2023年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学

【高考真题】2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学

阅卷人

、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

得分

1.(2023•天津卷)已知集合[/={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},则()

A.(1,3,5}B.{L3}

C.[1,2,4}D.(1,2,4,5)

2.（2023•天津卷）“次=产，是+庐=2时，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

3.（2023•天津卷）若。=1.01。5,b=1.O106,c=0,6OS»则a,b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

4.（2023•天津卷）函数/（%）的图象如下图所示,则/（%）的解析式可能为（)

D5sinx

D•

X2+l

5(e-+eT)「5cosx

cD.-5----

X2+2%2+1

5.（2023•天津卷）已知函数f（%）的一条对称轴为直线1=2,一个周期为4,则/（%）的解析式可能为

)

77

A.sin(^-x)B.cos(^x)C.sinQx)D.cos6%)

6.（2023•天津卷）已知｛即｝为等比数列，Sn为数列｛即｝的前葭项和，0n+i=2Sn+2,则04的值为（)

A.3B.18C.54D.152

7.（2023・天津卷）调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245,下列

说法正确的是（）

A.花瓣长度和花萼长度没有相关性

B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关

C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关

D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245

8.（2023•天津卷）在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM=qPC,线段PB上的点N满足PN=

|PB,则三棱锥P—4MN和三棱锥P-4BC的体积之比为（）

A-B-C-D-

八・9939

9.（2023•天津卷）双曲线与一4=1。>0,b>0）的左、右焦点分别为F2.过七作其中一条渐近线

的垂线，垂足为P.已知PF2=2,直线P0的斜率为军，则双曲线的方程为（）

4

Ax2y2

BIC.y2D%2y1-1

A.専一彳=1,N=T-T-1

阅卷人

二'填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空

得分的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

10­（2。23•天津卷）已知i是虚数单位，化简弊的结果为--------------

11.（2023•天津卷）在（2炉一1）6的展开式中，/项的系数为

12.（2023•天津卷）过原点的一条直线与圆C：（%+2）2+y2=3相切，交曲线y2=2px（p>0）于点P,若

|OP|=8,贝。的值为

13.（2023•天津卷）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5：4：6.这三个盒子

中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的

概率为；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为

14.(2023•天津卷)在△ABC中，乙4=60。，BC=1,点。为AB的中点，点E为CD的中点，若设布=落

AC=b，则荏可用落石表示为;若苏5=3说，则荏.希的最大值为.

15.(2023•天津卷)若函数/(%)=a/一2%一|%2一数+1|有且仅有两个零点，则a的取值范围

为.

阅卷人

三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程

得分或演算步骤.

16.(2023•天津卷)在4/BC中，角4B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=闻，b=2,乙4=

120°.

(1)求sinB的值；

(2)求c的值；

(3)求sin(B-C).

17.(2023•天津卷)三棱台/BC-AiBiQ中，若4遇丄面厶BC,ABLAC,AB=AC=AAX=2,41Gl=

1,M,N分别是8C,BA中点.

(1)求证：&N〃平面Ci"4

(2)求平面QAM与平面4CG4所成夹角的余弦值；

(3)求点C到平面CiMA的距离.

18.(2023•天津卷)设椭圆与+4=l(a>b>0)的左右顶点分别为A2>右焦点为凡已知|4/|=

3,\A2F\=1.

(1)求椭圆方程及其离心率；

(2)已知点p是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线42P交y轴于点Q，若三角形&PQ的面积是三角

形/2FP面积的二倍，求直线42P的方程.

19.(2023•天津卷)已知｛%｝为等差数列,a2+a5=16,a5-a3=4.

(1)求｛的3的通项公式和£［；宀-1见.

I-Z

(2)已知｛3｝为等比数列，对于任意k€N*,若2»1WnS2厶—1，则氏<%<甲+i，

(I)当k22时，求证：2卜一1<%<21+1;

(II)求｛d｝的通项公式及其前n项和.

20.(2023・天津卷)已知函数/(X)=©+｝ln(x+1).

(1)求曲线y=/(%)在x=2处切线的斜率；

(2)当x>0时，证明：/(x)>1；

(3)证明：1<ln(n!)—(n+^)ln(n)+n<1.

