专题01 直线的倾斜角与斜率（解析版）

专题01直线的倾斜角与斜率目录新知导航：熟悉课程内容、掌握知识脉络基础知识：知识点全面梳理，掌握必备学以致用：考点剖析，提升能力小试牛刀：过关检测，成果评定直线的倾斜角1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.2.取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为.补充：（1）倾斜角与直线倾斜程度的关系倾斜角直线(2)对直线的倾斜角的理解①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度.②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角.直线的斜率1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即.注意：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.2.倾斜角与斜率的关系直线情况平行于轴由左向右上升垂直于轴由左向右下降的大小0°的范围0不存在的增减性随增大而增大随增大而增大补充：斜率和倾斜角的特点①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的；②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同；③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.直线斜率的坐标表示1．公式：经过两点的直线的斜率公式为．2．公式的推导如图，设直线的倾斜角为α（α≠90°），当直线的方向（即从指向的方向）向上时，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两条直线相交于点Q，于是点Q的坐标为．如图（1），当α为锐角时，．在中，．如图（2），当α为钝角时，α=180°−θ（设），．．在中，，于是可得，即．同样，当直线的方向向上时，如图，也有，即．综上所述，经过两点的直线的斜率公式为．直线斜率与直线方向向量1.若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则.2.若直线的斜率为且直线过两点，它的一个方向向量的坐标为，则.直线的倾斜角（共5小题）1.已知直线l的倾斜角为α-15°，则下列结论中正确的是（）A．0°≤α<180° B．15°<α<180°C．15°≤α<180° D．15°≤α<195°【答案】D【分析】由直线的倾斜角的取值范围求解即可.【详解】设直线l的倾斜角为β，则β的范围是0°≤β<180°.由题意知β=α-15°，则0°≤α-15°<180°，解得15°≤α<195°.2.（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）直线x=1的倾斜角为___________【答案】【分析】根据直线的方程可得出直线的倾斜角.【详解】直线垂直于轴，故直线的倾斜角为.故答案为：.3.（2022·上海市新中高级中学高三期中）直线的倾斜角为_______.【答案】【分析】由斜率直接求出倾斜角.【详解】由直线可得：斜率为.设倾斜角为，所以，解得：.故答案为：4.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）直线2x-y-1=0的倾斜角是__________.【答案】【分析】直接根据斜率可得倾斜角.【详解】即，设倾斜角为，则所以.故答案为：.5．（2022春•嘉定区校级月考）已知直线的斜率，x≠0，则直线的倾斜角α的取值范围为．【答案】【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及斜率与倾斜角的关系，即可求解．【详解】当x＞0时，，当且仅当，即x＝1时，等号成立，即k＝tanα≥1，解得，当x＜0时，，当且仅当，即x＝﹣1时，等号成立，即k＝tanα≤﹣1，解得α∈，综上所述，直线的倾斜角α的取值范围为．故答案为：．二．直线的斜率（共3小题）1.（2022•徐汇区校级开学）若直线l的倾斜角为120°则l的斜率是__________．【答案】﹣【分析】直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可．【详解】解：直线l的倾斜角为120°则l的斜率是：tan120°＝．故答案为：﹣．2．（2022春•杨浦区校级期中）设a∈R，若直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线l的斜率是．【答案】1【分析】直接利用点的坐标求出直线的斜率．【详解】解：直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线的斜率．故答案为：1．3．（2022春•金山区期中）经过A（1，0），B（0，）两点的直线斜率为．【答案】﹣【分析】把两个点的坐标代入公式k＝，计算即可求得结论．【详解】解：∵直线经过点A（1，0），B（0，），∴直线的斜率为k＝＝﹣，故答案为：﹣．三．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系（共5小题）1.（2022春•金山区期中）经过A（1，0），B（0，）两点的直线斜率为．【答案】﹣【分析】把两个点的坐标代入公式k＝，计算即可求得结论．【详解】解：∵直线经过点A（1，0），B（0，），∴直线的斜率为k＝＝﹣，故答案为：﹣．