2024届云南省昆明市高三下学期“三诊一模”教学质量检测（二模）数学试题

秘密★启用前 【考试时间：3月28日15∶00—17∶00】昆明市2024届“三诊一模”高三复习教学质量检测数 学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若是等比数列，，，则A．7 B．9 C．25 D．352．双曲线C：的渐近线方程为A． B． C． D．3．复平面内表示复数（）的点在直线上，则A．1 B． C．2 D．4．已知下图网格中面积最小的正方形边长为1，平面向量，如图所示，则A．2 B． C． D．15．在的展开式中，含项的系数是A．16 B．19 C．21 D．246．已知函数，则下列说法正确的是A．为增函数 B．有两个零点C．的最大值为2e D．的图象关于对称7．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）A．2.1R B．2.2R C．2.3R D．2.4R8．已知椭圆E：（）的左、右焦点为、，圆与E的一个交点为P，直线与E的另一个交点为O，，则E的离心率为A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数，若，则的值可以为A． B． C． D．10．在数列中，，，，记的前n项和为，则下列说法正确的是A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则11．在矩形ABCD中，，，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为△A＇BD，连接A＇C得到三棱锥A＇-BCD，在翻折过程中，下列说法正确的是A．三棱锥A＇-BCD体积的最大值为 B．点A＇，B，C，D都在同一球面上C．点A＇在某一位置，可使BD⊥A＇C D．当A＇B⊥DC时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知，，则．13．已知正六棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正六棱锥的体积为．14．如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位，共移动六次．质点位于4的位置的概率为；在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次3的位置的概率为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，在直三棱柱中，D，E为，AB中点，连接，．（1）证明：DE∥平面；（2）若DE⊥AB，，，求二面角的正弦值．16．（15分）某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：年份2017201820192020202120222023投入额103040608090110年收入的附加额3.204.004.806.007.307.459.25（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．参考数据：，，．附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．17．（15分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求a的取值范围．18．（17分）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与C交于A，B两点，．（1）求C的方程；（2）过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：．19．（17分）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．设集合，（，），且．设有序四元数集合，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（，2，3，4），则；若（，2，3，4），则．记．（1）若，，写出Y，并求；（2）若，，求所有的总和；（3）对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．

昆明市2024届“三诊一模”高三复习教学质量检测数学参考答案及评分标准一、单选题；二、多选题题号1234567891011答案CDACBDABBDACDABD三、填空题12． 13． 14．，（第1空2分，第2空3分）15．解：（1）连接．因为D，E分别为，AB的中点，所以，又因为平面，平面，所以DE∥平面．（2）由（1）得，因为DE⊥AB，所以，因为在直三棱柱中平面ABC，所以，因为，所以AB⊥平面，故AB⊥BC．建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，可取为平面的一个法向量，可取为平面的一个法向量，则，设二面角的大小为，则，，所以二面角的正弦值为．16．解：（1），，，，所以y关于x的线性回归方程为．（2）由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个“优”，所以X的可能取值为0，1，2，3，，，，，X的分布列如下：X0123P所以X的期望是．17．解：（1）由于，则切点坐标为，因为，所以切线斜率为，故切线方程为．（2）当时，等价于，令，，恒成立，则恒成立，，当时，，在上单调递减，，不符合题意；当时，由得，，时，，单调递减，，不符合题意；当时，，因为，所以，则，在上单调递增，，符合题意．综上所述，．18．解：（1）设，，，联立，得，则，，，则，故，所以C的方程为．（2）由（1）知，因为抛物线C：，则，则，，则直线PA方程为，即，同理直线PB方程为．联立得（，则，将代入得两式相加得，即，所以点．设直线DE与抛物线相切于点，则直线DE方程为．设，，联立两式作比，即，同理，因为，同理，故要证，即证，即证，即证，即证，即证，由（1）知，又故，上式成立，故．19．解：（1）由题，，所以．（2）对1，，5是否属于B进行讨论①含1的B的个数为，此时在映射f下，；不含1的B的个数为，此时在映射f下，；所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；②含5的B的个数为，此时在映射f下，；不含5的B的个数为，此时在映射f下，；所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；②含的B的个数为，此时在映射f下，，；不含的B的