答案解析部分

L【答案】A

【解析】【解答】：U={1,2,3,4,5),4={1,3},B=[1,2,4},

：.CuB=[3,5},

：.QuB\JA={1,3,5卜

故选：A.

【分析】结合补集和并集对有限集运算.

2.【答案】B

【解析】【解答】由a?=用oa=±b，a2+b2=2aba=

故由a?+b2=2ab可以推出a?=

.,.V=是％2+経=2ab”的必要不充分条件.

故选：B.

【分析】根据已知条件化简结合条件的判断即得答案.

3.【答案】D

【解析】【解答】由指数函数y=1.0产在R上单调递增，

故1.01°6>1.01。・5>1,01。，即b>a>l,

由基函数y=%°5在[0,+8)上单调递增，

故0.60,5<1。5,即C<1,

/.&>a>c,

故选：D.

【分析】由a、b同一底数结构可利用指数函数单调性比较大小，结合特殊值1即可得出答案.

4.【答案】D

【解析】【解答】根据图象可知该函数为偶函数，

^(e-x_ex\

对A,/(-x)=；/=-/(X),故该函数为奇函数，不符合题意，错误；

(T)2+2

对B,-%)=咨与?=-/(%),故该函数为奇函数，不符合题意，错误；

(T)+1

对c,f(%)=5(e*T)5x2*r=>0,故此函数函数值均为正数，不符合题意，错误；

八)X2+2X2+2X2+2

故选：D.

【分析】由函数结合奇偶性判断可排除A、B,对C得特殊结构利用基本不等式得出函数值为大于。可

排除，从而得岀答案D.

5.【答案】B

【解析】【解答】；T=4,

.•.3=竿=占故c、D不符合题意，错误；

对A,其对称轴为Jx=J+2kn(kez),解得x=1+2k(kez),

故此时对称轴为奇数，不满足对称轴直线x=2,不符合题意，错误；

对B,其对称轴为gx=2/OT(/Cez),解得x=2k(kGz),

故此时对称轴为偶数，满足对称轴直线x=2,符合题意；

故选：B.

【分析】由正余弦函数周期算法排除CD,再根据对称轴求法排除A检验B.

6.【答案】C

【解析】【解答】,：an+1=2Sn+2......①，

,,an~2Sn_]+2......(2)

由①一②得，«n+i-=2(Sn-Sn_!)=2an,即#7=3,

.\｛an｝公比为3,

当n=l时，a2=2Si+2=2cii+2=3%,解得西=2,

«4=«1<?3=2x3，=54，

故选：C.

【分析】由递推公式即与S”关系得出数列也4｝公比为，再由递推公式当n=l时，的=另求出首项即得

。4的值•

7.【答案】C

【解析】【解答】根据散点图的数据显示，花瓣长度和花萼长度呈现正相关，故A、B错误，C正确；

由散点图相关系数反应总体数值的趋势走向，部分数值则在相关系数左右波动，

故若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245,故D错误，

故选：C.

【分析1由散点图与相关系数的定义得出答案.

8.【答案】B

【解析】【解答】如图，

p

设4BPC=e,PB=3a,PC=3b,

PM=gpC,PN=刍PB，

:.PN=2a,PM=b,

“MN=S^PMN=毋N.PM.sinH=2axb=2

VP-ABCSaBC^PB-PC-smQ3ax3b9'

故选：B

【分析】利用同高将三棱锥体积之比转化成底面积之比，由已知两三角形边存在数量关系易联想正弦定

理求三角形面积得出底面积之比.

9.【答案】D

【解析】【解答】如图所示，设Fi(—c,0),尸2(的0).

若渐近线为y=可知P点在第四象限，与直线PFi的斜率为正数矛盾,

故此渐近线为y=2%,^ibx-ay=0,

222

•'•y=，,OP-Jof2~PF2?=Vc—b-a，

设P(at,2t)(t>0),贝U(at)2+(2t)2=a2.解得t2=jL=4,即t=g

a"+4c"c

v2a2a42「

旭/=蓝匚=西芯=诉=4,解得a=企,

••.a2=2,属=4，所以双曲线的方程为%[=1，

故选：D.

【分析】结合图象分析由PF?=2结合点到直线距离公式得出b值，易分析此时P点位置可用系数a、

b、c表示，进而结合KF%=?与基本关系。2=凉+反消元解关于a的方程得出双曲线标准方程.

