新版高中数学人教A版必修2习题第二章点直线平面之间的位置关系2.3.4

2.3.4平面与平面垂直的性质课时过关·能力提升基础巩固1.若平面α⊥平面β,α∩β=l,m⊂α,m⊥l,则()A.m∥βB.m⊂βC.m⊥βD.m与β相交但不一定垂直答案:C2.已知平面α⊥平面β,直线a⊥β,则()A.a⊂α B.a∥αC.a⊥α D.a⊂α或a∥α答案:D3.如图,在三棱锥PABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则()A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC解析:因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,所以PD⊥平面ABC.答案:B4.已知m,n,l是直线,α,β是平面,α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,m⊥α,则直线m与n的位置关系是()A.异面 B.相交但不垂直C.平行 D.相交且垂直解析:∵α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,∴n⊥α.又m⊥α,∴m∥n.答案:C5.已知等边三角形ABC与等边三角形BCD所在的平面垂直,且BC=2,则三棱锥ABCD的体积为()A.1 B.3 C.2 D.23解析:取BC的中点E,连接AE,因为△ABC为等边三角形,所以AE⊥BC.因为平面ABC⊥平面BCD,所以AE⊥平面BDC.所以VABCD=13S△BCD·AE=13×34×4答案:A6.如图,平面α⊥平面β,平面α∩平面β=A'B',A∈α,B∈β,AA'⊥A'B',BB'⊥A'B',且AA'=3,BB'=4,A'B'=2,则三棱锥AA'BB'的体积V=.

解析:∵α⊥β,α∩β=A'B',AA'⊂α,AA'⊥A'B',∴AA'⊥β.∴V=13S△A'BB'·=13×=13×12×2×4×答案:47.如图,沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱锥ABCDE,则平面ABC与平面ACD的关系是.

答案:垂直8.如图,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB=60°,AB的长为a.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为θ,则θ=.

解析:如图,取AD的中点G,连接PG,BG,BD.因为△PAD是等边三角形,所以PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,所以PG⊥平面ABCD,所以∠PBG是PB与平面ABCD所成的角θ.在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG,所以∠PBG=45°,即θ=45°.答案:45°9.如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK.因此BF⊥AC.又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.因为AC∩CK=C,所以BF⊥平面ACFD.(2)解:因为BF⊥平面ACK,所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在Rt△BFD中,BF=3,DF=32,得cos∠BDF=217,所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为能力提升1.在空间中,下列命题正确的是()A.若三条直线两两相交,则这三条直线确定一个平面B.若直线m与平面α内的一条直线平行,则m∥αC.若平面α⊥β,且α∩β=l,则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD.若直线a∥b,且直线l⊥a,则l⊥b解析:选项A中,若有3个交点,则确定一个平面,若三条直线交于一点,则不一定能确定一个平面,如在正方体ABCDA1B1C1D1中,AA1,AB,AD两两相交,但由AA1,AB,AD不能确定一个平面,所以A不正确;选项B中,缺少条件m是平面α外的一条直线,所以B不正确;选项C中,不满足面面垂直的性质定理的条件,必须是α内垂直于l的直线,所以C不正确;由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直,那么另一条也与第三条直线垂直,所以D正确.答案:D2.如图,三棱锥PABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,所以AC⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.答案:D★3.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为π4和π6.过点A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A',B',则AB∶A'B'A.2∶1 B.3∶1C.3∶2 D.4∶3解析:如图,连接AB',A'B,则由已知得AA'⊥平面β,BB'⊥平面α,∠ABA'=π6,∠BAB'=π设AB=a,则BA'=32a,BB'=22在Rt△BA'B'中,A'B'=12a故ABA答案:A4.如图,在四面体PABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC=.

解析:过点P作PE⊥AB于点E,连接EC.因为平面PAB⊥平面ABC,所以PE⊥平面ABC.所以PE⊥EC.因为∠ABC=90°,AC=8,BC=6,所以AB=27.因为PB=PA=13,所以E为AB的中点.所以PE=6,EC=7+36=所以PC=PE2+答案:7★5.在三棱柱ABCA'B'C'中,侧面A'ACC'是垂直于底面的菱形,BC⊥A'C',则A'B与AC'所成角的大小为.

解析:因为BC⊥A'C',A'C'∥AC,所以BC⊥AC.因为平面A'ACC'⊥平面ABC,平面A'ACC'∩平面ABC=AC,所以BC⊥平面A'ACC',所以BC⊥AC'.因为四边形A'ACC'为菱形,所以AC'⊥A'C.因为BC∩A'C=C,所以AC'⊥平面A'CB,所以AC'⊥A'B.所以A'B与AC'所成的角等于90°.答案:90°6.如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.求证:(1)BM∥平面ADEF;(2)平面BDE⊥平面BEC.证明(1)如图,取DE的中点N,连接MN,AN.在△EDC中,M,N分别为EC,ED的中点,所以MN∥CD,且MN=12CD因为AB∥CD,AB=12CD所以MN∥AB,且MN=AB,所以四边形ABMN为平行四边形.所以BM∥AN.因为AN⊂平面ADEF,且BM⊄平面ADEF,所以BM∥平面ADEF.(2)因为四边形ADEF为正方形,所以ED⊥AD.因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,ED⊂平面ADEF,所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,可得BC=22.在△BCD中,BD=BC=22,CD=4,所以BC⊥BD.又BD∩ED=D,所以BC⊥平面BDE.因为BC⊂平面BEC,所以平面BDE⊥平面BEC.★7.如图,在四棱锥ABCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=2.(1)证明:AC⊥平面BCDE;(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.(1)证明如图,连接BD.在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=2.由AC=2,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE.(2)解:在直角梯形BCDE中,由BD=BC=2,DC=2,得BD⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE,所以BD⊥平面ABC