新教材数学人教A版作业5-4-2第2课时正弦函数余弦函数的性质（二）

第五章5.4.A组·素养自测一、选择题1．y＝2sinx2的值域是(A)A．[－2,2] B．[0,2]C．[－2,0] D．R[解析]∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，∴y＝2sinx2∈[－2,2]．2．函数y＝4sin(eq\f(π,6)x－eq\f(π,6))(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(D)A．0 B．－3C．－2－eq\r(3) D．4－2eq\r(3)[解析]∵0≤x≤9，∴－eq\f(π,6)≤eq\f(π,6)x－eq\f(π,6)≤eq\f(4π,3)，∴sin(eq\f(π,6)x－eq\f(π,6))∈[－eq\f(\r(3),2)，1]，所以函数的值域为[－2eq\r(3)，4]，故最大值与最小值之和为4－2eq\r(3)，故选D.3．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是(C)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))[解析]画出y＝|sinx|的图象即可求解．故选C.4．已知函数f(x)＝－cosx，下列结论错误的是(D)A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间[0，eq\f(π,2)]上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数[解析]本题考查余弦函数的性质．∵f(x)＝－cosx的图象即为函数f(x)＝cosx的图象绕x轴翻折而成的，∴A，B，C均正确，函数f(x)应是偶函数，故选D.5．三个数coseq\f(3,2)，sineq\f(1,10)，－coseq\f(7,4)的大小关系是(C)A．coseq\f(3,2)>sineq\f(1,10)>－coseq\f(7,4)B．coseq\f(3,2)>－coseq\f(7,4)>sineq\f(1,10)C．coseq\f(3,2)<sineq\f(1,10)<－coseq\f(7,4)D．－coseq\f(7,4)<coseq\f(3,2)>sineq\f(1,10)[解析]sineq\f(1,10)＝cos(eq\f(π,2)－eq\f(1,10))，－coseq\f(7,4)＝cos(π－eq\f(7,4))．∵π>eq\f(3,2)>eq\f(π,2)－eq\f(1,10)>π－eq\f(7,4)>0，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，∴coseq\f(3,2)<cos(eq\f(π,2)－eq\f(1,10))<cos(π－eq\f(7,4))，即coseq\f(3,2)<sineq\f(1,10)<－coseq\f(7,4).6．(2021·全国新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin(x－eq\f(π,6))单调递增的区间是(A)A．(0，eq\f(π,2)) B．(eq\f(π,2)，π)C．(π，eq\f(3π,2)) D．(eq\f(3π,2)，2π)[解析]因为函数y＝sinx的单调递增区间为(2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)，对于函数f(x)＝7sin(x－eq\f(π,6))，由2kπ－eq\f(π,2)<x－eq\f(π,6)<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得2kπ－eq\f(π,3)<x<2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3))，则(0，eq\f(π,2))⊆(－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3))，(eq\f(π,2)，π)⊄(－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3))，A选项满足条件，B不满足条件；取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(eq\f(5π,3)，eq\f(8π,3))，(π，eq\f(3π,2))⊄(－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3))且(π，eq\f(3π,2))⊄(eq\f(5π,3)，eq\f(8π,3))，(eq\f(3π,2)，2π)⊄(eq\f(5π,3)，eq\f(8π,3))，CD选项均不满足条件．故选A.二、填空题7．函数y＝sinx，x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)]的值域为[－eq\f(\r(3),2)，1].[解析]y＝sinx在[－eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]上为增函数，在[eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)]上为减函数，当x＝－eq\f(π,3)时，y＝sinx有最小值－eq\f(\r(3),2)，当x＝eq\f(π,2)时，y＝sinx有最大值1，所以值域为[－eq\f(\r(3),2)，1]．8．已知函数f(x)＝ax＋bsinx＋1，若f(2015)＝7，则f(－2015)＝－5.[解析]由f(2015)＝2015a＋bsin2015＋1＝7，得2015a＋bsin2015＝6，∴f(－2015)＝－2015a－bsin2015＋1＝－(2015a＋bsin29．函数y＝eq\f(2＋cosx,2－cosx)的最大值为3.[解析]由y＝eq\f(2＋cosx,2－cosx)，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝eq\f(2y－2,y＋1)(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤eq\f(2y－2,y＋1)≤1，解得eq\f(1,3)≤y≤3，所以函数y＝eq\f(2＋cosx,2－cosx)的最大值为3.三、解答题10．求下列函数的单调区间．(1)y＝cos2x；(2)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).[解析](1)函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②解①得，kπ－eq\f(π,2)≤x≤kπ(k∈Z)，解②得，kπ≤x≤kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)、eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．(2)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))化为y＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).∵y＝sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)．∴函数y＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定2kπ＋eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z) ①2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z) ②解①得，2kπ＋eq\f(3π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(7π,4)(k∈Z)，解②得，2kπ－eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)．