10.【答案】4+i/i+4

5+14i_(5+14i)(2-3i)52+13i

【解析】【解答】

2+3i=(2+3i)(2-3i)-13

故答案填：4+i/i+4

【分析】由复数乘除运算化简得出答案.

11.【答案】60

6

【解析】【解答】由(2%3_1),则通项G+1=爲•(2炉)6一.(_》r=(_1)r.爲.26T,x18-4r,

当18-4r=2,即r=4,此时系数(一1尸•體■26-4=1x15X4=60.

故答案填：60.

【分析】根据二项式定理得出通项，整理代入即得小项的系数.

12.【答案】6

【解析】【解答】由C：(久+2)2+必=3,易得圆心.，(一2,0),半径，R=a,

结合焦点在x轴上的抛物线y2=2Px(p>0)可知圆与抛物线均关于x轴对称，

故不妨设过原点的直线为令y=kx(k>0),即kx-y=0,如下图所示，

Vy=kx(k>0)与圆相切，

・・・7钎=，3,解得k=百，

卜+1

设点P(3V3t)(t>0),由|OP|=8,

则］产+(bt)2=8,解得t=4,即p(4,4V3).

将P点代入y2=2px(p>0)得(dVS，=2x4p>解得P=6.

故答案填：6.

【分析】由圆与直线相切转化为圆心到直线距离为半径列出方程求出直线解析式，结合两点间距离公式

代入得出p的值.

13.【答案】-L；|

【解析】【解答】第一空：由分步乘法原理得三个球都是黑球的概率为：40%x25%x50%=去；

第二空：由三个盒子总数之比为5：4：6,可设三个盒子中球的数量分别为5x,4x,6x,则总球数为：

15x；

黑球总数为5xx40%+4%x25%+6%x50%=6%,

白球的数量为9x,故任取一球是白球的概率为：留=春

故答案填：暴.

【分析】由分步乘法原理计算都拿到黑球的概率，根据黑球所占比例可进一步算出白球所占总球数的比

例得出答案.

14.【答案】爾+资

【解析】【解答】如图所示,

c

第一空：：点。为力B的中点，点E为CD的中点

1-

•'-AD=»B，

由平行四边形法则易得族=：（屍1+ZD）=3辰+/届=蓊+/

第二空：由：丽=金丽,

T1T

；.BF=诃，

•'-AF=AB+BF=AB+^BC=AB+^（BA+AQ=鈕+蓊

，出/=僚+副.単+蓊）=胴+|b|+^|«|bcosZJ4=g|a|+||b+/冋%

又,：厶A=60°,BC=1,

同+\bI—11t2-»2

根据余弦定理得：COSZ71=J.L,=即冋•b=冋+b-1

2Plrl

|->|2t2

a+b

又.•・口r<\\'

I叩b2—

2-2

•.洞2+@-w?，解得冋，限2，

,,即（+纲+贪冋问=胴，纲+言（W+阿T）=W（冋2+阿）一言時

故当且仅当同=忖时，視通的最大为身

故答案填：JI

【分析】根据题意，将其中两边视为基底向量，由平行四边形法则易表示AE-,同理利用基底向量可表

示力F，进而表示荏•赤，表示后的结构易联想到使用基本不等式求其最大值，由基底夹角结合第三边

BC=1可联想使用余弦定理得出平方和与乘积的等量关系，消元且使用基本不等式可求得荏.赤的最大

值.

15.【答案】(一8,0)U(0,1)U(1,+00)

