期末压轴好题汇编四大类型 高频考点题型归纳与方法总结（解析版）

期末压轴好题汇编（四大类型)类型一：指对数运算类型二：应用类型类型三：复合函数类型四：组合型函数类型一：指对数运算类型一：指对数运算1．化简求值（需要写出计算过程）.(1)；(2).【答案】(1)2(2)7【分析】（1）根据指数、根式运算的性质计算可得答案；（2）根据指数、对数运算的性质计算可得答案【详解】（1）；（2）.2．计算题(1)；(2)．【答案】(1)(2)1【分析】（1）结合有理数指数幂的运算性质可求；（2）结合对数的换底公式即可求解．【详解】（1）；（2）．3．计算下列各式的值(1)(2)(3)(4)(5)【答案】(1)(2)7(3)(4)(5)【分析】（1）指数幂的化简；（2）利用对数恒等式和对数式的运算化简；（3）利用指数幂的运算规则化简求值；（4）利用对数恒等式和对数式的运算化简；（5）利用指数幂的运算规则化简求值.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.4．计算：(1).(2).【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据对数运算法则计算出答案；（2）利用指数运算法则计算出答案.【详解】（1）.（2）＝5．计算下列各式的值(1)(2)(3)【答案】(1)4(2)(3)1【分析】运用指数运算公式及对数运算公式计算即可.【详解】（1）原式.（2）原式.（3）原式.6．求值：(1)；(2).【答案】(1)2(2)【分析】（1）利用分数指数幂运算和根式运算法则计算出答案；（2）利用指数和对数运算法则计算.【详解】（1）原式=（2）原式=7．（1）化简；（2）．【答案】;.【分析】利用指对数的运算公式计算即可.【详解】（1），（2）.8．化简求值（需要写出计算过程）(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据指数运算的性质，可得答案.（2）根据对数运算的性质，可得答案【详解】（1）原式.（2）原式．9．化简求值：(1)；(2)(3)化简【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则，即可求解；（2）根据对数运算法则，即可化简求值；（3）根据根式和分数指数幂的化简公式，化简求值.【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式.10．计算求值：(1)(2)【答案】(1)；(2)6.【分析】（1）利用指数运算及二次根式化简，求解作答.（2）利用对数运算、对数的换底公式计算作答.【详解】（1）原式.（2）原式.11．化简求值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得.【详解】（1）.（2）.12．计算与化简：(1)(2).(3)(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据对数的运算性质，代入计算即可；（2）根据指数幂的运算性质，代入计算即可；（3）根据指数幂的运算性质，代入计算即可；（4）根据对数的运算性质，代入计算即可；【详解】（1）原式；（2）原式（3）原式（4）原式13．化简求值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值；（2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值.【详解】（1）解：原式.（2）解：原式.类型二：应用类类型二：应用类14．某地为践习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，使森林面积的年平均增长率为20%，且x年后森林的面积为y亩．(1)列出y与x的函数解析式并写出函数的定义域；(2)为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？参考数据：【答案】(1)(且)；(2)10.【分析】(1)直接由题意可得与的函数解析式；(2)设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，求解指数不等式得答案．【详解】（1）森林原来的面积为亩，森林面积的年平均增长率为，年后森林的面积为亩，则(且)；（2）设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，，得，即，，即取10，故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林10年．15．某市新建一片园区种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1日至30日开放，每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），且游客人均消费近似地满足（元），，.(1)求该园区第天的旅游收入（单位：千元）的表达式；(2)求该园区第几天的旅游收入最低，并求出最低收入.【答案】(1)，(2)第30天收入最低，为1116千元【分析】（1），分类讨论去绝对值得分段函数表达式；（2）分类讨论，结合函数单调性、基本不等式求分段函数最小值；【详解】（1），；（2）当时，，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值为1152（千元）；当时，是减函数，则（千元），∵，则该园区第30天的旅游收入最低，为1116千元.16．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这水果的时常售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润（单位：元）.(1)求的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)4，480元.【分析】（1），代入分段函数化简即可；（2）结合二次函数性质及基本不等式求分段函数最值即可.【详解】（1）；（2），当时，；当时，，当且仅当时等号成立.由得当时，.所以当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是480元类型三：复合函数类型三：复合函数17．己知函数，m为实数．(1)当时，求的值域；(2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围．【答案】(1)(2).【分析】（1）根据题意，令，转化为二次函数的值域问题，即可得到结果；（2）根据题意，将问题转化为，然后分，以及讨论，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）当时，，令，因为，则，所以，其中，则时，，时，，即，所以的值域为（2）因为，其中，令，则，且在上单调递减，当时，，所以，因为对任意的，总存在，使得成立，则，所以在上恒成立，令，因为，则，即在上恒成立，即在上恒成立，而在为减函数，在为增函数，且，，故，故.