故函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的单调增区间、单调减区间分别为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,4)，2kπ＋\f(7π,4)))(k∈Z)、eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,4)，2kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)．11．求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．(1)y＝－sin2x＋eq\r(3)sinx＋eq\f(5,4)；(2)y＝cos2x－sinx，x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]．[解析](1)y＝－sin2x＋eq\r(3)sinx＋eq\f(5,4)＝－(sinx－eq\f(\r(3),2))2＋2.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝eq\f(\r(3),2)，即x＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)或x＝2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝2；当sinx＝－1，即x＝2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝eq\f(1,4)－eq\r(3).(2)y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－(sinx＋eq\f(1,2))2＋eq\f(5,4).因为－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，所以－eq\f(\r(2),2)≤sinx≤eq\f(\r(2),2)，所以当sinx＝－eq\f(1,2)，即x＝－eq\f(π,6)时，函数取得最大值，ymax＝eq\f(5,4)；当sinx＝eq\f(\r(2),2)，即x＝eq\f(π,4)时，函数取得最小值，ymin＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(2),2).B组·素养提升一、选择题1．下列函数中，周期为π，且在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上为减函数的是(A)A．y＝sin(2x＋eq\f(π,2)) B．y＝cos(2x＋eq\f(π,2))C．y＝sin(x＋eq\f(π,2)) D．y＝cos(x＋eq\f(π,2))[解析]C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、D；B项中y＝cos(2x＋eq\f(π,2))＝－sin2x，该函数在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上为增函数，不合题意；A项中y＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x，该函数符合题意，选A.2．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝eq\f(π,8)对称，则φ可能是(D)A．eq\f(π,2) B．－eq\f(π,4)C．eq\f(3π,4) D．eq\f(π,4)[解析]由题意，当x＝eq\f(π,8)时，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)＋φ))＝±1，故eq\f(π,4)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得φ＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．当k＝0时，φ＝eq\f(π,4)，故φ可能是eq\f(π,4).3．(多选题)对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中错误的是(ACD)A．f(x)在(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2[解析]因为函数y＝sinx在(eq\f(π,2)，π)上是单调递减的，所以f(x)＝sin2x在(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))上是调递减的，故A错误；因为f(－x)＝sin2(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误．4．(多选题)设函数f(x)＝cos(x＋eq\f(π,3))，则下列结论正确的是(ABC)A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(8π,3)对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝eq\f(π,6)D．f(x)在(eq\f(π,2)，π)上单调递减[解析]函数的周期为2kπ，当k＝－1时，T＝－2π，故A正确；当x＝eq\f(8π,3)时，cos(x＋eq\f(π,3))＝cos(eq\f(8π,3)＋eq\f(π,3))＝cos3π＝－1为最小值，故f(x)的图象关于直线x＝eq\f(8π,3)对称，B正确．f(eq\f(π,6)＋π)＝cos(eq\f(π,6)＋π＋eq\f(π,3))＝coseq\f(3π,2)＝0，则f(x＋π)的一个零点为x＝eq\f(π,6)，C正确．当eq\f(π,2)<x<π时，eq\f(5π,6)<x＋eq\f(π,3)<eq\f(4π,3)，此时f(x)不单调，故D错误．因此选ABC.二、填空题5．y＝eq\r(sinx)的定义域为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，单调递增区间为[2kπ，2kπ＋eq\f(π,2)]，k∈Z.[解析]∵sinx≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝eq\r(sinx)在[0，eq\f(π,2)]上单调递增．∴其递增区间为：[2kπ，2kπ＋eq\f(π,2)]，k∈Z.6．(2021·江苏镇江高一期末)已知函数f(x)＝2ksinx＋3，若对任意x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(π,6)]都有f(x)≥0恒成立，则实数k的取值范围为[－3,3].[解析]由x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(π,6)]得sinx∈[－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]．当k≥0时，－k＋3≤2ksinx＋3≤k＋3，由f(x)≥0得－k＋3≥0，解得0≤k≤3；当k<0时，k＋3≤2ksinx＋3≤－k＋3，由f(x)≥0得k＋3≥0，解得－3≤k<0.综上所述，k的取值范围是[－3,3]．7．函数y＝sin2x＋sinx－1的最大值为1，最小值为－eq\f(5,4).[解析]令t＝sinx∈[－1,1]，y＝t2＋t－1＝(t＋eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)(－1≤t≤1)，显然－eq\f(5,4)≤y≤1.三、解答题8．已知函数y＝sin(eq\f(π,3)－2x)．(1)求函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．[解析]y＝sin(eq