【解析】【解答】令/(%)=ax2-2x-\x2-ax+1|=0,

①当％2-ax+1>0时,

BPax2—2x—(%2—ax+1)=0,整理得［(。-1)%—l］(x+1)=0,

a)若％=—1是函数零点，贝1」(一1)2—ax(—1)+130,解得a3一2；

b)若Q=1,此时％2一%+1=(%一；)2o,即方程［(。-1)%-1］(%+1)=0只有一个解x=-l,

c)若a。1,方程整理得％1=白y,x2=-1

i)此时若x=工是函数零点，则(工)2—(1*(工)+120，解得aW2；

a-1va-lyka-l7

ii)若<=一1,即a=0,且/+1丄0成立，此时方程为重根，

a—1

同理②当/-a%+1<0时，

BPax2-2%+(x2-ax+1)=0,整理得［(a+l)x-l］(x-1)=0,

a)若％=1是函数零点，则1?一a+lvo,解得a>2；

b)若Q=-l,此时％2+%+1=(%+；)2+*30,与％2一Q%+1v0矛盾，

c)若a工—1,方程整理得Xi=Wy,外=1

i)此时若％=士是函数零点，则(上)2-。、(士)+1V0,解得@<一2；

")若Wl=1，即a=0，则”?+120与/-ax+1<0矛盾，

综上，

(1)当a<-2时，此时％=士使得/一。％+1<0成立，是函数零点；y=工使得/一。％+120也是

函数零点，

即当a<—2时，函数零点分别是^工；

a+1a—1

(2)当一2Wa<0,0<a<1,1<aW2时，函数零点分别是-1,工：

a—1

(3)当。=0时-，函数零点是工(一1),此时不满足题意，舍去；

(4)当a=1时，函数零点分别是-1,此时不满足题意，舍去；

(5)当a>2时，函数零点分别是1,-1；

当函数/(%)=ax2-2%-|x2-ax+1|有且仅有两个零点时，；

故答案填：(-8,0)U(0,1)U(1,+00)

［分析］令/(%)=0将零点转化成方程根问题，不妨先分类%2—ax+120与必一ax+1<0去绝对值

得到含参一元二次方程，对根的情况分析且检验是否满足分类前提得岀零点存在时参数a的取值，对以

上参数a分类整理即可得出答案.

16.【答案】(1)*.*a=A/39»b=2,乙4=120°,

根据正弦定理a_b

sinzJl-sinz.B

,,门bsin乙4

**sin5=----a----

(2)同理，根据余弦定理得

a2=h2+c2-2bccosZj4，代入已知条件得39=4+c2+2c,

Vc>0,解得c=5.

(3)由(1)得sinB=

又,：LA=120°,

・"8€(0,60°)

••coszF=V1—sin2zB=耳羿

・o114、尺

・・cos2B=1—2sin2B=sin2B=2sin5cosB=

丄J丄3

，sin(B-C)=sin[B-(180°—A—B)]=—sin(4+2B)=-sinAcos2B-cosAsin2B=-^yx1|+1x

473_-7>/3

~13：=~~26~

••sin(B—C)=

【解析】【分析】(1)由已知结合正弦定理可直接求得对边正弦值；

(2)由已知条件结合余弦定理可列出二元一次方程求得第三边c的值；

(3)由(1)结合三角形内角和与诱导公式可将(B-C)转化成已知角(A+2B),在(1)的基础上利用同角三角基本

关系与二倍角公式可求得2B的正余弦值，进而由正弦和角公式代入求得答案.

17.【答案】(1)证明：连接MN,

在三棱台ABC-Ci中，

41GIIAC,

N分别是BC,BA中点，且AB=AC=44i=2,ArCr=1

:.MN||AC,MN=\AC=1,

，MN||&G，MN=A©

•••四边形是平行四边形

又,.FiNC平面RAM,C\Mu平面CiM4

.•.必可//平面。1用4

（2）解：连接ZG，过点的作的。丄厶C交AC于点D,过点D作DE丄AC1交AQ于点E,连接MD,

ME,

若力遇丄面ABC,且M。u面ABC,

：.AXA1MD,AXA1AC,

又."1。1AC,

二四边形力为矩形，

：.AD=&G=1=^AC,

AB1AC,

：.MD||AB,

：.MD1AC,MD丄DE且ACClAAi=4,

.♦.MD丄面力i/CCi，

：.MDLACr,且DE丄AC】，MD^DE=D

；.ACi丄面MDE,

：.MElACi，

平面CiMA与平面厶所成夹为4MED,

由AB=AC=AA1=2,A1C1=1,

・"1。=底AD=1,Ci。=2,

•SA4℃]_2病

5

^­AC1

在RtAMDE中，易得MD=2AB=1

.,__________ofc

••ME=y/MD24-DE2=-

.：cos乙MED=箱=|

...平面CiMA与平面ACC14所成夹角的余弦值为|.