2．（2022春•嘉定区校级月考）经过两点A（1，t）、B（t+1，4）的直线的倾斜角为45°，则实数t＝．【答案】2【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，即可求解．【详解】解：∵经过两点A（1，t）、B（t+1，4）的直线的倾斜角为45°，∴tan45°＝，即﹣t＝t﹣4，解得t＝2．故答案为：2．3．（2022春•杨浦区校级期中）设a∈R，若直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线l的斜率是．【答案】1【分析】直接利用点的坐标求出直线的斜率．【详解】解：直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线的斜率．4．（2022春•黄浦区校级月考）直线l经过点（﹣2，0）和（1，），则直线l的倾斜角为．【答案】【分析】由题意，利用直线的斜率公式，直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论．【详解】解：∵直线l经过点（﹣2，0）和（1，），∴直线l的斜率为＝，故直线的倾斜角为，故答案为：．5．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2【答案】D【分析】由直线斜率（倾斜角的正切值）的定义和正切函数的单调性可得．【详解】解：直线l1的倾斜角是钝角，则斜率k1＜0；直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数，但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，所以k2＞k3＞0，所以k1＜k3＜k2，故选：D．四．直线斜率与直线方向向量（共4小题）1.过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的一个方向向量为n=(-1,-1),则y=()A. B.QUOTE C.-1 D.1【答案】C【分析】由A，B坐标，可以求得，然后与方向向量平行，可以求得y值【详解】解法一:由直线上的两点A(4,y),B(2,-3),得QUOTE=(-2,-3-y),又直线AB的一个方向向量为n=(-1,-1),因此n∥QUOTE,∴(-2)×(-1)-(-3-y)×(-1)=0,解得y=-1,故选C.解法二:由直线的方向向量为(-1,-1)得,直线的斜率为QUOTE=1,所以QUOTE=1,解得y=-1.故选C.2.直线x﹣2y+1＝0的一个方向向量是（）A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）【答案】D【分析】首先求出直线的斜率，进一步利用直线的斜率和方向向量对应相等求出结果【详解】直线x﹣2y+1＝0的斜率k＝．即与向量＝（2，1）共线，故选：D．3.（2023秋·上海市松江区·阶段练习）若直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角是.【答案】【分析】根据直线的一个方向向量，设直线的倾斜角为，则，由此得到直线的倾斜角.【详解】直线的一个方向向量，设直线的倾斜角为，则，又因为，且，所以，所以.故答案为：.4．（2022·上海市控江中学高一期末）若直线的一个方向向量，则与直线的夹角的余弦值______.【答案】.【分析】根据题意可得两直线的倾斜角分别为，，进而可得两直线的夹角为，再由两角和的余弦公式即可求得答案.【详解】解：因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率，所以直线的倾斜角为，又因为直线的斜率，所以线的倾斜角为，所以直线与直线的夹角，所以.故答案为：.一、填空题1.（2022·上海市宝山中学高二期中）已知直线：，则此直线的倾斜角为_________.【答案】【分析】先求得直线的斜率，然后求得直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为.故答案为：2.（2020·上海·位育中学高二期中）若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为________.【答案】【分析】由方向向量，斜率与倾斜角的关系求解【详解】由得，故倾斜角的大小为，故答案为：3.（2022·上海崇明·高二期末）直线的倾斜角的大小等于_____________．【答案】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】解：设直线的倾斜角为由题知，直线的斜率，所以故答案为：4.（2022·上海·高二专题练习）直线经过点和，则直线的倾斜角为______【答案】【分析】先利用直线的斜率公式求出斜率，再求其倾斜角.【详解】由题意，得直线的斜率为，又所以直线的倾斜角为.故答案为：.5.（2022·上海·高二专题练习）经过两点的直线的倾斜角为，则___________.【答案】2【分析】由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.【详解】解：因为过两点的直线的倾斜角为，所以，解得，故答案为：2.6.（2023年春·上海南洋模范中学高二下期中）直线的倾斜角的取值范围是_______.【答案】【分析】根据直线斜率，可知，结合可求得结果.【详解】由知：直线斜率，设直线倾斜角为，则，又，.故答案为：.7.