，且，，根据投影的定义可得：在方向上的数量投影为||cosπ＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式，是基础题．30．（2022春•浦东新区校级期末）已知向量＝（1，2），＝（3，4），则在方向上的数量投影为．【分析】根据平面向量投影的定义，计算即可．【解答】解：向量＝（1，2），＝（3，4），所以•＝1×3+2×4＝11，所以在方向上的数量投影为||cosθ＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，是基础题．巩固巩固提升一、单选题1．（2021春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期末）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，是该正六边形中心，设点集，向量集且不重合.则这个集合中元素的个数为（

）A．18 B．24 C．36 D．42【答案】A【分析】根据向量的定义确定，考察向量的方向与长度．【详解】如图，图形中长度为1的向量一定与，，中的一个相等，再考虑方向相反，这样的向量有6个，长度为2的向量是与相等或相反的向量，这样的向量有6个，长度为的向量是相等或相反的向量，这样的向量也有6个．所以共有18个．故选：A．2．（2021·上海·高一期末）若点是所在平面内的一点，满足，则（

）A． B．4 C． D．3【答案】C【分析】化简得，即得解.【详解】，，得．故选：C．3．（2021·上海·高一期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量加法的运算法则可得.【详解】，故选：C.4．（2021·上海·高一期末）的三边BC，CA，AB的中点分别是，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用向量加法法则及数乘法的法则计算．【详解】如图，的三边，，的中点分别是，，；.故选：C.5．（2021春·上海·高一专题练习）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】不妨用坐标表示向量，，然后作，，由共线定理得点位置，而，括号内利用向量模的几何意义求最小值．【详解】因为，是平面内两个夹角为的单位向量，所以不妨设，，，作平行四边形即为菱形，过作的平行线交轴于，交的延长线于，设，则点在直线上，的延长线交于，则，是菱形对角线的交点，则，，，，，设，则是关于直线的对称点，，则，即，又，所以，，当且仅当共线时等号成立，所以的最小值是，的最小值是，故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查求向量模的最小值问题，解题关键是平面直角坐标系中作出向量，，然后由向量的线性运算得出各点位置，然后利用向量模的几何意义，结合对称求得最小值．6．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.【详解】，令，则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在的平分线上，，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B7．（2022春·上海徐汇·高一上海中学校考期末）若非零不共线的向量满足，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断【详解】

（2）由非零向量，满足当，不共线时,可考虑构造等腰三角形,如图（1）所示,,则.在图（1）中,,不能比较与的大小;在图（2）中,由,得,所以为的直角三角形.易知,由三角形中大角对大边,得.故选：C二、多选题8．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的有（

）A．若，则点是边的中点B．若，则点是的重心C．若，则点在边的延长线上D．若，且，则是面积的一半【答案】ABD【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据重心的性质即可判断；对C，根据向量的运算得到，即可判断；对D，根据三点共线的性质即可求解.【详解】解：对A，，即，即，即点是边的中点，故A正确；对B，设的中点为，，即点是的重心，故B正确；对C，，即，即，即点在边的延长线上，故C错误；对D，，且，故，且，设，则，且，故三点共线，且，即是面积的一半，故D正确.故选：ABD.三、填空题9．（2021春·上海·高一专题练习）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝，则λ＝______．【答案】【分析】根据题意画出图形，结合图形，用向量与表示出即可.【详解】△ABC中，D是AB边上一点，＝2，＝，如图所示，∴＝＝+①，＝，∴＝②；①+②得，3＝+2，∴＝+；∴λ＝．故答案为：．10．（2021秋·上海嘉定·高一校考阶段练习）已知△ABC中，点D在边BC上，且，设，，那么等于________（结果用、表示）【答案】【分析】根据以及进行线性运算，由此可求得的表示.【详解】因为，所以，故答案为：.11．（2021春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量（除本身）共有_____________个.【答案】39【分析】数出与所占同样大小的矩形个数，再根据向量和向量模的定义求解即可.【详解】图中占图的矩形，在整个的矩形中共能数出10个这么大的矩形，则这些矩形的对角线共有个，向量有方向，每一条对角线有两个方向，则模与的模相等的向量有个。则模与的模相等的向量（除本身）共有个.故答案为：39个.12．（2021春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知，则______．【答案】【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：由，所以，所以，即，，所以，．故答案为：．13．（2021春·上海·高一期末）__.【答案】【分析】根据向量加法法则求解．【详解】故答案为：14．（2021春·上海·高一专题练习）下列结论中，正确的是__．①零向量只有大小没有方向②对任一向量，||＞0总是成立的③||④与线段BA的长度不相等．【答案】③【分析】根据向量的概念，逐项判断即可得解.【详解】①中，既有大小又有方向的量叫向量，∴大小与方向是向量的两个要素，∴①不正确；②中，零向量的模为0，∴②不正确；③中，由于与方向相反大小相等，∴③正确；④中，与线段BA的长度相等，∴④不正确故答案为：③．15．（2021春·上海奉贤·高一统考阶段练习）在中，角的对边分别为，为边上的高，有以下结论：①；②；③；④.其中所有的正确序号的是__________.【答案】①②③④【分析】根据向量的线性运算和数量积运算一一检验，命题②还要用到余弦定理.【详解】∵为边上的高，∴，∴①，正确；②，正确；③，正确；④，正确.故答案为：①②③④.【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量的线性运算，属于中档题.16．（2021春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）下列关于向量的命题，序号正确的是_____.①零向量平行于任意向量；②对于非零向量，若，则；③对于非零向量，若，则；④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.【答案】①③【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，故不一定等于，故②错误；对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.故选：①③17．（2021春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，在中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用、表示的式子为_____________.【答案】【分析】根据平面向量的线性运算，以及AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，，可得到