，

由⑵得MD丄面Ai/CCiSAAMCI=”C「ME=9,

1

S"CiC=2,ZC・Ci。=2

,*•^C-AC1M=丿M-ACC1，设点C到平面C1MA的距离为d,

4

=-

即WxSMCIMxd=可xS△厶goxDM==1’解得d3

.•.点C到平面C1MA的距离为3

【解析】【分析】(1)根据中点及已知数值的倍数关系结合图形，易想到利用中位线证明平行四边形

AGMN,故而得到&N||0M,从而证明&N〃平面的MA；

(2)由已知中点与线面垂直结合三垂线定理找出二面角所在平面角，利用解三角形求出各边长即可得出平

面角的余弦值.

(3)将点C到平面的距离转化成求三棱锥C-CiMA的高，利用等积即可求解.

18.【答案】(1)解：=3,|i42F|=17

：.2a=\AXF\+\A2F\=4,即a=2,

此时c=a-\A2F\=2-1=1,

h2=a2—c2=3>

椭圆的方程为4+*=1，离心率为e=

43ClZ

(2)解：由⑴得,A2(2,0)，4i(-2,0).F(l,0),

设直线&P的解析式为％=ky+2,此时Q点易得(0,-3

'%2y2

联立4+"T-1,整理得(3/+4)y2+12/cy=0,SPy[(3fc2+4)y+12k]=0

,x=fcy4-2

12k

Ay=一

P37+4,

6k

SAA?FP=xAFx\y\=

2p3k2+4

12/c

SJiPQ=S.&Q-SA4M2Q=2XX"-y|=2

p+-2------

3k+4

•.•三角形&PQ的面积是三角形&FP面积的二倍

•A|号|=2卜介論整理得|6必|=16k2-8|,

O/vIT,O/vIT,

解得k=±爭

...直线42P的解析式为x=±萼y+2，

即3x+V6y-6=0或3x—V6y-6=0.

【解析】【分析】⑴由|公尸|=3,協尸1=1得长轴2a=4,c=l,结合椭圆基本性质易得其方程与离心

率；

(2)由42P直线过X轴&(2,0)一点，可设直线％=/cy+2,得出yp=一——,进而表示出三角形41PQ

3k+4

与三角形&FP面积，利用等量关系可求得k值，即得直线42P的方程.

19•【答案】(1)解：设等差数列｛a4｝的首项为由,公差为d,

1・。2+。5=2。1+d=16,旳一。3=2d=4.

解得：d=2,旳=3

，｛&i｝通项公式为，=%+(几一l)d=2n+1

由求和项数为(2n-1)-2nt+1=2nt,

n2n2

,q为a,=2TX(2X2"T+1)+2"地？〜0X2=22n-l+22n-2=3x2-=3X4吁1

⑵(I)由⑴0n=2n+l,

<n<2fc-l.

:.江+1<2n+1<2fc+1-1,即2k+1<a„<2fc+1-1,

由•:bk<a„<bk+i>

♦♦M<2卜+1Sa”S2*1-1<bk+i，

fcfe+1

：.bk<2+1,2-1<bk+1，即2"-1<瓦，(k>2)

k

故2"-l<bk<2+l(k>2)；

证毕！

(II)由(1)得，2"—1<既<2"+15丄2),贝1J,3cb2<5

设｛“｝的公比为q,

则薪!<锣<美A即2-爲<q<2+马恒成立,

33

当71T+8，则2启if1T3

.•.此时为使q在实数范围内恒成立，q=2,

n2

此时bn=b2-q-=b2-2n-2

同理，由2n—l<bn<2n+l(nN2)

...2n-1<勿-2"2<2"+1

•察*〈碧,即4一号<与<4+舟恒成立，

故匕2=4,

n-2n

.*.hn=b2-2=2,

・二瓦=2,

...S-滓户=2+-2

【解析】【分析】(1)利用通项公式将已知等差数列各项的关系转化为首项与公差的方程组，进而解方程组

得出通项公式；利用等差数列通项公式结合求和符号及其意义代入计算得出£[〉乙《；

nnn+1

(2)根据题意易得2-l<hn<2+l(n>2),从而为分析q与首项，即得屮十1—1<bn+1<2+

1.从而结合不等式恒成立分析得出q的值；结合n的取值此处分析。2,同理，通过不等式恒成立分析即

可得出.

20.【答案】(1)解：由/(%)=C+^)ln(x+1)得f'(x)=~ln(x+1)+G+*)(x>-l且x/0).