（2022春·上海市奉贤中学校考期中）已知θ∈0,π2，试用θ表示经过P(0,0),【答案】π【分析】由斜率公式求解得到答案，注意角度的范围【详解】设直线l的倾斜角为α，∵θ∈0,π∴tanα又∵θ∈0,π∴α=故答案为：π28.（2022秋·上海市七宝中学高二上期末）已知直线经过点，且它的倾斜角等于直线的倾斜角的倍，则直线的方程为_________．【答案】【分析】求出直线的倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，即可得解.【详解】解：直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，所以直线的方程为．故答案为：x=-29.（2022秋·上海静安·高二校考期末）直线的倾斜角为______.【答案】【分析】首先根据已知条件得到直线的斜率，再求倾斜角即可.【详解】直线的斜率，则倾斜角为.故答案为：10.（2021秋•徐汇区校级期末）直线的倾斜角是．【答案】60°【分析】设此直线的倾斜角为θ，则tanθ＝，且0≤θ＜π，从而得到θ＝60°．【详解】解：直线的斜率为，设此直线的倾斜角为θ，则tanθ＝，且0≤θ＜π，∴θ＝60°，故答案为：60°．11.（2021秋•青浦区校级月考）已知点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围．【答案】45°≤α≤135°【分析】由题意画出图形，求出P与线段AB端点连线的倾斜角得答案．【详解】如图，当直线l过B时设直线l的倾斜角为α（0≤α＜π），则tanα＝＝1，α＝45°当直线l过A时设直线l的倾斜角为β（0≤β＜π），则tanβ＝＝﹣1，β＝135°，∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°．故答案为45°≤α≤135°．12．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是_____．【答案】【分析】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解.【详解】因为直线恒过,和，所以，.由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示由图象可知，或,即或，所以的斜率的取值范围是为.故答案为：.二、单选题13．（2022·上海市朱家角中学高一期末）已知直线与直线，若直线与直线的夹角为，则实数的值为（

）A． B． C．或0 D．或【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】的斜率为，所以其倾斜角为，直线恒过点,若直线与直线的夹角为，则的倾斜角为或者，所以斜率为或，故选：C14.已知点A（2，4），B（3，6），则直线AB的斜率为（）A． B． C．2 D．-2【答案】C【分析】直角利用两点坐标求直线斜率的公式计算即可.【详解】因为，所以.故选：C15.（2023年春·上海格致中学高二下期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．【详解】依题意，是直线的一个方向向量，所以直线的斜率，所以直线的倾斜角为．故选：C．16.（2021秋•浦东新区校级月考）已知下列命题：①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα；②直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角为α；③直线的倾斜角为α，则sinα＞0．上述命题中不正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根据直线的倾斜角与斜率的定义，判断即可．【详解】对于①，直线的倾斜角为α，α＝90°，直线的斜率不存在，α≠90°时，直线的斜率为tanα，所以①错误；对于②，直线的斜率为tanα时，α不一定是直线的倾斜角，如α＝﹣45°时，直线的斜率为﹣1，倾斜角为135°，所以②错误；对于③，直线的倾斜角为α，α＝0时，sinα＝0，所以③错误．综上知，错误的命题序号是①②③．故选：D．三、解答题17.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．【答案】（1）或；（2）【分析】（1）由题意画出图形，求出与线段端点连线的倾斜角得答案；（2）由斜率是倾斜角的正切值即可得到的斜率的取值范围.【详解】如图，由题意可知，直线的斜率，直线的斜率，(1)要使与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是，或.(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，又直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，故的取值范围是.18．已知直线.（1）若直线过点，试写出直线的一个方向向量；（2）若实数，求直线的倾斜角的取值范围.【答案】（1）直线的一个方向向量为；（2）.【分析】（1）将A代入直线l方程求a，写出直线方程即可得l的方向向量；（2）由直线方程得斜率，讨论a并利用基本不等式求k的范围，进而可得倾斜角的范围.【详解】（1）把代入直线的方程，得，解得，此时直线的方程为，故直线的一个方向向量为；（2）因为，所以直线的斜率，∴当时，当且仅当时等号成立；当时，当且仅当时等号成立；综上有，可得倾斜角.19．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？【答案】(1)m>－2.(2)m<－2.(3)不可