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是转化为，然后再转化为含参二次函数分类讨论问题.18．已知定义在上的函数．(1)已知当时，函数在上的最大值为8，求实数的值；(2)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】（1）运用换元法，结合指数函数的单调性、二次函数最值性质进行求解即可；（2）运用题中定义，结合常变最分离法、指数幂的运算性质、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）令，则：，设，由题意，在上的最大值为8，因为，二次函数开口向上，因此有，或，由不成立，由；（2）根据局部对称函数的定义可知，，即，，，令，则，因为，当且仅当，时等号成立，函数在区间上单调递增，所以，所以，所以的取值范围是．【点睛】关键点睛：本题的关键是运用常变量分离法、运用指数幂的运算性质、利用基本不等式进行求解.19．已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若且，试比较与的大小关系；(3)令，若在R上的最小值为，求m的值．【答案】(1)；(2)；(3)1.【分析】（1）把代入，结合一元二次不等式及指数函数单调性求解不等式即得.（2）利用差值比较法，结合基本不等式判断出两者的大小关系.（3）利用换元法化简的解析式，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的值.【详解】（1）当时，函数，不等式化为，即，解得，则，所以不等式的解集为.（2）依题意，，由，得，又，则，因此，所以.（3）令，，则，于是，而，当且仅当，即，时取等号，当，即时，则当时，取得最小值，，矛盾；当，即时，则当时，取得最小值，解得，则，所以m的值是1.【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.20．已知函数.(1)求关于的不等式的解集；(2)已知函数，若的最小值为，求满足的的值.【答案】(1)(2)0或2【分析】（1）消去后直接解不等式即可；（2）将代入的表达式中，整理进行换元可将表达式整理成一个含参的二次函数在定区间的最值问题，可求出的最小值为后解方程即可.【详解】（1）由题意：，得，所以，得.故不等式的解集为：.（2）由题意得，令，因为，所以.设函数，.当，即时，在上单调递减，在上单调递增.所以，得或（舍去）.当，即时，在上单调递增，所以，得或（舍去）.综上，的值为0或2.【点睛】复合函数求最值要多注意换元法，可以考虑从里层函数往外剥洋葱一样的方式一层一层往外求；含参的二次函数在定区间的最值，一般都需要分类讨论，讨论顶点横坐标和区间的位置关系.21．已知函数．(1)当，，时，求函数的值域；(2)若，存在，使，求的取值范围；(3)若存在，使，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用换元令，将函数转化为二次函数，根据二次函数求最值，即可得函数的值域；（2）存在，使，转化为含参方程有解，参变分离后得，根据函数单调性求函数的取值范围，即得的取值范围；（3）若存在，使，则得，将转化为关于的二次函数，根据二次函数求最小值为，再根据其单调性得最小值.【详解】（1）解：，，则，，令，则，则在上单调递增所以，故函数的值域为；（2）解：由有即，所以令，，，则单调递增所以，（3）解：令，，

所以令，则在上递增，所以.所以.类型四：组合函数类型四：组合函数22．已知函数．(1)判断函数的奇偶性；(2)判断并证明函数在其定义域上的单调性，并求函数在区间上的值域．【答案】(1)奇函数(2)单调递增，证明见解析;值域为.【分析】（1）由与的关系判断奇偶性;（2）由函数定义法判断函数的单调性,利用单调性求解在的值域.【详解】（1）因为的定义域关于原点对称,且,所以为奇函数;（2）在上单调递增.证明如下：设是上的任意两个实数,且,则,因为函数在上单调递增,所以,故,所以,所以在上单调递增,因为,所以,,故的值域为.23．已知函数.(1)证明函数为偶函数；(2)对于，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先分析的定义域，然后根据的关系进行判断即可；（2）将问题转化为“”，利用基本不等式求解出，则的范围可求.【详解】（1）的定义域为，且定义域关于原点对称，又因为，所以为偶函数；（2）因为，且，所以，当且仅当时取等号，所以，又因为，恒成立，即，所以，解得或，所以的取值范围为.24．已知函数，.(1)证明：为偶函数；(2)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据偶函数的定义证明即可；（2）首先得到，令，则，，根据二次函数的性质分类讨论，分别计算可得；【详解】（1）证明：定义域为，，即为，则为偶函数；（2）解：，当时，，令，则，，当时，即，在上单调递增，所以时，，解得，当时即，时，，解得：不成立；当时，即，在上单调递减，所以时，，解得不成立．故存在满足条件的．25．已知函数．(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)判断的单调性，并用定义法给予证明．【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)是上的增函数.，证明见解析【分析】（1）利用奇偶性的定义进行证明；（2）结合指数函数单调性及复合函数单调性法则判断，再利用单调性的定义进行证明.【详解】（1）因为的定义域是，且当时，，故是奇函数；（2）变形得，令，则，因为在上是增函数，，又在上是单调递增，所以是增函数，下面用定义法证明：任取两个实数，，且，则，因为，所以，所以，又，所以，即，故是上的增函数.26．已知函数且.(1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性；(2)证明函数在上是增函数.【答案】(1)是奇函数，证明过程见解析；(2)证明过程见解析.【分析】（1）先求出函数的表达式，再利用奇偶性的定义即可判断；（2）根据单调性的定义进行证明即可.【详解】（1）函数在其定义域上是奇函数，证明过程如下.证明：函数且，即的定义域为，关于原点对称又函数在其定义域上是奇函数（2）证明：设，，且，则又，，即函数在上是增函数.27．已知函数.(1)证明函数为偶函数；(2)对于，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先分析的定义域，然后根据的关系进行判断即可；（2）将问题转化为“”，利用基本不等式求解出，则的范围可求.【详解】（1）的定义域为，且定义域关于原点对称，又因为，所以为偶函数；