二k=r(2)=_竽+4

故曲线y=/(%)在x=2处切线的斜率A竽

(2)解：要证/(久)>1,即证/(%)-1=C+3ln(K+1)-1>0,

Vx>0,

即证(%+2)ln(x+1)—2%>0,

令9(%)=(%+2)ln(x+1)—2%

i

•WO)=ln(x+1)+布-1

g〃(x)=7T^>01

(x+l)

在(0,+8)上单调递增，在(一1,0)上单调递减，且g'(0)=0,

.•.g(x)在(0,+8)上单调递增，此时g(0)min=。，

，g(x)>9(0)，即g(%)>0，

证毕

(3)解：令九(九)=ln(7t!)—(几+])ln(7i)+n(n>0且+WN*),

则有九(九+1)=ln[(n4-1)/]-(n4-^)ln(n+1)+九+1,

1ai1

••h(n+1)—h(n)=ln(zi+1)+(n+2)ln(zi)—(n+])ln(九+1)+1=—(n+^)ln(-+1)+1,

令"nf则9⑷=-G+2)皿*+1)+1，

由⑵得一(1+J)ln(t+1)+1<0,

.\h(n+1)—h(n)<0,

即在定义域范围内单调递减,

此时九(n)ma%=h(1)=1,

・••有h(n)<1,即证得ln(n!)—(九+^)ln(n)+n<1；

由(2)得，当一1V%V0,(%+2)ln(x+1)—2%V0,则(％+l)lnx-2(%-1)<0,xG(0,1)

构造W(%)=(^%2+x)lnx—+x，

则W'(X)=(%+l)lnx—2(%—1)V0,

.'."(%)在％C(0,1)上单调递减，则有0(%)〉W(l)min=-"

即8%2+x)lnx—和2+%>―/,

5X2_X_1

整理得Inx>『一

^x2+x

.]九、6九+1

,,lnn+T>-27x(371+2),

_(n+J)ln(i+1)+1=(n+j)ln(^)+1>(n+1)[-2語意J+匕

-=

整理得+1)-h(n)>-4n(3n+2)>4n(3n-3)~Tz'^1(^4)=一条(岩Y)，

二h(n)-h(n-l)>-^-告),

帅_1)_h(n_2)>一张仁一与)，

111

--

h(3)-h(2)>-12

121

h(2)-h(l)>-20

累加得：h(n)-h(l)>-^(1--

即帅)>弗+^F/

综上所述，1<ln(n!)—(n+$ln(M)+nWL

【解析】【分析】(1)对y=/(%)求导，此时函数/(久)在％=2切线斜率，即为在该点处的导数；

(2)为证明/(x)>1,整理式子结构即证g(x)=(久+2)ln(x+1)-2x>0,结合求导对g(x)单调性进行

分析得出答案；

(3)构造/i(n)=ln(n!)-(n+1)ln(n)+n，由阶乘(n!)与对数运算联想构造九O+1)作差去阶乘符号得

出九(?1+1)—h(ri)=一(n+3in(丄+1)+1»将函数单调性问题转化成g(t)=—ln(t+1)+1的

正负性问题，求导分析得证Mn)单调递减，易得出此时上限h(n)<1；为证明其下限可结合(2)中结论对

对数部分进行不等式放缩，逆构造0(%)=8/+x)lnx-*/+x，得出m后〉-謠荘力，进而由

h(n+1)-八(死)进行再裂项结合累加求和得证九5)下限；

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：150分

客观题（占比）45.0(30.0%)

分值分布

主观题（占比）105.0(70.0%)

客观题（占比）9(45.0%)

题量分布

主观题（占比）11(55.0%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题：本大题共6

小题，每小题5分，

共30分.试题中包

6(30.0%)30.0(20.0%)

含两个空的，答对1

个的给3分，全部答

对的给5分.

解答题：本大题共5

小题，共75分，解

答应写出文字说明，5(25.0%)75.0(50.0%)

证明过程或演算步

骤.

选择题（在每小题给

出的四个选项中，只

9(45.0%)45.0(30.0%)

有一项是符合题目要

求的）

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(75.0%)

2容易(5.0%)

3困难(20.0%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1补集及其运算5.0(3.3%)1

2等比数列的前n项和20.0(13.3%)6,19

3变量相关关系